探索重在以“課題學習”為主導的數(shù)學思維教學*
——“探究三角形的角平分線的交角關系”教學研究

●余獻虎

(衢州市實驗學?！≌憬橹荨?24000)

?

探索重在以“課題學習”為主導的數(shù)學思維教學*
——“探究三角形的角平分線的交角關系”教學研究

●余獻虎

(衢州市實驗學校浙江衢州324000)

摘要：教學需要實踐，實踐才能創(chuàng)新.以“課題學習”為主導、學生小組合作學習為主體的數(shù)學教學，踐行“數(shù)學教學是數(shù)學思維的教學”這一精神，便于學生通過自主協(xié)作設置研究方向、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，這樣的“主題式”教學，旨在尋求有利于“數(shù)學核心素養(yǎng)”養(yǎng)成的數(shù)學教學，為學生的終身學習能力養(yǎng)成打下基礎.

關鍵詞：主題式教學;自我發(fā)現(xiàn);數(shù)學思維;數(shù)學核心素養(yǎng)

怎樣的數(shù)學教學是有效的？怎樣的數(shù)學教學有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成？怎樣的數(shù)學教學有利于學生數(shù)學思維的拓展？諸類此類問題，常常困惑著教師，使得我們的教學猶如插在電線上的雞毛，風吹兩面，搖擺在理論與實踐之隙、現(xiàn)實與理想之間.在學習了浙江省教育廳《課程整合實施指導意見》后，依據(jù)“要根據(jù)學生發(fā)展及課程實施需要，以集中和分散相結合的方式，積極探索長短課、周課、月課、階段性課，鼓勵‘主題式’學習活動的實驗探索，培養(yǎng)以個人發(fā)展和終身學習為主體的核心素養(yǎng)”這一精神，結合筆者自己的教學實際，嘗試偏向于自我發(fā)現(xiàn)的課題學習型主題式教學研究和實踐.

偏向于自我發(fā)現(xiàn)的課題學習型主題式教學，強調(diào)學生在合作狀態(tài)下的自主研究和發(fā)現(xiàn)，注重在發(fā)現(xiàn)前提下的自主探究和證明.在教學中，筆者發(fā)現(xiàn)浙教版教材八年級上冊“認識三角形”一節(jié)的內(nèi)容有：三角形高、中線、角平分線，每種“線”的內(nèi)容都很豐富.完成本節(jié)內(nèi)容之后，在公開示范的前提下，筆者實踐了偏向于自我發(fā)現(xiàn)的課題學習型主題式教學.限于篇幅，僅選取以“三角形角平分線”為載體的教學研究.

1教學實錄

師：同學們好，今天我們來研究三角形的角平分線交角關系.請各小組拿出研究圖形，結合已學知識，自主確定小組研究內(nèi)容，自主研究圖形，如構造研究需要的射線、直線以完善研究圖形，添加適當?shù)淖帜敢员阌诒硎龊脱芯?

(教師附上學生備用圖,并在巡視中俯身聆聽學生的討論和意見.)

師(擊掌示意，停止討論)：請各小組匯報你們選定的研究內(nèi)容及成果，對于猜想，不妨給出理由.

生1(第3組)：三角形的角有內(nèi)角和外角，我們選擇內(nèi)角的角平分線交角關系，選用了量角器作為我們的研究工具，量得∠A=47°.由于研究圖是一樣的三角形，我們在保留∠A不變的情況下作了如圖1～4所示的分割：

圖1 　　　　圖2 　　　　圖3 　　　　圖4

我們發(fā)現(xiàn)4種情況中∠E都是113.5°，大小不變.下面請生2補充說明當∠A不變時，∠E也不變的理由.

生2(第3組)：以圖2為例，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知

∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，

從而

∠A+2∠EBC+2∠ECB=180°.

在△BEC中，∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，移項得

∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC，

變形得

∠A+2(180°-∠BEC)=180°，

化簡得

因此

∠E=113.5°.

生3(第7組)：我們選擇外角，直接通過論證得到了三角形2個外角平分線的交角度數(shù)與第3個內(nèi)角度數(shù)之間的關系.

圖5　　　　　圖6　　　　　圖7

如圖5，∠FCB與∠EBC是△ABC的2個外角，OB，OC是角平分線，則

180°-2∠OCB+180°-2∠OBC+∠A=180°，

∠OCB+∠OBC+∠O=180°，

因此

我們?nèi)×恕螦=40°，50°，80°，算得∠O=70°，65°，50°，滿足上述關系式.

師：第7組其他成員有補充嗎？

生5(第4組)：我們也研究外角，有更簡便的方法.把圖2和圖5結合到一起得到圖6，我們已經(jīng)學過∠OBG=∠OCG=90°，小學里已經(jīng)學過四邊形的內(nèi)角和是360°，從而

∠BOC+∠BGC=180°，

代入得

師：關于三角形內(nèi)角或外角的角平分線交角關系還有補充嗎？請結合剛才幾位同學的發(fā)言，猜想三角形的一個內(nèi)角和與它不相鄰的外角平分線的交角關系.

師：請第8組派代表回答.

第1組：如圖8，在△ABC中，AG,GC,OC分別是∠BAC,∠BCE,∠ACB的角平分線，已知∠G=16°，求∠AOC的度數(shù).

圖8　　　　圖9

第3組：如圖9，在△ABC中，∠A=48°，BA1，CA1分別是∠ABC，∠ACD的角平分線，BA2，CA2分別是∠A1BC，∠A1CD的角平分線，…，以此類推，求出∠A2，∠A5的度數(shù).

師：請第1組的代表(生7)說明你所在組的意圖及解法.

生7：我們組根據(jù)第4組給出的圖形提出問題，主要是考查能不能發(fā)現(xiàn)∠G，∠B，∠AOC間的關系.解法有2種：

1)因為∠G=16°，那么∠B=32°，所以

2)因為CO，CG是角平分線，所以∠OCG=90°，于是

∠AOC=90°+∠G=106°.

師：生7的表達很清晰.第3組的代表(生8)呢，你們小組有何見解？

生8：我們組本來是用老師給的備圖，畫第3次時字母標不下，又重新畫了圖9，主要方法是找規(guī)律：

師：第3組的問題能不能再拓展成：以此類推，操作n次后，求出∠An.

師：老師根據(jù)生9的答案提一個問題：在第3組的問題中，當n為多少時，∠An的度數(shù)是最小整數(shù)？

師：好！其他組還提出了哪些新問題？

圖10

生11：我有3次操作，問題是：如圖10，BD，CD是△ABC的角平分線；BE，DE是△DBC的角平分線；DF，EF是△BDE的角平分線.1)若∠ACB=80°，∠A=40°，求∠DFE的度數(shù)；2)若∠DFE的度數(shù)是整數(shù)，問∠DFE至少是幾度？

師：通過操作聯(lián)系前后，生11提出的第2)小題有點繼往開來的味道.不錯的思路，接受挑戰(zhàn)吧！

生12：因為DF，EF是△BDE的角平分線，所以

生13：因為DB，DC是△ABC的角平分線，BE，DE是△DBC的角平分線，所以

因為DF，EF是△BDE的角平分線，所以

于是

∠DFE=180°-55°-27.5°=97.5°.

師：好，生13請坐.生12請繼續(xù)補充.

師：非常好！第2)小題應該關注條件的整除性，通過分析被8整除的最小整數(shù)來獲取結果.

圖11

接著教師也提了一個問題，供學生課后思考：如圖11，在△ABC中，∠ABC=90°，OA=OC，求∠BAC，∠ECG的度數(shù).

師：請大家回顧一下這節(jié)課我們研究了什么內(nèi)容？你有哪些收獲？你有哪些新感受？

生14：我學到了用分類思想研究問題的方法，既要看到內(nèi)角平分線，也要看到外角平分線，還要把這2種角平分線放在一起研究.

生16：在問題解決時要注意知識前后的聯(lián)系、已知與未知的聯(lián)系.

生17：探究問題可以從簡單到復雜，還要及時歸納和總結.

師：大家通過自己的努力得到了三角形角平分線的交角關系，總結了3個結論，并在此基礎上提出問題，值得肯定，希望大家再接再厲.

2認識與感悟

我們當下的數(shù)學教學需要教什么？如何培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)的意識和能力、自己動手驗證和證明的能力、自我發(fā)現(xiàn)正確與否的能力、應用自我發(fā)現(xiàn)解決問題的能力？這些問題觸動我們實踐“自我發(fā)現(xiàn)的課題學習型主題式教學”，但當下我們做不到讓學生完全地自我發(fā)現(xiàn)，基于此，筆者提出了“偏向于”這一關系.

本次研究完成了三角形中線、高線和角平分線這3個主題學習，每一塊內(nèi)容都偏向于學生自主“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、綜合研討、拓展創(chuàng)新”，旨在培養(yǎng)他們的幾何直觀和幾何證明等數(shù)學核心素養(yǎng).同時，我們還有如下展望：

2.1主題是載體，重在自主

自我發(fā)現(xiàn)的主題式教學是依托確定的主題展開的教學活動.本節(jié)課的主題是三角形的角平分線的交角關系，即三角形的內(nèi)角、外角的角平分線的夾角(不大于90°的角)的數(shù)量關系，課堂里教師會“俯身與學生交流”“沉默”，但不替代、不包攬，重在自主.

教學不能填滿學生學習的空間，要留有閑暇.也就是說，知識教學要夠用，但不能過度，知識教學過度會導致學生想象力和創(chuàng)造力發(fā)展受阻.因為學校教育絕不是給人生畫上句號，而是給人生準備好必要的“槳”.

這把“槳”說明聰明的教學應該以學生自主發(fā)展為導向，積極促使學生自主學習研究，實現(xiàn)開拓創(chuàng)新.本次教學研究倡導以課題學習為主導的數(shù)學思維主題式教學，其核心價值是自主研究，其核心目標是“落小、落細、落實”.

2.2突破“傳、授、解”，瞄準發(fā)現(xiàn)

“傳道、授業(yè)、解惑”為師者之精髓，思想雋永、深刻，但“傳、授、解”的字面有其不足，傾向于被動地接受.

自我發(fā)現(xiàn)的主題式教學倡導以“課題學習”為主導，需要落實“再創(chuàng)造”的數(shù)學學習過程.

荷蘭數(shù)學家弗萊登塔爾說過：學生學習數(shù)學唯一正確的方法就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生.

數(shù)學知識是經(jīng)過歷史長河積淀、數(shù)學家高度概括抽象、現(xiàn)已存在的事實.這些事實，對于新接觸的學生來講，是全新和未知的.數(shù)學教學面臨的任務就是如何通過教學，讓對這些“陳舊”數(shù)學事實感到陌生的學生領悟和接納，并吸收其精髓，內(nèi)化為個人的數(shù)學核心素養(yǎng).本案例先給出通識素材，在達成一致的情況下由學生自主發(fā)現(xiàn)，有序拓展學習主體的數(shù)學學習眼界，突破“傳、授、解”，實現(xiàn)學生數(shù)學思維能力螺旋式上升.

2.3立足過程，意在思維

數(shù)學教學是立足于把學生的思維活動展開、輔之以必要的討論和總結，并加以正確引導的過程.數(shù)學教學中，應注意知識的形成、發(fā)展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運用新知識解決問題，以及用數(shù)學語言進行交流的能力[2].

本案例立足過程，秉承課程標準思想，意在思維.這個過程還啟示我們：

1)數(shù)學教學需要學生主動求取知識和組織知識，讓學生像科學家那樣去發(fā)現(xiàn)所學習的結論.三角形的角平分線分內(nèi)角的角平分線和外角的角平分線，本案例就是研究這些角平分線的交角性質(zhì)并證明，進而利用這些性質(zhì)作新的研究.這就是學習法.

2)數(shù)學學習是學生獲取數(shù)學知識、形成數(shù)學技能、發(fā)展各種數(shù)學能力的一種思維活動過程，這種思維活動是有預定目標的變化過程[3].學生在數(shù)學學習的過程中，能主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證等數(shù)學活動，去獲得適應未來社會和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識、技能、思維水平和解決實際問題的能力.

3)思維教學需要不斷地辨析和反思.辨析的目的是不斷地升華和探明，反思的目的是不斷地加工和整理.要改善知識結構，不僅要同化獲取的新知識，還要讓原數(shù)學認知結構也在獲取新數(shù)學知識的觸發(fā)下改造自身結構，以適應獲取數(shù)學新知識對數(shù)學認知結構的要求.當學生的數(shù)學認知結構形成新的格局時，會使學生誘發(fā)出新的聯(lián)想，產(chǎn)生新的思維方式，形成新的數(shù)學思想.后續(xù)研究，學生還有如下辨析：

①突破三角形框架：如圖12，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=α，∠DBE=β，求∠DCE的度數(shù)(用含α，β的代數(shù)式表示).

圖12　　　　　　圖13 　　　　　圖14

②打破一個三角形范疇：如圖13，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A=27°，∠C=39°，求∠M的度數(shù).

這些反思，便于打開學生思維，讓學生在“做中學、學中煉、煉中悟、悟后明”，實現(xiàn)數(shù)學思維能力螺旋式上升，實現(xiàn)教與學的創(chuàng)新，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，為學生的終身學習能力養(yǎng)成打下基礎.

參考文獻

[1]吳華，張守波，劉寶瑞，等.數(shù)學課程與教學論[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[2]譚本遠.獲取數(shù)學知識的過程分析及其能力培養(yǎng)[J].數(shù)學教育學報，2009，18(5)：31-34.

[3]葉立軍，方均斌，林永偉.現(xiàn)代數(shù)學教學論[M].杭州：浙江大學出版社，2006.

修訂日期：*收文日期：2016-04-08；2016-05-10

作者簡介：余獻虎(1969-)，男，浙江開化人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

中圖分類號：O123.1

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-22-05