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    例說幾何定值的證明方法

    2018-07-23 11:14:36何昌萍
    新教育時代·教師版 2018年21期
    關(guān)鍵詞:過點動點定值

    何昌萍

    幾何定值問題,一般覺得束手無策,其原因在于題中沒有明確給出這個定值是什么,且此類題目在教材中安排分散,就題論題,沒有給出一般的證明策略。

    如何發(fā)現(xiàn)“定值”是什么,是解決這類問題的關(guān)鍵。尋找定值的方法,一般是把圖形中的點或線段運動到特殊的位置進行分析,或?qū)栴}轉(zhuǎn)化到特殊的幾何圖形中,以發(fā)現(xiàn)“定值”,然后給出一般的證明。

    一、從動點的臨界位置發(fā)現(xiàn)定值。

    例1 已知四邊形ABCD中,∠B=∠D=90?,M為AC上任意一點,且MP⊥BC,MQ⊥AD,求證: 為定值。

    分析:因M是AC上的動點,若M運動到AC的邊界位置A(或C)點,則有PM=AB,MQ=0

    ∴ 故可預(yù)測

    例2 半徑分別為R和r的兩個圓⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點,求證:S1-S2為定值。

    分析:當(dāng)⊙O1與⊙O2的交點A、B重合時,即兩圓外切,這時S1=S⊙O1,S2=S⊙O2此時定值為兩圓面積之差,故可預(yù)測。S1-S2=π(R2-r2)

    證明:S1=S⊙O1-S,S2=S⊙O2-S

    ∴S1-S2 =S⊙O1-S-(S⊙O2-S)

    =S⊙O1-S⊙O2

    =π(R2-r2)

    二、從圖形的特殊形狀求定值。

    例3 已知OA、OB是⊙O的半徑,AD⊥OB于D,DC⊥AB于C。求證:OC2+CD2為定值。

    分析:當(dāng)△AOB為正三角形時,AD為OB上的中線,設(shè)OA=R,則有OD=DB= ,BC= ,

    由于CD2=BD2-BC2= ,

    OC2=BO2+BC2-2BO·BC·= ,

    因此可以預(yù)測OC2 +DC2=R2

    證明:如圖由射影定理可得

    DC2=AC·CB

    作OE⊥AB于E,則有

    DC2=(AB+EC)(AB-EC)

    =AB2-EC2

    OC2=OE2+EC2

    OC2 +DC2=OE2+EC2+AB2-EC2

    =OE2+AB2

    =OE2+AE2

    =R2

    例4 已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD于E,求證:AD2 +BC2=AB2+CD2=定值。

    分析:若E點與圓心重合,則四邊形ABCD為正方形,設(shè)⊙O的半徑為R,則有AB=BC=CD=DA=R,因此可預(yù)測AD2 +BC2=AB2+CD2=4R2

    證明:連結(jié)OA、OB、OC、OD,設(shè)∠AOB=α

    由AC⊥BD可得 +?180?,則∠COD=180 ?-α

    AB2=AO2+BO2-2AO·BO=2R2-2R2

    CD2=CO2+DO2-2CO·DO=2R2-2R2

    ∴ AB2+CD2=4R2

    同理可得AD2+BC2=4R2

    因此AB2+CD2=AD2+BC2=4R2(定值)

    證圖形中角的三角函數(shù)值為定值,常構(gòu)建直角三角形,將角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩條線段的比,進而利用平面幾何的有關(guān)定理,使問題得到解決。

    例5 兩個同心圓的半徑之比為1:2,大圓的直徑AD順次交小圓于B、C,P為小圓上任一點,設(shè)∠APB=α,∠CPD=β,求證:·為定值。

    證明:過點B作BE⊥PB交AP于E,過點C作CF⊥PC交PD于F

    ∵∠BPC=90 ?

    BE∥PC

    CF∥PB

    在Rt△BPE與Rt△CFP中, ,

    ∴ tgα·tgβ= = =

    例6 已知B、C把線段AD三等分,以BD為直徑作半圓,過點A作半圓的割線APQ,求證:tg ∠ACP·tg ∠ACQ為定值。

    證明:連結(jié)DQ、DP、BP、BQ,在Rt△BDP與Rt△BDQ中,

    tg ∠ACP=tg∠ADP=

    tg ∠ACQ=tg∠ADQ=

    又△ABP∽△AQD ?

    △ABQ∽△APD?

    ∴tg ∠ACP·tg ∠ACQ=

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