函數(shù)與方程復(fù)合問(wèn)題的探究

王新兵

數(shù)學(xué)樣例是數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解答的組合體，或者是一個(gè)數(shù)學(xué)概念、公式或原理的一個(gè)具體“實(shí)體”對(duì)象，一般而言，它可以解釋一個(gè)數(shù)學(xué)概念，例說(shuō)一個(gè)原理或例示一個(gè)公式及其應(yīng)用，當(dāng)然也可以說(shuō)明一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到樣板和示范的作用[1].樣例學(xué)習(xí)的優(yōu)越性之一表現(xiàn)在樣例提供了與學(xué)習(xí)有關(guān)的關(guān)鍵成分.函數(shù)與方程復(fù)合問(wèn)題最近幾年在考題中頻頻出現(xiàn)，教學(xué)時(shí)往往有“不爽”之感，一是所給函數(shù)一般較復(fù)雜，二是與方程復(fù)合后涉及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，參數(shù)范圍等等，給本來(lái)就感到“難”的問(wèn)題又蒙上一層“陰影”.這種問(wèn)題具有高度的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)化，從認(rèn)知學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律上，需要對(duì)其內(nèi)容進(jìn)行拆分[2].數(shù)學(xué)教學(xué)中的樣例學(xué)習(xí)是通過(guò)設(shè)計(jì)有效樣例，讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)樣例提高他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力.具體包括兩方面：其一是讓學(xué)生從樣例中習(xí)得隱含的規(guī)律、原理，進(jìn)而將規(guī)則、原理用到相似的具體題目中；其二是讓學(xué)生讀懂樣例的解題過(guò)程，通過(guò)模仿樣例例題解題方法去解決練習(xí)題，進(jìn)而掌握該類(lèi)問(wèn)題的解決方法[3].下面給出兩類(lèi)樣例問(wèn)題，通過(guò)分析其隱含規(guī)律，幫助學(xué)生通過(guò)模仿其解題過(guò)程，最終達(dá)到掌握的目的.1有關(guān)函數(shù)與方程復(fù)合后的根的問(wèn)題.

例1已知函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）的圖象（圖1）：

問(wèn)：（1）方程f[g（x）]=0不同實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是多少？

（2）方程g[f（x）]=0不同實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是多少？

這是函數(shù)與方程復(fù)合的問(wèn)題，應(yīng)先對(duì)復(fù)合后方程的“內(nèi)層”進(jìn)行換元.然后結(jié)合y=f（t）和t=g（x）的曲線(xiàn)，便可使問(wèn)題解決.

對(duì)于問(wèn)題（1），令t=g（x），則f（t）=0零點(diǎn)情況如下：

由y=f（t）的圖象知：零點(diǎn)分別有三個(gè)值t1，t2，t3，其中t1∈（-2，-1），t2=0，t3∈（1，2）.

這時(shí)再看t=g（x），畫(huà)橫線(xiàn)y=t知（圖2）：

當(dāng)t∈（-2，-1）時(shí)，對(duì)應(yīng)2個(gè)x的值；

當(dāng)t=0時(shí)，對(duì)應(yīng)2個(gè)x的值；

當(dāng)t∈（1，2）時(shí)，對(duì)應(yīng)2個(gè)x的值；

綜合以上知：方程f[g（x）]=0有6個(gè)零點(diǎn).

對(duì)于問(wèn)題（2），令t=f（x），則g（t）=0零點(diǎn)情況如下：

由y=g（t）圖象知，t有兩個(gè)值，分別分布在t∈（-2，-1），t∈（0，1），這時(shí)再看t=f（x），畫(huà)橫線(xiàn)y=t知（圖3）：

當(dāng)t∈（-2，-1）時(shí)，對(duì)應(yīng)1個(gè)x值；

當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，對(duì)應(yīng)3個(gè)x值；

綜上知g[f（x）]=0零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).

還可繼續(xù)問(wèn)f[f（x）]=0和g[g（x）]=0的情形如何？

這個(gè)問(wèn)題的解決，為我們解決函數(shù)與方程復(fù)合問(wèn)題打開(kāi)了一扇窗，使我們對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維豁然開(kāi)朗.返樸歸真，尋求數(shù)學(xué)的本源，弄清數(shù)學(xué)問(wèn)題所蘊(yùn)含的思想和觀念，才能達(dá)到舉一反三的目的.再請(qǐng)看下面問(wèn)題.

例2若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f（x1）=x1，則關(guān)于x的方程

3[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）.

A.3B.4C.5D.6

本問(wèn)題是一個(gè)三次函數(shù)與一元二次方程復(fù)合后判斷根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.先令t=f（x），則

3t2+2at+b=0，畫(huà)出t=f（x）的草圖（圖4）.

因?yàn)閒′（x）=3x2+2ax+b，依題意知x1，x2為f′（x）=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，即為方程3t2+2at+b=0的兩個(gè)解.令t=x1或t=x2不妨設(shè)x1

所以原方程有3個(gè)解，故選A.2有關(guān)含參的函數(shù)與方程復(fù)合的參數(shù)條件問(wèn)題.

例3設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=lgx-1，x≠1，

0，x=1，則關(guān)于x的方程

f2（x）+bf（x）+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（）.

A.b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b≥0且c=0

本問(wèn)題是分段函數(shù)與一元二次方程復(fù)合后判斷解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.

先令t=f（x），則t2+bt+c=0.

作t=f（x）的圖象，然后畫(huà)橫線(xiàn)y=t（圖5），尋求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的位置及t的范圍.

若方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，從圖象上看方程t2+bt+c=0必須有兩個(gè)不同解，又從畫(huà)橫線(xiàn)y=t知t的位置有兩個(gè)，一個(gè)t1>0，一個(gè)t2=0，即一個(gè)正根，一個(gè)零根，因此，b<0且c=0，故選C.

例4已知函數(shù)f（x）=-x2-2x，g（x）=x+14x，x>0，

x+1，x≤0，若方程g[f（x）]-a=0不同解的個(gè)數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

見(jiàn)到方程g[f（x）]-a=0，轉(zhuǎn)化為g[f（x）]=a，即y=g[f（x）]和y=a的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.

令t=f（x），g（t）=a.先觀察“內(nèi)層”函數(shù)t=f（x）圖象，結(jié)合圖象畫(huà)橫線(xiàn)可知（圖6），一個(gè)t對(duì)應(yīng)x值的個(gè)數(shù)，欲達(dá)到4個(gè)零點(diǎn)，每個(gè)t對(duì)應(yīng)2個(gè)x值，則需t有兩個(gè)解，同時(shí)知t<1即可.再觀察y=g（t）圖象（圖7），從圖象知當(dāng)1≤a<54時(shí)，y=g（t）與y=a恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即t有兩個(gè)值.

綜上分析，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，54）

例5設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=lgx，x>0

-x2-2x，x≤0，若關(guān)于x的函數(shù)

y=2f2（x）+2bf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則b的取值范圍為（）.

A.-322

本問(wèn)題是分段函數(shù)與一元二次方程復(fù)合后，由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題.

令t=f（x），則y=2t2+2bt+1，作t=f（x）的圖象（圖8），畫(huà)橫線(xiàn)知：每一個(gè)t對(duì)應(yīng)4個(gè)x，且t∈（0，1），這樣y=2t2+2bt+1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)t1，t2，且t1，t2∈（0，1）.

由一元二次方程根的分布滿(mǎn)足Δ=4b2-8>0，

0<-b2<1，

g（1）>0，-32

例6函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于x=-b2a對(duì)稱(chēng)，據(jù)此可以推測(cè)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p關(guān)于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.

A.{1，2}B.{1，4}C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}

本問(wèn)題是一個(gè)一元二次方程和另一個(gè)一元二次方程復(fù)合后根的問(wèn)題.令t=f（x），則mt2+nt+p=0，畫(huà)t=f（x）的草圖，考慮mt2+nt+p=0有兩解的情況，可設(shè)t=M，或t=N，利用函數(shù)與方程思想.把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)t=f（x）與直線(xiàn)y=M或y=N交點(diǎn)問(wèn)題（圖9）.

設(shè)x1，x2，x3，x4分別為t=f（x）與兩直線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，不妨設(shè)x1

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，樣例的學(xué)習(xí)通常以逐步呈現(xiàn)解答步驟的形式向?qū)W習(xí)者提供解決問(wèn)題的方法或規(guī)則[4].從以上樣例求解可以看出，這類(lèi)問(wèn)題是函數(shù)（曲線(xiàn)）與方程的復(fù)合問(wèn)題，無(wú)論是判斷根的個(gè)數(shù)，還是由根的個(gè)數(shù)判斷參數(shù)范圍，都是先用換元法將函數(shù)替換掉，畫(huà)出這個(gè)“新”函數(shù)的圖象，然后在曲線(xiàn)上畫(huà)與x軸平行的直線(xiàn)，分析交點(diǎn)情況，確定方程的根或所求參數(shù)的取值范圍.這類(lèi)問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，將數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的“淋漓盡致”.數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握是一個(gè)積累的過(guò)程，這個(gè)積累反映了數(shù)學(xué)思維的成果[5～7]，只要我們抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，問(wèn)題的解決也就和諧、自然了.

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