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    《九章算術(shù)》中的芻童、芻甍、羨除

    2016-07-27 14:02甘大旺
    關(guān)鍵詞:多面體矩形平行

    2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷文科第20題、理科第19題引入了《九章算術(shù)》中的“陽馬”和“鱉臑”,這兩個被多數(shù)同行認(rèn)為的“新”名稱的最近發(fā)展區(qū)是呼之欲出的芻童、芻甍、羨除.

    大約在25年前,我當(dāng)時所在的湖北省咸寧高中數(shù)學(xué)組的幾位老師就探討著一類想象的六面體:兩個平行底面是相似矩形、兩組相對側(cè)面分別是全等梯形的六面體一定是四棱臺嗎?

    經(jīng)過爭論和嘗試后,我們畫出下列兩圖:先畫

    出兩底面為長方形且兩底面中心連線(對稱軸)垂直于兩底面的四棱臺ABCD—A1B1C1D1(如圖1),再將其上底面矩形A1B1C1D1繞對稱軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,便可伴隨得到“兩個平行底面是相似矩形、兩組相對側(cè)面分別是全等梯形的六面體”(如圖2),但這個六面體卻不是四棱臺.于是,我們當(dāng)時統(tǒng)一了觀點,所探討的六面體不一定是四棱臺.

    但是,這樣旋轉(zhuǎn)得到的六面體是否有一個名稱呢?我們當(dāng)時并不知道!若干年之后,我閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史書籍,才知曉我國于公元前一世紀(jì)編成、公元一世紀(jì)修訂的世界性名著《九章算術(shù)》上有著相關(guān)上述六面體的內(nèi)容.用《九章算術(shù)》的名稱,上述旋轉(zhuǎn)得到的六面體是一種芻童.圖1圖2

    形似“草垛”的所謂芻童(包括曲池、盤池、冥谷),就是恰有兩個矩形底面(不能全為正方形)、四條側(cè)棱的延長線不交于一點的六面體[1][2].芻童的兩個底面所在的平面互相平行,其實對于幾何圖形中所說的“兩底”都默認(rèn)其所在平面互相平行;芻童的四個側(cè)面是梯形或平行四邊形,但不能全為平行四邊形(否則就退化成平行六面體);芻童的四條側(cè)棱所在直線交于兩點(一個底面矩形的長、寬與另一個底面矩形的平行棱的大小關(guān)系不相反)或四點(一個底面矩形的長、寬與另一個底面矩形的平行棱的大小關(guān)系相反).

    例1(2002年北京市高考題)如圖3,在多面體ABCD—A1B1C1D1中,上、下底面平行且均為矩形,相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等,側(cè)棱延長后相交于E、F兩點,上、下底面矩形的長、寬分別為c、d與a、b,且a>c,b>d,兩底面間距離為h.

    (1)證明:EF∥平面ABCD;

    (2)在估測該多面體的體積時,經(jīng)常運用近似公式V估=S中截面·h來計算,已知它的體積公式是

    V=16(S上底面+4S中截面+S下底面)·h,(Ⅰ)

    試判斷V估與V的大小關(guān)系.

    審題①六面體ABCD—A1B1C1D1是一個芻童,四條側(cè)棱所在直線交于兩點,而不是交于四點;②公式(Ⅰ)是任意擬柱體的一般體積公式.

    解(1)由于下底面ABCD是矩形,則AB∥CD,則AB∥平面CDEF(線面平行的判定定理).又因為平面ABFE∩平面CDEF=EF,則AB∥EF(線面平行的性質(zhì)定理),即EF∥AB,則EF∥平面ABCD(線面平行的判定定理).

    (2)根據(jù)梯形的中位線定理得到

    S中截面=a+c2·b+d2=ab+ad+bc+cd4,則

    V估-V=S中截面h-16(S上底面+4S中截面+S下底面)h

    =h6(2S中截面-S上底面-S下底面)

    =h6(ab+ad+bc+cd2-ab-cd)

    =h12(-ab+ad+bc-cd).

    =-h12(a-c)(b-d)<0(其中a>c,b>d).

    所以,V估

    補注①此題可以啟發(fā)我們領(lǐng)悟到芻童的一個性質(zhì)——芻童的四條側(cè)棱所在直線交于兩點或四點,底面同側(cè)的兩點連線必定平行于底面;②根據(jù)擬柱體的一般體積公式(Ⅰ)可以推導(dǎo)出芻童特有求體積之“術(shù)”,請見下面的定理.

    定理1如圖4和圖5,如果芻童的高為h,下底面矩形的長為a1、寬為b1,上底面矩形的長為a2、寬為b2,那么此芻童的體積是[1][2]

    V=16[(2a1+a2)b1+(a1+2a2)b2]h.(Ⅱ)

    《九章算術(shù)》對于問題只給出“術(shù)”與終答,而對“術(shù)”卻不證自明.下面補遺證明定理1.

    證明由于芻童是一類擬柱體,則運用公式(Ⅰ)得到V=16(S上底面+4S中截面+S下底面)·h

    =16(a1b1+4·a1+a22·b1+b22+a2b2)·h

    =16[a1b1+(a1b1+a1b2+a2b1+a2b2)+a2b2)]·h

    =16[(2a1+a2)b1+(a1+2a2)b2]h,

    所以,公式(Ⅱ)正確,故定理1證畢.

    如下列兩圖,將圖6芻童ABCD-A1B1C1D1的兩個頂點A1與D1合攏成一點E,同時將兩個頂點B1與C1合攏成一點F,便形成圖7而得到一個五面體EF—ABCD.按照《九章算術(shù)》的說法,這個由芻童退化演變出來的五面體是一個廣義的芻甍.

    形似“草脊”的所謂芻甍,就是唯一頂棱平行于唯一矩形底面、三條平行棱不全等長的五面體.這是廣義的芻甍,《九章算術(shù)》中狹義的芻甍還要限制頂棱的長度小于與它平行的兩條等棱的長度[2],此限制條件對于后面的體積公式(Ⅳ)沒有影響.

    例2(2007年江蘇省競賽題改編題,1999年全國高考題)如圖8,在多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長為3的正方形,EF∥AB,

    EF=32,EF與面ABCD

    的距離為2,則該多面體的體積為.

    解作兩個平行四

    邊形AB1FE與DC1FE(圖略),連B1C1,則題設(shè)的多面體(芻甍)EF—ABCD可以由四棱錐F—

    BB1C1C和三棱柱ADE—B1C1F所拼成,其中該三棱柱的直截面的底邊長為3、高為2,于是所求多面體的體積為VEF—ABCD=VF-BB1C1C+VADE-B1C1F

    =13S矩形BB1C1C·2+S直截面·32

    =13·3·(3-32)·2+3·22·32=152(平方單位).

    補注①在此例中,把矩形ABCD和線段EF放在距離等于2的兩個平行平面中任意平行移動,芻甍EF-ABCD的體積都不會改變;②狹義的芻甍體積可以這樣分割求得,那么另一類不狹義的芻甍體積是否也可以通過拼補求得呢?

    定理2在芻甍CC1-AA1B1B中,底面矩形的兩邊AA1=a、AB=l,頂棱CC1=c,頂棱CC1到底面AA1B1B的距離為h,則該芻甍的體積為[2]

    V=16(2a+c)lh.(Ⅲ)

    證明當(dāng)c>a時,如圖9,延長AA1至A0、延長BB1至B0,使AA0=BB0=CC1=c,連A0B0,則ABC—A0B0C1是三棱柱且其直截面三角形的底邊長為l、高也為h,則此時芻甍CC1—AA1B1B的體積為V=VABC-A0B0C1-VC1-A1A0B0B1

    =S直截面·c-13·SA1A0B0B1·h

    =lh2·c-13·(c-a)l·h=16(2a+c)lh.

    當(dāng)c

    對芻甍進(jìn)行泛化想象(圖略),假如將芻甍的底面矩形替換為底面梯形且芻甍有三條棱兩兩平行,那么《九章算術(shù)》把這種五面體稱為羨除.

    形似“楔體”的所謂羨除,就是三個側(cè)面都是梯形或平行四邊形(其中最多只有一個平行四邊形)、兩個不平行對面是三角形的五面體[1][2].還能夠想象,羨除可以由三棱柱的三個側(cè)面與其兩個三角形截面所圍成的凸五面體,羨除是三棱柱的泛化圖形,三棱柱是羨除的退化圖形.

    《九章算術(shù)》給出求羨除體積的“術(shù)”是:“并三廣,以深乘之,又以袤乘之,六而一”.其中的“廣”是指羨除的三條平行側(cè)棱之長、“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行線之距.用現(xiàn)代語言描述,就是——

    定理3在羨除ABC—A1B1C1中,AA1∥BB1

    ∥CC1,AA1=a,BB1=b,CC1=c,兩條平行線AA1與BB1間的距離為l,直線CC1到平面AA1B1B的距離為h,則該羨除的體積為[1][2]

    V=16(a+b+c)lh.(Ⅳ)

    受定理2的證明過程的啟發(fā),下面因勢利導(dǎo)地來推導(dǎo)羨除的體積公式.

    證明如圖11,在羨除ABC-A1B1C1中,當(dāng)c是a、b、c的最小者時,在棱AA1、BB1上分別取點A0、B0使得

    AA0=BB0=CC1=c,連A0B0,則此時羨除

    ABC-A1B1C1的體積為

    VABC—A1B1C1=VABC—A0B0C1+VC1—A1A0B0B1

    =S直截面·c+13·SA1A0B0B1·h=lh2·c+13·(a-c)+(b-c)2l·h

    =(c2+a+b-2c6)lh=16(a+b+c)lh.

    當(dāng)c不是a、b、c的最小者時,不妨設(shè)b是a、b、c的最小者,令兩條平行線AA1與CC1間的距離為l1,直線BB1到平面AA1C1C的距離為h1,則同理

    可證VABC—A1B1C1=16(a+b+c)l1h1.

    又因為l1h1=2S正截面=lh(為定值),

    則此時也有VABC—A1B1C1=16(a+b+c)lh.

    總之,定理3證畢.

    例3(2009年南京大學(xué)自主招生題)在四面體ABCD中,平行于AB與CD的平面π截該四面體得到截面EFGH,AB到π的距離為d1,CD到π的距離為d2,且d1=kd2.求立方體圖形AB—EFGH與四面體ABCD的體積之比(用k表示).圖12

    解如圖12,設(shè)兩條異面直線AB、CD的距離與夾角分別為d與θ,則借用四面體的外接平行六面體可求得四面體ABCD的體積[3]為

    VABCD=d·AB·CD6·sinθ.這里,d=d1+d2.由于平行四邊形EFGH的較小內(nèi)角是θ,則兩條平行線EF與GH間的距離l=EH·sinθ,根據(jù)已知條件、定理3、相似比求得VAB-EFGH=VAEH-BFG

    =16(AB+EF+GH)·l·d1

    =16(AB+2·EF)·(EH·sinθ)·d1

    =AB6·(1+2·d2d1+d2)(d1·CDd1+d2·sinθ)d1

    =VABCD·d1+3d2d1+d2·(d1d1+d2)2

    =VABCD·k2(k+3)(k+1)2.

    所以,立方體圖形AB—EFGH與四面體ABCD的體積之比為k2(k+3)(k+1)2.

    補注命題組采用添加輔助線AF、AG、EG的方法解答此題,讀者可對比閱讀.

    回味上述定理,頓悟到可以由定理3證明定理2和定理1;經(jīng)檢驗,公式(Ⅳ)也適合芻甍和三棱柱,于是我們可以概括出一個統(tǒng)一的結(jié)論——

    定理4在五面體ABC—A1B1C1中,AA1∥BB1

    ∥CC1,AA1=a,BB1=b,CC1=c,且三條平行線AA1、BB1、CC1的直截面三角形的面積為S直截面,則該五面體(三棱柱、芻甍、羨除)的體積為

    V=13(a+b+c)S直截面.(Ⅴ)

    考慮篇幅,最后把例題改作習(xí)題留給讀者探究.

    1.(2005年全國高考題改編題,1983年美國邀請賽題)圖13的多面體的底面是邊長為s的正方形,上面的棱平行于

    底面,其長為2s,其余棱長也都為s,若s=62,求這個多面體的體積.圖13圖14

    2.(2015年安徽省競賽題)在如圖14所示的多面體ABCDEF中,已知AD,BE,CF都與平面ABC垂直.設(shè)AD=a,

    BE=b,CF=c,AB=AC=BC=1.求四面體

    ABCE與BDEF公共部分的體積(用a,b,c表示).

    3.(2013年湖北省文科高考題)如圖15,某地質(zhì)隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,d1

    點M,N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1—A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面,其面積記為S中.

    (Ⅰ)證明:中截面DEFG是梯形;

    (Ⅱ)在△ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1—A2B2C2的體積V)時,可用近似公式V估=S中·h來估算.已知V=13(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關(guān)系,并加以證明.

    參考文獻(xiàn)

    [1]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社,2002:

    76~78

    [2]郭書春.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史話[M].北京:中國國際廣播

    出版社,2012:40~42

    [3]甘大旺.高考數(shù)學(xué)150專題[M].武漢:湖北教育出版

    社,2015:145

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