方案設計題常見解法

文/汪國剛

方案設計題常見解法

文/汪國剛

方案設計題考查數(shù)學的應用意識，命題的背景材料廣泛，考生施展才華的空間大.下面以2015年的中考題為例，把中考設計類題歸類分析，供你復習時參考.

類型1　利用一次方程進行方案設計

例1（2015年齊齊哈爾卷）為了開展陽光體育活動，某班計劃購買毽子和長繩兩種體育用品，共花費35元，毽子單價3元，長繩單價5元，購買方案有（）.

A.1種B.2種C.3種D.4種

解析：設毽子買x個，長繩買y根，依據(jù)題意得3x+5y=35，

類型2　利用一元一次不等式進行方案設計

圖1

例2（2015年臺灣卷）圖1為某餐廳的價目表，今日每份餐點價格均為價目表價格的九折.若恂恂今日在此餐廳點了橙汁雞丁飯后想再點第二份餐點，且兩份餐點的總花費不超過200元，則她的第二份餐點最多有幾種選擇？（）

A.5B.7

C.9D.11

解析：設第二份餐點價格為x元，由題意，得（120+x）×0.9≤200，

故滿足條件的餐點價有60元，70元，…，100元共9種選擇.選C.

類型3　利用函數(shù)進行方案設計

例3（2015年北京卷）一家游泳館的游泳收費標準為30元/次，若購買會員年卡，可享受如下優(yōu)惠：

會員年卡類型A 類_ _ _ _ _ _ _ B 類_ _ _ _ _ _ _ C類辦卡費用（元）5 0 2 0 0 4 0 0每次游泳收費（元）2 5 2 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _

例如，購買A類會員卡，一年內(nèi)游泳20次，消費50+25×20=550元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45～55次之間，則最省錢的方式為（）.

A.購買A類會員年卡B.購買B類會員年卡

C.購買C類會員年卡D.不購買會員年卡

解析：設一年內(nèi)在該游泳館游泳x（次），所花的費用為y（元）.購買會員年卡三種消費情況分別是：yA=25x+50；yB=20x+200；yC=15x+400.

由于45＜x＜55，當x=50時，yA=25×50+50=1300，yB=20×50+200=1200，yC=15×50+400 =1150，不購買會員年卡，需花費50×30=1500元，

∴1500＞1300＞1200＞1150，選C.

類型4　方程、不等式、函數(shù)與方案設計

例4（2015年瀘州卷）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計劃分兩次購進A、B兩種花草，第一次分別購進A、B兩種花草30棵和15棵，共花費675元；第二次分別購進A、B兩種花草12棵和5棵.兩次共花費940元（兩次購進的A、B兩種花草價格均分別相同）.

（1）A、B兩種花草每棵的價格分別是多少元？

（2）若購買A、B兩種花草共31棵，且B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用.

∴A種花草每棵的價格是20元，B種花草每棵的價格是5元.

（2）設購買A種花草的數(shù)量為m株，則B種花草的數(shù)量為（31-m）株，

∵B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍，

∵m是正整數(shù)，∴m最小值=11.

設購買花草總費用為W，則W=20m+5（31-m）=15m+155，

∵k＞0，∴W隨m的減小而減小，

當m=11時，W最小值=15×11+155=320（元）.

答：購進A種花草11株、B種20株，費用最省，最省費用是320元.

類型5　幾何問題的方案設計

例5（2015年洛陽卷）某校七年級學生到野外活動，為了測量一池塘兩端A、B的距離，甲、乙、丙三位同學分別設計如下幾種方案：

圖1

圖2

圖3

甲：如圖1，在平地取一個可直接到達A、B兩點的C，連接AC、BC，并分別延長AC到D，BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后測得DE的長即為A、B的距離；

乙：如圖2，過點B作AB的垂線BF，在BF上取C、D兩點，使BC=CD，過點D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點E，測得DE的長即為A、B的距離；

丙：如圖3，過點B作BD⊥AB，在AB的延長線上取一點C，使∠BDC=∠BDA，這時只要測出BC的長即為A、B的距離.

（1）以上三位同學的設計方案，可行的有_____；

（2）請你選擇一種可行方案，并說明可行的理由.

解：（1）甲、乙、丙.

（2）答案不唯一，如選甲的方案.

理由是：∵DC=AC，EC=BC，∠ACB=∠DCE，

∴△ABC?△DEC，所以AB=ED.

類型6　統(tǒng)計與概率的方案設計

例6（2015年宜賓卷）為進一步增強學生體質(zhì)，我市從2016年起，中考體育測試將進行改革，實行必測項目和選測項目相結(jié)合的方式.必測項目有三項：立定跳遠、坐位體前屈、跑步；選測項目：在籃球（記為X1）、排球（記為X2）、足球（記為X3）中任選一項.

（1）每位考生將有______種選擇方案；

（2）用樹狀圖或列表的方法求小穎和小華選擇同種方案的概率.

解：（1）3.

（2）用樹狀圖表示如下：

共有9種可能情況，同種方案的有3種，