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    數(shù)列不等式證明的“偽等比數(shù)列法”

    2016-07-27 13:58梁昌金
    關(guān)鍵詞:通項(xiàng)考試題單調(diào)

    梁昌金

    數(shù)列不等式的證明,因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng),需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性,能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力,因而活躍在高考壓軸題及各級各類競賽試題中.這類問題的求解策略往往是:通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu),深入剖析其特征,抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s.

    通過研究各類試題,筆者發(fā)現(xiàn),偽等比數(shù)列法亦是數(shù)列不等式證明的一種有效方法.本文結(jié)合各類試題,談?wù)劇皞蔚缺葦?shù)列法”及其應(yīng)用.1“偽等比數(shù)列法”相關(guān)結(jié)論

    對于正項(xiàng)數(shù)列{an},若an+1an>q(或an+1an≥q或an+1an

    結(jié)論對于正項(xiàng)數(shù)列{an},有

    (1)若an+1an>q(n∈N*),則an>a1·qn-1(n≥2,n∈N*)成立;(2)若an+1an≥q(n∈N*),則an≥a1·qn-1(n∈N*)成立;

    (3)若an+1an

    證明(1)由an+1an>q,得an=anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1·a1>a1·qn-1(n≥2).

    (2)(3)(4)類似可證.2應(yīng)用于高考試題

    例1(2014年新課標(biāo)全國Ⅱ理17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

    (1)證明{an+12}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;

    (2)證明:1a1+1a2+…+1an<32.

    證明(1)an=3n-12(過程略).

    (2)當(dāng)n=1時,所證不等式顯然成立(下文同,不再重復(fù));

    當(dāng)n≥2時,由an+1=3an+1,a1=1,得an+1>3an>0,所以1an+1<13·1an,則1an<(13)n-1(n≥2),

    所以1a1+1a2+…+1an<1+13+…+13n-1=1-(13)n1-13=32[1-(13)n]<32.

    例2(2012年全國高考廣東理19)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1、a2+5、a3成等差數(shù)列.

    (1)求a1的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    (3)證明:對一切正整數(shù)n,有1a1+1a2+…+1an<32.

    解(1)a1=1(過程略).

    (2)由2Sn=an+1-2n+1+1,可得2Sn-1=an-2n+1(n≥2),

    兩式相減,可得2an=an+1-an-2n,即an+1=3an+2n,即an+1+2n+1=3(an+2n),

    所以數(shù)列{an+2n}(n≥2)是以a2+4為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.

    由2a1=a2-3,可得a2=5,所以an+2n=9×3n-2,即an=3n-2n(n≥2),

    當(dāng)n=1時,a1=1,也滿足上式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-2n.

    (3)由(2)知an+1=3an+2n,an>0,所以1an+1=13an+2n<13·1an,則1an<(13)n-1(n≥2),

    所以1a1+1a2+…+1an<1+13+…+13n-1<32(1-13n)<32.

    例3(2008年全國高考安徽理21)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=0,an+1=ca3n+1-c,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù).

    (1)證明:an∈[0,1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0,1];

    (2)設(shè)0

    (3)略.

    證明(1)(略).

    (2)設(shè)0

    當(dāng)n≥2時,因?yàn)閍n=ca3n-1+1-c,所以1-an=c(1-an-1)(1+an-1+a2n-1),

    因?yàn)?

    所以1-an≤3c(1-an-1),1-an≤(1-a1)·(3c)n-1=(3c)n-1,所以an≥1-(3c)n-1(n∈N*).

    例4(2006年全國高考浙江理20)已知函數(shù)f(x)=x3+x2,數(shù)列{xn}(xn>0)的第一項(xiàng)x1=1,以后各項(xiàng)按如下方式取定:曲線y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))處的切線與經(jīng)過(0,0)和(xn,f(xn))兩點(diǎn)的直線平行(如圖).求證:當(dāng)n∈N*時:

    (1)x2n+xn=3x2n+1+2xn+1;

    (2)12n-1≤xn≤12n-2.

    證明(1)略.

    (2)因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=x2+x當(dāng)x>0時單調(diào)遞增,

    而x2n+xn=3x2n+1+2xn+1≤4x2n+1+2xn+1=(2xn+1)2+2xn+1,所以xn≤2xn+1,即xn+1xn≥12,

    因此xn≥(12)n-1,又因?yàn)閤2n+xn=3x2n+1+2xn+1≥2(x2n+1+xn+1),則x2n+1+xn+1x2n+xn<12,

    所以x2n+xn≤(x21+x1)(12)n-1=(12)n-2,所以xn≤x2n+xn≤(12)n-2.

    故(12)n-1≤xn≤(12)n-2.3應(yīng)用于自主招生試題

    例5(2013年“卓越聯(lián)盟”自主招生試題)

    已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=a2n-nan+α,n∈N*,α∈R.

    (1)若an≥2n對n∈N*都成立,求α的取值范圍;

    (2)當(dāng)α=-2時,證明1a1-2+1a2-2+…+1an-2<2(n∈N*).

    解(1)α的取值范圍是[-2,+∞)(過程略).

    (2)由(1)知,當(dāng)α=-2時,an≥2n(n∈N*).

    所以n≥2時,an+1-2=a2n-nan-4=an(an-n)-4≥nan-4≥2(an-2)>0,

    所以1an+1-2≤12·1an-2,從而n≥2時,1an-2≤1a1-2·12n-1=12n-1.

    所以1a1-2+1a2-2+…+1an-2≤1+12+122+…+12n-1=2-12n-1<2.4應(yīng)用于競賽試題

    例6(2013年首屆“學(xué)數(shù)學(xué)”奧林匹克試題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n-an(n∈N*).

    (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n-1an,求證:1b1+1b2+…+1bn<53.

    解(1)an=2-12n-1(過程略).

    (2)由(1)知,bn=2n-1an=2n-1.

    所以bn+1=2n+1-1=2(2n-12)>2(2n-1)=2bn,

    所以當(dāng)n≥3時,bn>b2·2n-2=3×2n-2,所以1bn<13·(12)n-2(n≥3).

    所以1b1+1b2+…+1bn<1+13+13(12+122+…+12n-2)=43+13(1-12n-2)=53-13·12n-2<53.

    例7(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽)

    設(shè)遞增數(shù)列{an}滿足a1=1,4an+1=5an+9a2n+16,n∈N*.

    (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    (2)證明:1a1+1a2+…+1an<2.

    解(1)an=23(2n-12n)(過程略).

    (2)易知,n≥2時,an+1=23(2n+1-12n+1)=43(2n-12n+2)>43(2n-12n)=2an.

    所以an>a1·2n-1,1an<1a1·(12)n-1=(12)n-1(n≥2).

    所以1a1+1a2+…+1an<1+12+122+…+12n-1=2(1-12n)<2.5應(yīng)用于模考試題

    例8(2014年安徽省“合肥三?!痹囶})

    已知數(shù)列{an},a1=1,an+1=an+1+p1-pa2n(n∈N*,p∈R,p≠1).

    (1)求數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件;

    (2)當(dāng)p=13時,令bn=11+2an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:12-15n

    解(1)數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件為-1

    (2)當(dāng)p=13時,an+1=an+2a2n(n∈N*),所以an+1an=1+2an,

    所以bn=11+2an=anan+1=2a2n2anan+1=an+1-an2anan+1=12(1an-1an+1),

    所以Sn=12[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1an-1an+1)]=12-12an+1.

    由(1)知{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,a1=1,所以an+1>0,所以Sn<12.

    又an+1-an=(an+2a2n)-(an-1+2a2n-1)=(an-an-1)(1+2an+2an-1)>5(an-an-1),

    所以an+1-an>(a2-a1)·5n-1=2×5n-1(n≥2),而a2-a1=2×50,

    所以an+1>(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1>2(5n-1+5n-2+…+50)+1

    =2×1-5n1-5+1=5n+12>12×5n.

    所以-1an+1>-25n,所以Sn=12-12an+1>12+12(-25n)=12-15n.

    綜上所述,12-15n

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