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    縝密思考知識正遷移

    2016-06-13 04:22渠敬明
    初中生世界·九年級 2016年8期
    關(guān)鍵詞:邊形定值矩形

    渠敬明

    在學(xué)習(xí)一種新知識或解決一類新問題時,往往依靠過去已學(xué)過的知識或掌握的解題經(jīng)驗,去解決新問題,這種方法就叫知識的正遷移.近年來在數(shù)學(xué)中考中此類問題出現(xiàn)的頻率較高,它能較好地考查同學(xué)們自學(xué)的能力,下面舉例加以說明.

    例1 問題背景:

    若矩形的周長為1,則可求出該矩形面積的最大值. 我們可以設(shè)矩形的一邊長為x,面積為S,則S與x的函數(shù)關(guān)系式為:S=-x2+x(x>0),利用函數(shù)的圖像或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值.

    提出新問題:若矩形的面積為1,則該矩形的周長有無最大值或最小值?若有,最大(?。┲凳嵌嗌??

    分析問題:若設(shè)該矩形的一邊長為x,周長為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為:y=2x+(x>0),問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大(?。┲盗?

    解決問題:借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗,探索函數(shù)y=2x+(x>0)的最大(?。┲?

    (1) 實踐操作:填寫下表,并用描點法畫出函數(shù)y=2x+(x>0)的圖像.

    (2) 觀察猜想:觀察該函數(shù)的圖像,猜想當(dāng)x=______時,函數(shù)y=2x+(x>0)有最_______值(填“大”或“小”),是_______.

    (3) 推理論證:問題背景中提到,通過配方可求二次函數(shù)S=-x2+x(x>0)的最大值,請你嘗試通過配方求函數(shù)y=2x+(x>0)的最大(?。┲?,以證明你的猜想. (提示:當(dāng)x>0時,x=()2)

    【思路突破】對于(1),按照畫函數(shù)圖像步驟:列表、描點、連線;對于(2),結(jié)合圖表或函數(shù)圖像,可知有最小值,其值為4;對于(3),可配成完全平方式的形式,從而求出最值.

    解:(1) 如圖2:

    (2) 由函數(shù)圖像可知,其頂點坐標為(1,4),故當(dāng)x=1時函數(shù)有最小值,最小值為4,故答案為:1、小、4;

    即當(dāng)x=1時,y的最小值是4.

    【解后反思】在我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)圖像的畫法的基礎(chǔ)上,利用圖像解決本題便不是很難. 二次函數(shù)求最值的方法之一是配方,用模仿的方式將問題式配方求最值是解題關(guān)鍵. 本題設(shè)計新穎,不僅很好地考查了圖像的作法,還考查了知識的正遷移能力. 在今后的復(fù)習(xí)中,遇到?jīng)]有思路的問題,可以將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識去解決.

    例2 如圖3,在△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點,點P到兩腰的距離分別為r1、r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC.

    ∴r1+r2=h(定值).

    (1) 理解與應(yīng)用

    如圖4,在邊長為2的正方形ABCD中,點E為對角線BD上的一點,且BE=BC,F(xiàn)為CE上一點,F(xiàn)M⊥BC于M,F(xiàn)N⊥BD于N,試利用上述結(jié)論求出FM+FN的長.

    (2) 類比與推理

    如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內(nèi)任一點”,即:

    已知等邊△ABC內(nèi)任意一點P到各邊的距離分別為r1、r2、r3,等邊△ABC的高為h,試證明r1+r2+r3=h(定值).

    (3) 拓展與延伸

    若正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點P到各邊的距離為r1、r2、…、rn,請問r1+r2+…+rn是否為定值,如果是,請合理猜測出這個定值.

    【思路突破】仿照面積分割法,將三角形或多邊形分成若干個三角形,根據(jù)這些三角形面積的和等于整個圖形的面積,建立等量關(guān)系,便可求出結(jié)論.

    解:(1) 理解與應(yīng)用

    連接AC交BD于O,則CO⊥BD,由上述結(jié)論得:

    (2) 類比與推理

    如圖6,連接AP,BP,CP.

    ∵S△ABP+S△PBC+S△ACP=S△ABC,

    ∴·AB·r3+·BC·r1+·AC·r2

    =·AB·h,

    ∵AB=BC=AC,

    ∴r1+r2+r3=h.

    (3) 拓展與延伸

    連接PA1、PA2、…、PAn,

    S△A1A2P+S△PA2A3+…+S△A1AnP=S正n邊形A1A2…An,

    設(shè)正n邊形的邊長為a,邊心距為r,

    則ar1+ar2+…+arn=n·ar,

    ∴r1+r2+…+rn=nr,為定值.

    【解后反思】

    本題主要利用面積分割法求線段之間的關(guān)系,充分體現(xiàn)了面積法解題的作用. 解決多邊形距離問題時,??紤]面積法,即將多邊形分成若干三角形來處理.

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    4.4 邊形和特殊四邊形
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