三類分式型數(shù)列和式不等式的放縮策略

聶文喜

數(shù)列和式不等式證明問題是高中數(shù)學(xué)永恒的話題，也是每年高考必考的熱門考點(diǎn)，因此怎樣證明數(shù)列和式不等式是師生們非常關(guān)注和必須解決的問題，也是學(xué)生必備的解題技巧，證明數(shù)列和式不等式的基本策略是放縮，因此如何放縮成為能否成功證明數(shù)列不等式的關(guān)鍵，下面以近幾年高考題為例談?wù)勅惓Ｒ姷姆质叫蛿?shù)列和式不等式放縮策略.1分母是一次型

例1（2015年高考廣東卷理科第21題第（3）問改編）已知n∈N+且n≥2，求證：12+13+…+1n

解令f（x）=1x，（x>0），則f（x）在（0，+∞）

內(nèi)單調(diào)遞減，如圖1，由定積分的幾何意義知

每個(gè)小曲邊梯形的面積大于對(duì)應(yīng)的矩形的面積，

即∫k+1kf（x）dx>f（k+1），即ln（k+1）-lnk>1k+1，

再令k=1，2，…，n-1，然后累加即得

12+13+14+…+1n

點(diǎn)評(píng)由于定積分概念的形成過程是以矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，此時(shí)取區(qū)間的左端點(diǎn)還是右端點(diǎn)的函數(shù)值決定這些小矩形的面積是“大于”還是“小于”其本來曲邊梯形的面積，利用這個(gè)性質(zhì)來證明與“和式”相關(guān)的數(shù)列不等式特別有效、簡捷，讓人賞心悅目.

例2（2013年高考大綱版全國卷理科第22題第（2）問）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=1+12+…+1n，證明：a2n-an+14n>ln2.

證明a2n-an+14n>ln2

1n+1+1n+2+…+1n+n+14n>ln2

1n+1n+1+…+12n-1>ln2+14n.

設(shè)g（x）=1x，如圖2，Sk=1k=1×g（k）表示

矩形ABCD的面積，其中A（k，0），B（k+1，0），C（k+1，g（k）），D（k，g（k）），E（k+1，g（k+1）），Sk′=∫k+1kg（x）dx表示曲邊梯形ABED的面積，

由于函數(shù)g（x）=1x在（0，+∞）上是下凸函數(shù)，所以矩形ABCD的面積大于對(duì)應(yīng)曲邊梯形ABED的面積與右上角的小直角三角形CDE的面積之和，即Sk>Sk′+12×1×g（k）-g（k+1），即1k>∫k+1k1xdx+12（1k-1k+1）.

令k=n，n+1，…，2n-1，并相加得1n+1n+1+…+12n-1>

∫2nn1xdx+12（1n-12n）=（lnx）2n

n+14n=ln2+14n.

所以，原不等式成立.

例3（2012年高考天津卷理科第21題第（3）問）證明：∑ni=122i-1-ln（2n+1）<2（n∈N+）.

證明當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=2-ln3<2=右邊，所以原不等式成立.

當(dāng)n≥2時(shí)，原不等式等價(jià)為∑ni=222i-1

設(shè)f（x）=22x-1，如圖3，

Si=22i-1=1×f（i）表示矩形ABCD的

面積，其中A（i，0），B（i-1，0），C（i-1，f（i）），

D（i，f（i）），E（i-1，f（i-1））.

Si′=∫ii-1f（x）dx表示曲邊梯形ABED的面積，因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，所以Si

∑ni=222i-1<∫n122x-1dx=ln（2x-1）n1=ln（2n-1）-ln1=ln（2n-1）

所以原不等式成立.

例4（2010年高考湖北卷理科第21題第（3）問）證明：1+12+13+……1n>ln（n+1）+n2（n+1）（n≥1）.

設(shè)f（x）=1x，如圖4，Sk=1k=1×f（k）表示矩形ABCD的面積，其中A（k+1，0），B（k，0），C（k+1，f（k）），D（k，f（k）），E（k+1，f（k+1）），

Sk′=∫k+1kf（x）dx表示曲邊梯形ABDE的面積，

由于函數(shù)f（x）=1x在（0，+∞）上是下凸函數(shù)，

所以矩形ABCD的面積大于對(duì)應(yīng)曲邊梯形

ABDE的面積與右上角的小直角三角形CDE

的面積之和，即Sk>Sk′+12×1×f（k）-f（k+1），

令k=1，2，…，n，并相加得

11+12+…+1n>∫n+111xdx+12（1-1n+1）

=（lnx）n+1

1+n2（n+1）=ln（n+1）+n2（n+1），

故原不等式成立.2分母是二次型

例5（2014年高考廣東卷文19（3））已知an=2n，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13.

分析因?yàn)?an（an+1）=12n（2n+1），構(gòu)造公差為2的等差數(shù)列{bn}，使12n（2n+1）<1bnbn+1=12（1bn-1bn+1），

則1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）

<12（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）=12（1b1-1bn+1）<12b1=13，只須取b1=32即可.

證明令bn=32+（n-1）×2=2n-12，則bn+1=2n+32，bnbn+1=4n2+2n-34，

因?yàn)?n（2n+1）=4n2+2n>4n2+2n-34=bnbn+1，

所以1an（an+1）=12n（2n+1）<1bnbn+1=12（1bn-1bn+1），

所以1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）

<1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=12（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）

=12（1b1-1bn+1）<12b1=13.

例6（2008年高考遼寧卷）已知an=n（n+1），bn=（n+1）2，證明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512.

分析因?yàn)?an+bn=1（n+1）（2n+1）=2（2n+1）（2n+2），構(gòu)造公差為2的等差數(shù)列{bn}，使2（2n+1）（2n+2）<2bnbn+1=1bn-1bn+1，

則1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn

<（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）=1b1-1bn+1<1b1=512，只須取b1=125即可.

證明令bn=125+（n-1）×2=2n+25，

則bn+1=2n+125，bnbn+1=4n2+28n5+2425<4n2+6n+2=（2n+2）（2n+1），

所以2（2n+1）（2n+2）<2bnbn+1=1bn-1bn+1，

所以1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn

<（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）=1b1-1bn+1<1b1=512.

例7（2013年高考廣東卷理19（3））已知an=n2，證明對(duì)一切正整數(shù)n，有1a1+1a2+…+1an<74.

分析當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng)n≥2時(shí)，問題等價(jià)于1a2+1a3…+1an<34.

因?yàn)?an=1n2=1n×n，構(gòu)造公差為1的等差數(shù)列{bn}，使1n×n<1bnbn+1=1bn-1bn+1，則1a2+1a3…+1an

<（1b2-1b3）+（1b3-1b4）+…+（1bn-1bn+1）=1b2-1bn+1<1b2=34，只須取b2=43即可.

證明當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立，

當(dāng)n≥2時(shí)，令bn=43+（n-2）×1=n-23，

則bn+1=n+13，bnbn+1=n2-n3-29

所以1a2+1a3+…+1an

<（1b2-1b3）+（1b3-1b4）+…+（1bn-1bn+1）=1b2-1bn+1<1b2=34.3分母是指數(shù)型

例8（2014年高考全國卷Ⅱ理17（2））已知an=3n-12，證明：1a1+1a2+…+1an<32.

要證的不等式中，左邊是n項(xiàng)的和，而右邊僅是一個(gè)常數(shù)32，這樣不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu)不和諧，不利于問題的解決，為了解決問題，要么左邊能夠直接求和（顯然左邊不能直接求和），要么右邊的常數(shù)32能夠分解為一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，那右邊能分解為一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的形式嗎？

容易想到的是等比數(shù)列前n項(xiàng)和，即考慮構(gòu)造一個(gè)公比為q的等比數(shù)列{bn}，其前n項(xiàng)和為Tn=b1（1-qn）1-q，希望得到1a1+1a2+…+1an≤b1（1-qn）1-q

所以令b11-q=32，b1=1a1=1，則q=13，bn=（13）n-1，

因此只須證明1an≤bn，即23n-1≤（13）n-1，只須證明2·3n-1≤3n-1，即3n-1≥1，

而3n-1≥1顯然成立，所以1an≤13n-1，

所以1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+（13）n-1=1-（13）n1-13<32.

例9（2012年高考廣東卷理19（3））已知an=3n-2n，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，1a1+1a2+…+1an<32.

分析因?yàn)?an=13n-2n，構(gòu)造公比為13的等比數(shù)列{bn}，使1an=13n-2n≤bn，則1a1+1a2+…+1an

證明令bn=（13）n-1，則1an-bn=13n-2n-（13）n-1=2（2n-1-3n-1）3n-1（3n-2n）≤0，

所以1an≤（13）n-1，所以1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+（13）n-1=1-（13）n1-13<32.