泰勒公式易錯題分析研究

【摘要】泰勒公式是微積分學(xué)中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)，大部分學(xué)員在應(yīng)用泰勒公式時經(jīng)常出錯.本文分析了學(xué)員在應(yīng)用泰勒公式求極限時及證明與中值有關(guān)的命題時常出現(xiàn)的錯誤.文中就每種錯誤給出了相應(yīng)的例題和錯誤解法，并對錯解進(jìn)行了分析，最后給出了正確解法.

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；錯誤；分析

泰勒（Taylor）中值定理是微積分學(xué)中的一個重要定理，是微分學(xué)的理論基礎(chǔ).當(dāng)然，泰勒公式也是學(xué)員公認(rèn)的微積分學(xué)中最難學(xué)的知識點(diǎn).其實(shí)，只要學(xué)員理解了泰勒公式的思想，泰勒公式并不是那么可怕.泰勒公式的基本思想是用簡單函數(shù)（多項(xiàng)式函數(shù)）來逼近復(fù)雜函數(shù)，通過函數(shù)f（x）在已知點(diǎn)處的信息（f（x0）以及f（x）的各階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x0處的值）來表達(dá)它在未知點(diǎn)的信息.泰勒公式在微積分中的重要應(yīng)用有：近似計(jì)算、求某些類型的極限、證明不等式等等.但是學(xué)員在應(yīng)用泰勒公式時經(jīng)常出錯，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，把學(xué)員在應(yīng)用泰勒公式時經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行了歸納總結(jié)，分析了學(xué)員出錯的原因，并給出了正確解法.

1應(yīng)用泰勒公式求極限時常犯的錯誤

泰勒公式是求00型未定式極限的一種方法.因?yàn)榍髽O限時不需要對余項(xiàng)的大小進(jìn)行具體計(jì)算，而且僅涉及函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)的變化性態(tài)，所以只要用帶有佩亞諾（Peano）型余項(xiàng)的泰勒公式就行了.但是，大部分學(xué)員往往不注意這個高階無窮小，導(dǎo)致錯誤.

注1在應(yīng)用泰勒公式求極限時，只需把未定式的分母或分子或兩者同時應(yīng)用帶有佩亞諾（Peano）型余項(xiàng)的泰勒公式展開即可.需要注意的是所展開的多項(xiàng)式部分的最高次數(shù)要相同.另外，泰勒公式中的高階無窮小這個余項(xiàng)作運(yùn)算后千萬是不能抵消的，原因很簡單，高階無窮小是個變量，一個量的高階無窮小有很多，而且這些無窮小具體是誰不知道，所以是無法抵消掉的.

2.應(yīng)用泰勒公式證明微分學(xué)中含有中值的命題時常犯的錯誤

注2在應(yīng)用泰勒公式證明含有中值的命題時，需要對函數(shù)f（x）在一點(diǎn)x0處進(jìn)行泰勒展開，這就需要恰當(dāng)?shù)剡x擇x0.選擇x0沒有一般規(guī)律可循，但通常選用區(qū)間的端點(diǎn)、中間點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或信息給的比較多的點(diǎn)（如函數(shù)在該的值或一階導(dǎo)數(shù)的值已給出等）等特殊點(diǎn)作為x3.應(yīng)用泰勒公式證明積分學(xué)中含有中值的命題時常犯的錯誤

以上就是學(xué)員們在應(yīng)用泰勒公式時經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤，其實(shí)只要學(xué)員真正理解了泰勒公式的思想，上述錯誤是完全可以避免的.當(dāng)然，教員也要正確看待和利用這些“錯題”，要及時對這些“錯題”進(jìn)行探究、分析和講評，因?yàn)檫@些都是非常寶貴的教學(xué)資源，如果教員能利用好這些資源，不但可以為學(xué)員創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)機(jī)會，而且可以培養(yǎng)學(xué)員的問題意識，培養(yǎng)和提高學(xué)員發(fā)現(xiàn)問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬知恩，王綿森.高等數(shù)學(xué)疑難問題選講[M].第一版.北京：高等教育出版社，2014：104.

[2]吳忠祥.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)教學(xué)輔導(dǎo)書（上）[M].第一版.北京：高等教育出版社，2006：45.

[3]張?zhí)斓?，蔣曉蕓.Б.П.吉米多維奇高等數(shù)學(xué)習(xí)題精選精解[M].第一版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010：88，115，186.

[4]景慧麗.第二類曲面積分易錯題分析研究[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，5：4-8.