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    一道高考三角形試題的多解與多變

    2016-05-26 01:12劉剛趙毅
    關(guān)鍵詞:余弦定理過(guò)點(diǎn)平分線

    劉剛++趙毅

    解三角形試題是每年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,主要考查正(余)弦定理、和差角、倍角公式等知識(shí),以及三角恒等變換中的數(shù)學(xué)思想方法,檢測(cè)學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯推理能力,通常屬于基礎(chǔ)題.在解三角形試題中有一類四邊三角形(有三條邊是三角形的邊,第四條邊由三角形中的一條邊上的點(diǎn)與相對(duì)的頂點(diǎn)連線得到)問(wèn)題出現(xiàn)的頻率較高,下面以一道2015年這樣的高考試題為例,進(jìn)行解法探究與變式梳理,供大家參考.

    1試題

    例1(2015年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理17)△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.

    (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C;

    (Ⅱ)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長(zhǎng).2試題特點(diǎn)

    本題在三角形三邊的基礎(chǔ)上多了一條角平分線,屬于典型的四邊三角形問(wèn)題.本題考查了正(余)弦定理、角平分線性質(zhì)定理、等底同高三角形面積相等等知識(shí).第(Ⅰ)問(wèn)直接用正弦定理、角平分線性質(zhì)定理即可得到答案;第(Ⅱ)問(wèn)的難點(diǎn)是怎樣求出AC的長(zhǎng),通過(guò)角平分線AD得到了三個(gè)三角形:△ABC,△ABD及△ACD,對(duì)于學(xué)習(xí)較死板的學(xué)生不知道在哪一個(gè)三角形中用定理、套公式,很容易盲目代數(shù)運(yùn)算,費(fèi)時(shí)費(fèi)力,效果適得其反.這樣的試題很能考查學(xué)生的識(shí)圖能力以及靈活的解題思路.

    3解法分析

    (Ⅰ)略.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得ACAB=12,設(shè)AC=m,則AB=2m.由△ABD面積是△ADC面積的2倍,得BD=2CD.又DC=22,所以BD=2.接下來(lái)求線段AC的長(zhǎng).具體解法如下:

    思路一代數(shù)法.

    解析1如圖1,在△ACD中,cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=324-22m2.圖1

    在△ABD中,cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=324-2m2.

    因?yàn)椤螦DB+∠ADC=π,所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,即(324-22m2)+(324-2m2)=0,解得m=1,由此可求AC=1.

    解析2如圖1,在△ACD中,cos∠CAD=AD2+AC2-CD22AD·AC=2m2+14m.

    在△ABD中,cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD·AB=4m2-14m.

    因?yàn)椤螧AD=∠CAD,所以cos∠BAD=cos∠CAD,即2m2+14m=4m2-14m,解得m=1,由此可求AC=1.

    點(diǎn)評(píng)解析1利用∠ADB與∠ADC互補(bǔ),然后利用余弦定理建立等式關(guān)系;解析2利用∠BAD與∠CAD相等,然后利用余弦定理建立等式關(guān)系.兩種方法共同特點(diǎn)都是借助△ABD與△ACD角之間的關(guān)系建立方程,體現(xiàn)了方程的解題思想.

    思路二向量法.

    解析3因?yàn)锳C=AD+DC,所以AC2=AD2+DC2+2AD·DC,

    即m2=32+2cos∠ADB.①

    因?yàn)锳B=AD+DB,所以AB2=AD2+DB2+2AD·DB,

    即2m2=32+2cos∠ADC.②

    因?yàn)閏os∠ADB+cos∠ADC=0,所以①+②,得3m2=3,解得m=1,由此可求AC=1.

    點(diǎn)評(píng)向量既具有大小又有方向,所以向量是解決有關(guān)邊長(zhǎng)與角問(wèn)題的重要工具,本題在兩個(gè)三角形中利用向量的三角形法則,通過(guò)平方建立長(zhǎng)度關(guān)系,這是常見(jiàn)的把向量轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度的一種處理方式.

    思路三幾何法.圖2

    解析4如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,設(shè)DE=x.

    在Rt△AED中,有AE2=1-x2;

    在Rt△ABE中,有AE2=4m2-(2+x)2;

    在Rt△ACE中,有AE2=m2-(22-x)2.

    由此得到4m2-(2+x)2=m2-(22-x)2,1-x2=m2-(22-x)2,分別整理得3m2=32+32x,m2=32-2x,消掉x得6m2=6,即m=1,由此可求AC=1.圖3

    解析5如圖3,過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,設(shè)ED=x,由AD平分∠BAC,則DF=ED=x,借助Rt△AED,Rt△BED,Rt△AFD,Rt△DFC根據(jù)勾股定理可得AE=1-x2,BE=2-x2,AF=1-x2,CF=12-x2,由AB=2AC,可得212-x2+1-x2=2-x2,解得x=74,由此可求AC=1.

    點(diǎn)評(píng)解析4通過(guò)過(guò)點(diǎn)A作高,借助AE利用勾股定理得到方程組使問(wèn)題得到解決.解析5由角平分線聯(lián)想到構(gòu)造角平分線的基本圖形,雖然有一些計(jì)算量,但深刻認(rèn)識(shí)了圖形的特征,是學(xué)生較容易想到的一種解決方法.圖4

    解析6如圖4,延長(zhǎng)AD至E,使得∠ACE=∠ADB,由∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠ADB=∠ACD+∠DAC,

    得∠DAC=∠DCE.由AD平分∠BAC,得∠BAD=∠DAC=∠DCE,所以△ABD∽△AEC,△ABD∽△CED,即ABAE=ADAC,ADCD=BDDE,解得AE=2m2,DE=1.由AE-ED=AD,得m=1,即AC=1.

    點(diǎn)評(píng)解析6結(jié)合已知角平分線的條件,添加輔助線構(gòu)造相似三角形,通過(guò)相似建立邊的關(guān)系從而使問(wèn)題得到解決,具有一定技巧性.

    解析7由斯特瓦爾特定理(在△ABC中,若D是BC邊上一點(diǎn),則AB2·CD+AC2·BD-AD2·BC=BD·CD·BC)得:圖522(2m)2+2m2-322×12

    =22×322×2,解得m=1,即AC=1.

    解析8如圖5,作△ABC的外接圓交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BE,EC.由AD平分∠BAC,得BE=CE.

    因?yàn)椤螮AC=∠EBC,∠BDE=∠ADC,所以△BDE∽△ADC,即BDAD=DEDC=BEAC,解得DE=1,BE=CE=2.

    由托勒密定理有AB·CE+AC·BE=AE·BC,代入得2(2m)+2m=322×2,解得m=1,即AC=1.

    點(diǎn)評(píng)解析7,8借助平面幾何中的定理使問(wèn)題得到解決,對(duì)于平時(shí)接觸競(jìng)賽的同學(xué)來(lái)說(shuō)游刃有余,通過(guò)高考體現(xiàn)了對(duì)不同層次的學(xué)生都有不同發(fā)展的新課標(biāo)理念.

    本題一共用了三種思路:代數(shù)法,向量法,幾何法,8種解法使問(wèn)題得以解決,這些方法在解題中都是常用的方法.在解題過(guò)程中通常先用幾何法挖掘圖形特點(diǎn),適當(dāng)添加輔助線,然后再用代數(shù)法進(jìn)行解決,這就是通性通法.教師要注意這方面的引導(dǎo),這樣才能取得較好的解題效果,才能揭示問(wèn)題的本質(zhì),從而提升解題的針對(duì)性.

    4變式梳理

    四邊三角形問(wèn)題在近幾年的高考中頻繁出現(xiàn),學(xué)生在解題時(shí)不知利用哪一個(gè)三角形,很容易陷入被動(dòng),下面把近幾年的有關(guān)高考題進(jìn)行梳理,在解法上尋找最簡(jiǎn)捷的方式,總結(jié)解題規(guī)律,從整體上認(rèn)識(shí)和把握,做到有的放矢.

    變式一角平分線型.

    例2(2015年重慶理13)在△ABC中,∠B=120°,AB=2,∠A的角平分線AD=3,則AC=.圖6

    解析如圖6,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,因?yàn)椤螧=120°,所以∠ABE=60°.在Rt△ABE中,AB=2,則AE=62.在Rt△ADE中,sin∠ADE=AEAD=22,即∠ADE=45°.所以∠CAD=∠BAD=15°,即∠C=30°,在Rt△ACE中,AC=6.

    點(diǎn)評(píng)遇到角平分問(wèn)題注意利用角平分線性質(zhì)定理或構(gòu)造角平分線的基本圖形,這是常見(jiàn)的處理方式.本題∠B給出,構(gòu)造了與∠B有關(guān)的直角三角形,通過(guò)解直角三角形使問(wèn)題得到解決.

    變式二中線型.

    例3(2005年湖北理18)在△ABC中,已知AB=463,cosB=66,AC邊上的中線BD=5,求sinA的值.圖7

    解析如圖7,延長(zhǎng)BD至E,使BD=DE,連接AE,CE,則四邊形ABCE是平行四邊形.過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P,則四邊形APFE是矩形.在Rt△ECF中,cos∠ECF=cosB=66,CE=AB=463,所以EF=453,CF=43,即BP=43.在Rt△BEF中,BE=25,所以BF=103,即CP=23,由此得BC=2.在Rt△ACP中,AC=CP2+AP2=2213.在△ABC中,ACsinB=BCsinA,解得sinA=7014.

    點(diǎn)評(píng)中線問(wèn)題通常倍長(zhǎng)構(gòu)造平行四邊形,這是常見(jiàn)的處理方式.本題也可以過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線構(gòu)造三角形的中位線使問(wèn)題得到解決.

    變式3∠ADC或∠ADB已知型.圖8

    例4(2014年北京理15)在△ABC中,∠B=π3,AB=8,點(diǎn)D在BC邊上,且CD=2,cos∠ADC=17.

    (Ⅰ)求sin∠BAD;(Ⅱ)求BD,AC的長(zhǎng).

    解析如圖8,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,在Rt△ABE中,由AB=8,∠B=π3,得AE=43,BE=4.在Rt△ADE中,由cos∠ADC=17得sin∠ADC=437,所以AD=7,DE=1,即BD=3,EC=1.所以在Rt△ACE中,AC=7.在Rt△BDF中,∠B=π3,所以DF=332.在Rt△ADF中,sin∠BAD=3314.

    例5(2010年高考全國(guó)課標(biāo)卷理16)在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BD=12DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面積為3-3,則∠BAC=.

    解析如圖9,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,因?yàn)椤螦DB=120°,所以∠ADE=60°.在Rt△ADE中,AD=2,所以AE=3,DE=1.由△ADC的面積為3-3,得CD=23-2,所以CE=23-3,BD=3-1,即BE=3.由此得∠BAE=45°,tan∠CAE=CEAE=2-3,即∠CAE=15°,所以∠BAC=60°.圖9圖10

    例6(2010年全國(guó)大綱Ⅱ理17)△ABC中,D為邊BC上的一點(diǎn),BD=33,sinB=513,cos∠ADC=35,求AD.

    解析如圖10,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,在Rt△ADE中,由cos∠ADC=35,設(shè)DE=3x,

    則AD=5x,AE=4x.在Rt△ABE中,tanB=AEBE=4x33+3x=512,解得x=5,所以AD=25.

    點(diǎn)評(píng)由于∠ADC或∠ADB已知,所以可以作高構(gòu)造直角三角形解決;也可以利用∠ADC與∠ADB互補(bǔ)關(guān)系通過(guò)余弦定理建立等式關(guān)系.

    變式4其他類型.

    例7(2010年陜西文17)在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=10,AC=14,CD=6,求AB的長(zhǎng).

    解析如圖11,在△ADC中,AD=10,AC=14,CD=6,由余弦定理得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=-12,

    所以∠ADC=120°,即∠ADB=60°.

    在△ABD中,由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB,解得AB=56.

    點(diǎn)評(píng)本題△ADC的三邊已知,所以可以用余弦定理求出某一個(gè)角,通過(guò)分析角之間的關(guān)系從而將問(wèn)題解決.圖11圖12

    例8(2013年福建理13)如圖12,在△ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,則BD的長(zhǎng)為.

    解析因?yàn)锳D⊥AC,所以∠DAC=90°,即sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)

    =cos∠BAD=223.在△ABD中,BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD,把AB=32,AD=3代入求得BD=3.

    點(diǎn)評(píng)通過(guò)已知條件△ABD可解,直接用余弦定理得出答案.

    例9(2015年安徽理16)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=32,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的長(zhǎng).圖13

    解析如圖13,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作

    CF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,由A=3π4,得∠CAF=π4,所以△CAF是等腰直角三角形.因?yàn)锳C=32,所以CF=AF=3,即BF=9.在Rt△BCF中,通過(guò)勾股定理求得BC=310.因?yàn)锳D=BD,DE⊥AB,所以AE=BE=3.由DE⊥AB,CF⊥BF,得DE∥CF,所以BDBC=BEBF,由此求得BD=10,即AD=10.

    點(diǎn)評(píng)本題角A為鈍角,因此把角A的補(bǔ)角放在一個(gè)直角三角形內(nèi)便于解決問(wèn)題,所以可以過(guò)點(diǎn)C或B作三角形的高.本題通過(guò)化斜為直運(yùn)用勾股定理、平行線分得對(duì)應(yīng)線段成比例等知識(shí),大大減少了計(jì)算量.

    教育家波利亞說(shuō)過(guò)“即使是相當(dāng)好的學(xué)生,當(dāng)他得到問(wèn)題的解答后,就會(huì)合上書(shū)本,找點(diǎn)別的事來(lái)干,這樣做,他就錯(cuò)過(guò)了解題的一個(gè)重要方面”.如果教師能使學(xué)生在每次解題之后捫心自問(wèn):“這道題的解法是否完善?這道題有沒(méi)有更好的解題途徑?能不能換個(gè)角度考慮一下?還能不能再推廣呢?”,那么學(xué)生的思維品質(zhì)必然由量變產(chǎn)生徹底的質(zhì)變.本文通過(guò)一道高考試題的多種解法探究培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.同時(shí)對(duì)一類問(wèn)題多題歸一、一題多變進(jìn)行梳理,真正做到了觸類旁通,從而提高了解題的靈活性.

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