互聯(lián)網(wǎng)拍賣的一類最優(yōu)拍賣機(jī)制研究

陳 龍

（攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川攀枝花 617000）

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互聯(lián)網(wǎng)拍賣的一類最優(yōu)拍賣機(jī)制研究

陳 龍

（攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川攀枝花 617000）

［摘 要］以O(shè)nsale網(wǎng)上拍賣公司為背景，在拍賣總供給給定的條件下，基于網(wǎng)上拍賣數(shù)量對(duì)報(bào)酬函數(shù)影響的若干重要理論，將拍賣時(shí)間視為變量，改進(jìn)了拍賣時(shí)間確定的方法，得出了獲取最優(yōu)利潤(rùn)的一類新的最優(yōu)拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)方法。

［關(guān)鍵詞］網(wǎng)上拍賣；最優(yōu)機(jī)制；互聯(lián)網(wǎng)

傳統(tǒng)的商品交易通常是以固定價(jià)格的方式出售商品，但對(duì)顧客來(lái)講，這種購(gòu)買方式受到時(shí)間、空間等因素的限制。隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，已有許多商家將他們的產(chǎn)品推上網(wǎng)絡(luò)，并以更快、更靈活、更方便的方式出售，使顧客足不出戶選購(gòu)商品成為了現(xiàn)實(shí)。近幾年有關(guān)網(wǎng)上拍賣時(shí)間的研究有了一些新的進(jìn)展。Lucking-Reiley［1］等通對(duì)過(guò)錢幣拍賣的研究，提取eBay上的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)拍賣時(shí)間的長(zhǎng)短與商品的成交價(jià)格高低有關(guān)。Pinker［2］等指出:如果拍賣商把拍賣時(shí)間定得太長(zhǎng)，買賣雙方的額外成本會(huì)增加。Marcoux［3］討論了如何選擇最優(yōu)拍賣結(jié)束時(shí)間規(guī)則。Bajari［4］等也以eBay為調(diào)查對(duì)象，發(fā)現(xiàn)在網(wǎng)上拍賣中拍賣方的期望收入與顧客的數(shù)量有密切關(guān)系。另外，拍賣方的聲譽(yù)也是相當(dāng)重要的，但顧客的投標(biāo)經(jīng)驗(yàn)對(duì)拍賣收入的影響并不大。

本文從定量的角度，以全球最大的網(wǎng)上拍賣公司——美國(guó)的Onsale公司為例，利用互聯(lián)網(wǎng)以拍賣形式銷售的商品為背景，討論了商家如何設(shè)計(jì)拍賣機(jī)制才能在有效進(jìn)行資源配置的基礎(chǔ)上獲得最大利潤(rùn)的問(wèn)題。

1　模型的設(shè)立與前提

美國(guó)Onsale網(wǎng)上拍賣公司的拍賣規(guī)則設(shè)計(jì)十分復(fù)雜。假定商家拍賣t天使得商家的利潤(rùn)最大，每天每件產(chǎn)品的存貯費(fèi)用為h元，若拍賣到達(dá)的顧客數(shù)nt=n（0≤n<∞），顧客的報(bào)價(jià)分別為r1，r2……rn，其從大至小依次重新排列得到b1≥b2≥……≥bn。

現(xiàn)作以下6個(gè)假定:

1）投標(biāo)顧客的到達(dá)過(guò)程是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程；

2）顧客都是風(fēng)險(xiǎn)中性的；

3）顧客的報(bào)價(jià)是相互獨(dú)立的；

4）每個(gè)顧客最多只能買一件商品；

5）商家對(duì)拍賣品的保留價(jià)為零；

6）顧客是信息對(duì)稱的，即雙方掌握的信息是相同的，且他們的報(bào)價(jià)在［a，b］上均勻分布，其分布函數(shù)記為F（x）［1-3］。由于參與投標(biāo)的顧客到達(dá)是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，其分布函數(shù)為

2　單物品拍賣的最優(yōu)拍賣時(shí)間確定

2.1模型建立

令b1為商品的第一最高報(bào)價(jià)，由全概率公式得

由于F（x）是 ［a，b］上的均勻分布，不難看出b1取值于 ［a，b］，于是商品的第一最高報(bào)價(jià)的期望為

若記r（i，t）表示在t時(shí)間內(nèi)拍賣出i件產(chǎn)品所獲得的報(bào)酬，從而商家獲得的報(bào)酬為r（1，t）。

要使r（1，t）最大，求穩(wěn)定點(diǎn)

商家拍賣一件商品時(shí)，其拍賣時(shí)間t滿足式（3）時(shí)，商家的利潤(rùn)最大［4-9］。

2.2數(shù)值分析

由文獻(xiàn)［10］得來(lái)的數(shù)據(jù)對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，根據(jù)Carrie Bean等對(duì)Onsale網(wǎng)站上拍賣的CD機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，確定他們的參數(shù)值為:

1）每件商品每天的固定存貯費(fèi)h=0.13美元；

2）顧客每天的到達(dá)率λ=13.6；

3）顧客的報(bào)價(jià)在［75，150］美元之間服從均勻分布，故a=75，b=150。

代入式（3），即得:拍賣一件該商品，拍賣時(shí)間定為t=7 d時(shí)，拍賣商的期望利潤(rùn)最大。

3　多物品拍賣的最優(yōu)拍賣時(shí)間確定

3.1模型建立

如何確定拍賣時(shí)間的長(zhǎng)短，從而使商家獲得的期望利潤(rùn)最大。除了前面假定的條件以外，另假定每個(gè)顧客最多只能購(gòu)買一件商品。拍賣到達(dá)的顧客人數(shù)nt=n（0≤n<∞），由于參與投標(biāo)的顧客到達(dá)是服從參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，其分布函數(shù)為

r1，r2……rn分別為顧客的報(bào)價(jià)，根據(jù)假設(shè)，報(bào)價(jià)r1，r2……rn是在 ［a，b］上均勻分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，令b1，b2……bn為r1，r2，……rn從大到小排列后的報(bào)價(jià)，即:b1≥b2≥……≥bn。

1）當(dāng)n

2）當(dāng)n≥k時(shí)，令bk為商品的第k最高報(bào)價(jià)。

由式（4）和式（5）得

由于F（x）是 ［a，b］上的均勻分布，不難看出bk取值于 ［a，b］，于是商品的第k個(gè)最高報(bào)價(jià)的期望值E［bk］為

從而商家獲得的報(bào)酬為

要得到最優(yōu)的時(shí)間t，就要滿足方程

即滿足

只要t滿足式（7），商家的期望利潤(rùn)最大。式（7）中，k是商家拍賣的商品數(shù)；［a，b］是投標(biāo)商的估價(jià)范圍；λ是顧客每天的到達(dá)率；h是每天每件拍賣品的存貯費(fèi)用。對(duì)具體的商品，一旦k，a，b，λ，h確定，最優(yōu)拍賣時(shí)間t就能通過(guò)式（7）獲得［11-13］。

3.2數(shù)值分析

由文獻(xiàn)［10］得來(lái)的數(shù)據(jù)對(duì)式（7）中最優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，根據(jù)Carrie Bean等對(duì)Onsale網(wǎng)站上拍賣CD機(jī)的統(tǒng)計(jì)，他們確定的參數(shù)值為:

1）每件商品每天的固定存貯費(fèi)h=0.13美元；

2）顧客每天的到達(dá)率λ=13.6；

3）顧客的報(bào)價(jià)在［75，150］美元之間服從均勻分布，故

拍賣品的數(shù)量和拍賣時(shí)間長(zhǎng)短如表1所示（表內(nèi)的拍賣時(shí)間為通過(guò)四舍五入后的數(shù)據(jù)），拍賣商的期望利潤(rùn)最大。

由表1可知，當(dāng)h=0.13美元，λ=13.6，a=75美元，b=150美元時(shí)，當(dāng)商家拍賣2件商品時(shí)，拍賣時(shí)間定為8天，商家的期望利潤(rùn)最高；當(dāng)商家拍賣3件商品時(shí)，拍賣時(shí)間定為9天，商家的期望利潤(rùn)最高；當(dāng)商家拍賣4件商品時(shí)，拍賣時(shí)間定為10天，商家的期望利潤(rùn)最高等等。

表1　最優(yōu)拍賣時(shí)間Table 1 The optimal auction time

3.3模型優(yōu)化

商家對(duì)拍賣品的保留價(jià)為零這一假設(shè)一般情況下是不成立的。由于拍賣品的價(jià)值、成本等因素，它的最低價(jià)常常不等于零，因而商家都會(huì)事先給拍賣品制定一個(gè)保留價(jià)v，即低于這個(gè)價(jià)格不予出售［14-15］。

下面我們討論在商家設(shè)置不公開(kāi)保留價(jià)v的情況下，如何確定最優(yōu)拍賣時(shí)間，使得拍賣商的期望利潤(rùn)最大化。除了前面假定的條件以外，另假定k件拍賣商品全部拍賣出去，此時(shí)到達(dá)的顧客數(shù)也必定大于拍賣出的商品數(shù)量，即n≥k，并且到達(dá)的n位顧客的報(bào)價(jià)中至少有k個(gè)報(bào)價(jià)不低于v。

計(jì)算報(bào)酬函數(shù)r（k，t），即bk為顧客報(bào)價(jià)中第k個(gè)最高報(bào)價(jià)，k≥1。由于拍賣出的商品數(shù)不可能大于到達(dá)的顧客數(shù)，所以記n

在n≥k的條件下，自然有bk∈ ［a，b］，由全概率公式得

由式（8）和式（9）可得

由此可知，當(dāng)k≥1，顧客的第k個(gè)最高報(bào)價(jià)bk是一個(gè)連續(xù)型和離散型相結(jié)合的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為

由于商家設(shè)有保留價(jià)v，所以這里僅需考慮顧客與商家成交時(shí)的價(jià)格，我們稱之為成交價(jià)。當(dāng)k≥1，第k個(gè)成交價(jià)就是當(dāng)bk≥v時(shí)的第k個(gè)最高報(bào)價(jià)bk。于是，商品的第k個(gè)最高成交價(jià)的期望值為

由式（10）可得

對(duì)c>0，用分部積分遞推可求得

將上式代入式（13）可得

將式（10）、式（14）代入式（12），得到商品的第k個(gè)最高成交價(jià)期望值為

從而商家獲得的報(bào)酬為

要得到最優(yōu)時(shí)間t，就要滿足方程

只要t滿足式（16），商家的期望利潤(rùn)最大。式（16）中，k是商家拍賣的商品數(shù)；［a，b］是投標(biāo)商的估價(jià)范圍；λ是顧客每天的到達(dá)率；h是每天每件拍賣品的存貯費(fèi)用；v是拍賣商的保留價(jià)。對(duì)具體商品，一旦k，a，b，λ，h，v確定，最優(yōu)拍賣時(shí)間t就能通過(guò)式（16）獲得。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文以美國(guó)Onsale網(wǎng)上拍賣公司為例，對(duì)網(wǎng)上一次性英式拍賣進(jìn)行了具體分析，只要拍賣時(shí)間的長(zhǎng)短選擇合適，商家可以提高他的期望利潤(rùn)，并且在這個(gè)基礎(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，即假設(shè)拍賣商設(shè)置了保留價(jià)v的情況下，最優(yōu)拍賣時(shí)間的確定更有其現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。但是文中沒(méi)有分析分階段拍賣，如果分階段拍賣，每個(gè)階段拍賣時(shí)間的長(zhǎng)短也會(huì)影響商家的階段期望利潤(rùn)，從而影響到商家的總期望利潤(rùn)，所以如何確定每個(gè)階段的拍賣時(shí)間，制定出有利于商家網(wǎng)上拍賣的最優(yōu)機(jī)制，筆者將在后續(xù)工作中進(jìn)一步進(jìn)行研究。

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（責(zé)任編輯 柴 智）

A Study on Optimal Mechanism of Internet Auctions

Chen Long
（School of Mathematics and Computer Science，Panzhihua University，Panzhihua Sichuan 617000，China）

Abstract:Based on the auction formalism in onsale，Inc.，an Internet-based auction house.Under the condition of given supplies，based on the theory of influence of on-line auction quantity to the reward function，regards the auction time as the variable，improved the determination methods of the auction time，and obtained some new thoughts about how to obtain the optimal interest.This paper investigatesa type of optimal problems of internet auctions in the context of Onsale Internet Auction Corporation.In the setting，auction time is described as a random variable.When given the total auction supplies，by applying some important results of reward functions disturbed by the number of internet auctions，this paper improves the method of determining auction time and by finding optimal profit，obtains a new type design for auction mechanism.

Key words:On-line auction；The optimal mechanism；Internet

［中圖分類號(hào)］F 713.359

［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］A

［文章編號(hào)］1005-0310（2016）01-0065-07

DOI：10.16255/j.cnki.ldxbz.2016.02.12

［收稿日期］2014-10-14

［基金項(xiàng)目］攀枝花學(xué)院科研項(xiàng)目（2013YB12）。

［作者簡(jiǎn)介］陳龍（1981-），男，四川省遂寧市人，攀枝花學(xué)院講師，主要研究方向?yàn)閿?shù)論及經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)。E-mail:scsnchl @126.com