巧假設促轉(zhuǎn)化——再探最短路徑問題

雍思賢

摘 要：最短路徑問題已從課本習題邁入“課題學習”之門。本文從最短路徑問題的基本模型出發(fā)，通過假設與變式，逐步轉(zhuǎn)化成新的實際問題和數(shù)學模型，旨在武裝數(shù)學思想，探究其解法共性。

關鍵詞：最短；假設；轉(zhuǎn)化；平移；對稱

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）18-059-02

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眾所周知，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中最基本的數(shù)學思想。而假設法也是一種重要的數(shù)學思維方法，在問題的轉(zhuǎn)化過程中，假設起“橋梁”作用。下面我們以數(shù)學人教版八年級“課題學習——最短路徑問題”為例，來體驗一下假設法對于問題轉(zhuǎn)化的重要性。

一、模型1——在直線上求作一點與直線同側(cè)的兩點所連線段之和最小

例1：如圖1-1，點A，B分別是直線異側(cè)的兩個點，在上求作一點C，使CA+CB最短。

解決策略：連接AB，與直線的交點即為所求。

這是最基本的數(shù)學模型。下面我們用假設法對這個模型進行舉一反三、拓展應用。

二、模型1“變形記”——模型2

模型2：在直線上求作一點與直線異側(cè)的兩點所連線段之和最小

例2：如圖2-1，點A，B分別是直線同側(cè)的兩個點，在上求作一點C，使CA+CB最短。

如圖2-2，假設把河面看作一面鏡子，點B反射到另一側(cè)點B'處，則A、B'兩點位于直線異側(cè)，“模型2”就轉(zhuǎn)化為“模型1”。當然，作點A的對稱點也可。

解決策略：先作其中一個點關于這條直線的對稱點，再連接對稱點與另一個點，與該直線的交點即為所求。要證CA+CB最短，如圖2-3，在直線上另外任取一點C'，然后證明AC+BC三、模型1再“變身”

提到“河”，人們會想到“橋”。下面就來談談人們熟悉的造橋選址問題。

例3：如圖3-1，從A地到B地經(jīng)過一條小河（河岸a∥b），現(xiàn)要在河上建一座與兩岸垂直的橋MN，橋造在何處才能使從A地到B地的路徑AMNB最短？

分析：造的橋要與河垂直，由于路徑AMNB中的MN的長度是個定值（等于河寬），因此只需使AM+NB最小即可。

（一）法1——條件假設，變“因”導“果”

在本例中，假如河的寬度變?yōu)榱?，這個問題就轉(zhuǎn)化成前面所講的“模型1”。

如圖3-2，將點A向與河岸垂直的方向平移一個河岸寬度到A1，我們可以假想直線a也平移到了直線b并與a重合，由于點A1和點B分別位居直線b兩側(cè)，由“模型1”可知，只需連接A1B，交河岸于點N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑。

略證：如圖3-3，如果在不同于MN的位置造橋M1N1.由于M1N1=MN=AA1；又根據(jù)“兩點之間，線段最短”，AN1+N1B>A1N+NB，故路徑AMNB要短于AM1N1B.

（二）法2——結(jié)論假設，執(zhí)“果”索“因”

如圖3-2，從A到B可行走的路線是A→M→N→B，假設在此路線中AM+BN最短，現(xiàn)來找一找它應該滿足的條件.要使AM+BN最短，需將兩線段拼在一條直線。因為兩點之間，線段最短，故將AM平移到A1N，使A1、N、B三點共線，A1N+NB最小.此時，AM∥A1N且AM=A1N，可證四邊形AMNA1是平行四邊形，則AA1=MN；因此，需要先將點A向垂直于直線b的方向平移一個河岸寬度到A1處。

四、模型1拓展記

（一）情景設疑

如果一條河變成兩條河，需要駕兩座橋或更多座橋，又該如何選址呢？

例4：如圖4-1，從A地到B地經(jīng)過兩條小河，現(xiàn)要在河上建兩座與河岸垂直的橋，則在何處建橋才能使從A地到B地的路徑最短？

（二）解法展示

法1：將其中的點A或點B連續(xù)平移兩次

如圖4-2，先將點A沿與河流河岸垂直的方向平移一個河寬到A1，再沿與河流2河岸垂直的方向平移一河寬到A2，連接A2B，交河流2河岸于N，此處建橋MN；連接A1M，交河流1于P，在此處建橋PQ，所得路徑AQPMNB最短。

法2：將點A、點B分別平移一次

如圖4-3，將A沿與河流1垂直的方向平移一個河寬，得到A1，再將B沿與河流2河岸垂直的方向平移1個河的寬度得到B1，連接A1B1與河流1、河流2分別相交于N、P，分別作橋MN、PQ，所得路徑AQPNMB最短。

（三）歸納小結(jié)

由上可知，造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，通過平移變換（向垂直于河岸的方向平移），使除了橋長不變外所得到的其他路徑平移后在一條直線上。

五、模型1、模型2“融合記”

分析：本例是平移變換和軸對稱變換的綜合題，同樣也可以用假設法解決。如圖5-2，假設PQ的長度為零，將點B沿平行于直線的方向朝左平移PQ的長（定長）至B'，再在直線上找一點P，使AP+PB'最?。ㄞD(zhuǎn)化為模型2），最后作點A關于直線的對稱點A'（轉(zhuǎn)化為模型1），連接A'B'，交直線于P；最后在直線上截取線段PQ等于定長。則此時AP+PQ+BQ最小，原理如圖5-3所示（證明略）。

綜上所述，在解決最短路徑問題時，我們可以用假設法，利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的幾條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而得出最短路徑。這樣將未解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，真正實現(xiàn)了化難為易，化未知為已知，從而迅速找到問題的突破口，提高解題能力。

[參考文獻]

[1]義務教育數(shù)學課程標準.2011年版.北京師范大學出版社，2012.01.

[2]宋毓彬.對造橋選址問題的探索.語數(shù)外學習.2012.03.