線性代數(shù)中矩陣的秩的運用及教學策略分析

周俊超

【摘要】線性代數(shù)是數(shù)學研究領(lǐng)域中的一個重要學科分支，矩陣是線性代數(shù)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究的一個重要的工具。矩陣的秩幾乎貫穿矩陣理論的始終，它在線性代數(shù)中扮演了重要角色。本文根據(jù)線性代數(shù)中矩陣的秩的運用特點展開討論，提出幾點指導教學運用的具體策略。

【關(guān)鍵詞】矩陣的秩 線性代數(shù) 方程組 教學策略

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0240-02

一、前言

設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+l階子式（若存在）全等于0，那么稱D為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R（A）。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。顯然矩陣A的秩R（A）就是A中不等于0的子式的最高階數(shù)。還可以從向量組的角度來定義矩陣的秩，矩陣的行向量組的秩等于矩陣的列向量組的秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。不管對于數(shù)學專業(yè)的學生學習高等代數(shù)或者非數(shù)學專業(yè)的學生學習線性代數(shù)來說，學習和理解它的含義都是十分必要的。本文通過分析矩陣的秩在線性代數(shù)中的諸多作用， 逐步加深對這一概念本質(zhì)的理解， 進而真正掌握矩陣的秩并能靈活地運用它解決各種有關(guān)問題。在開展教學活動時，教師需要立足于矩陣的秩的性質(zhì)，開展結(jié)構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)圖的建設(shè)工作，通過多種教學手段的使用，從而顯著提高教學效果。

二、秩與初等變換

教材中通常先引進矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，并利用初等變換討論矩陣秩的性質(zhì)，然后利用秩討論線性方程組無解、有唯一解或有無無限多解的充分必要條件，并介紹用初等變換解方程組的方法。

初等變換不改變矩陣的秩。利用這一性質(zhì)，我們得到了求矩陣的秩的一般方法—初等變換法。要求矩陣的秩，可以對矩陣做初等變換，化為行階梯型，那么非零行的行數(shù)即為矩陣的秩。通過初等變換我們還可以得到矩陣秩的諸多優(yōu)良性質(zhì)。

用初等變換法我們還可以用來求向量組的秩，將向量組對應(yīng)成矩陣，初等變換法求出矩陣的秩，即為向量組的秩。更進一步，我們還可以求出向量組中的最大線性無關(guān)組及向量組的線性相關(guān)性。用初等變換法將矩陣化成行階梯型矩陣，找出不為零的最高階非零子式，它所在的行即為矩陣行向量組的一個最大線性無關(guān)組，所在的列即為矩陣列向量組的一個最大線性無關(guān)組。如果向量組的秩等于向量個數(shù)，則向量組線性無關(guān)；小于向量個數(shù)，則線性相關(guān)。從而將向量組的線性相關(guān)性的判別這個讓學生感到棘手的問題簡單化為向量組構(gòu)成的矩陣秩與向量個數(shù)的大小比較問題。

三、秩與線性方程組

為了探討線性方程組無解、有唯一解或有無無限多解的條件，我們需要將系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩與未知量的個數(shù)進行比較。

定理[1]：n元線性方程組 Ax = b

① 無解的充分必要條件是 R（A）

② 有唯一解的充分必要條件是 R（A） = R（A， b） = n ；

③ 有無限多解的充分必要條件是 R（A） = R（A， b）

例討論線性方程組解的情況，并在有無窮多解時求其解。

解：對方程組的增廣矩陣進行如下初等行變換：

（1） 當即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3，此時方程組有唯一解.

（2） 當系數(shù)矩陣的秩為1，增廣矩陣的秩為2，此時方程組無解.

（3） 當此時方程組有無窮多組解.

方程組的增廣矩陣進行初等行變換可化為

故原方程組與下列方程組同解：

令可得上述非齊次線性方程組的一個特解；

元素，可得為該齊次線性方程組的一個解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時原方程組的通解為

此外，注意到此題中方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同，還可以先計算系數(shù)行列式，運用克萊默法則，易于確定參數(shù)的值，使問題簡單化。

從以下這個表中我們能更加清楚的認識矩陣的秩與線性方程組的解的情況之間的關(guān)系。

四、矩陣的秩的教學策略探討

首先，要讓學生明白學習矩陣的秩的重要性。矩陣從來都是數(shù)學中的經(jīng)典內(nèi)容，是我們分析解決問題的一個強有力的工具，當然也是大學生必備的經(jīng)典知識。其次，在線性代數(shù)中，矩陣的秩是個比較抽象的概念，它是教師教學的重點和難點。若不注重方法直接介紹，學生將難以接受，接受勉強接受，也不能深刻地理解其定義與定理的具體的內(nèi)涵，更談不上在具體題目中能靈活運用這個數(shù)學概念。教師要幫助學生深刻理解矩陣秩的概念，從學生熟悉的背景引入，兼顧知識難點嚴密性和形象性，用大量實例將概念具體化，不管是從行列式的角度還是從向量組的角度，都能清晰把握概念內(nèi)涵。第三，在教學過程中要中深入剖向量組的線性相關(guān)性與矩陣的秩以及線性方程組解之間的內(nèi)在聯(lián)系，課堂教學過程中多選擇典型例題，例題就是抽象知識的具體化，通過典型的例題來解釋這些難懂的知識點。第四，讓學生多做練習，使學生在運用中加深對難點的理解和把握，從中體會相關(guān)知識的聯(lián)系與區(qū)別。比如，安排習題課讓學生進行課內(nèi)練習，教師可利用習題課對矩陣的秩的運用特點進行梳理和總結(jié)，幫助學生從整體上把握。針對一些典型的習題，讓學生先認真思考驗算，再進行講評，提高學生分析和解決問題的能力。

五、結(jié)束語

對于數(shù)學問題的認知方面，學生應(yīng)該全身心的參與，不應(yīng)該僅僅局限在課本和例題這些固定的知識層面，還應(yīng)該在題目的變式中得到錘煉和提高。在線性代數(shù)講解活動中，老師應(yīng)該循循善誘的幫助學生樹立起探索數(shù)學復雜題型的信心，在線性代數(shù)中矩陣秩的具體習題練習中得到思維發(fā)散與提高。

參考文獻：

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