概率和期望的概念史話及其名題選解

甘大旺

【摘要】本文追索到從十五世紀末到十八世紀初，諸多數(shù)學家與民間人士關于賭金問題的紛爭與探究，揭示概率學的兩個基本概念“概率”與“期望”的產生與形成過程，并選解相關名題以激活史料陳題的現(xiàn)實價值.

【關鍵詞】概率；期望；帕西奧里；梅雷；帕斯卡；惠更斯；伯努利；棣莫弗

據(jù)悉，在新近修訂的高中數(shù)學課程內容草案中，“統(tǒng)計與概率”大單元的分量比以前有所加強，這更激發(fā)筆者對此單元的探源研究.

1概率和期望的概念史話

概率和期望是“統(tǒng)計與概率”大單元的兩個核心概念，其萌發(fā)的源頭至少可以追索到15世紀意大利數(shù)學家帕西奧里（L.Pacioli，1445～1514）在1494年出版的著作《算術、幾何、比及比例全書》中記載著的一個問題——

例1甲、乙兩人在一次比賽前約定誰先贏6次才贏得全部賭金，而實際上甲贏5次、乙贏2次時就中斷比賽，問此時應如何分配賭金？

帕西奧里（有書譯作“帕喬利”）在此書上的答案是甲、乙應按5∶2分配賭金；按照卡丹（G.Cardano，1501～1576）在1539年出版的著作《實用算術與測量》中解答同類問題的續(xù)賽設想，例1中甲、乙分配賭金的比例是（1+2+3+4）∶1=10∶1；按照意大利數(shù)學家塔爾塔利亞（N.Tartanglia，1499～1557）在1556年出版的著作《數(shù)量通論》中解答同類問題的續(xù)賽新設想，例1中甲、乙分配賭金的比例是（6-1+4）：（6+1-5）=9∶2.

意大利三位數(shù)學家帕西奧里、卡丹、塔爾塔利亞對于例1這類問題的解法都是錯誤的.一百多年后的法國另起爐灶，起因源自賭注之爭.

例2一天，賭徒梅雷（Mere，1610～1685）與侍衛(wèi)官賭投骰子，約定先投出3次6點數(shù)時梅雷就贏得全部賭金，先投出3次4點數(shù)時侍衛(wèi)官就贏得全部賭金.可是，當投出2次6點、1次4點時，侍衛(wèi)官應急辦事，賭投骰子中斷，梅雷與侍衛(wèi)官如何分配全部賭注呢？

梅雷認為分配比例等于3∶1，侍衛(wèi)官認為分配比例等于2∶1.兩人爭論不休，都不能說服對方.梅雷只好寫信求助于帕斯卡（B.Pascal，1623～1662），詢問究竟應該如何分配這次賭注，17歲就在幾何上嶄露頭角的帕斯卡思考此類問題，覺很既有趣味又有價值，就把這類賭注分配問題和自己的見解寫信寄給數(shù)學家費馬（P.D.Fermat，1601～1665），法國的這兩位數(shù)學家以后多次通信（第2次通信日期是1654年7月29日）切磋這個問題，用續(xù)賽完全列舉的思路解決了梅雷和侍衛(wèi)官的賭注分配問題.

解視擲骰出4點、6點為有效擲骰，已經有效擲骰3次，最多再有效擲骰2次就必見輸贏，全部4種情形列舉如下——

（664）6（4），（664）6（6），

（664）44，（664）46.

所以，梅雷和侍衛(wèi)官的賭注分配的比例是3∶1.

這樣看來，梅雷原先提出的方案正確.假如梅雷此后改邪歸正，戒賭而專心從事這類問題的后續(xù)研究，那么梅雷就會成為概率論的真正奠基人，而不會讓帕斯卡（天才數(shù)學家）和費馬（業(yè)余數(shù)學家之王）摘此殊榮！

按照帕斯卡和費馬的這種思路解答150多年前帕西奧里、卡丹、塔爾塔利亞等人懸而未決的例1，當時甲、乙分配賭金的比例應是15∶1.

帕斯卡和費馬的通信內容蘊含著概率的概念，有許多催生概率論誕生的結論雛形.費馬在主業(yè)巔峰時擔任法國大理院法庭法官和天主教聯(lián)盟主席，地位顯赫、聲名遠揚，于是他與帕斯卡關于賭金分配問題（又稱點數(shù)問題）的通信易被大范圍地、持續(xù)地傳播.

傳到荷蘭，惠更斯（C.Huygens，1629～1695）受到啟發(fā)和鼓舞，專心研究過點數(shù)問題.物理學家、天文學家惠更斯在28歲時為數(shù)學老師斯霍騰的著作《數(shù)學練習》編寫附錄，幸運的是斯霍騰老師在此附錄中公正地為惠更斯署名，使得他成為概率論第一本著作的獨立作者，在這本附錄性著作《論賭博中的推理》中，惠更斯提出19個命題或問題，其中第3題正式提出期望的概念：

如果某人贏得數(shù)目為a和b兩筆錢的機會分別為p和q，那么此人的期望值為[SX（]pa+qb[]p+q.

瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利（J.Bemoulli，

1654～1705）在去世8年后的1713年，伯努利家族整理出版他的著作《猜想的藝術》，共分四部分，第一部分收錄惠更斯的附錄性著作《論賭博中的推理》并作出評注，有些評注比原作更有價值，其中注明了超過兩個數(shù)據(jù)的期望公式.

法裔英國數(shù)學家棣莫弗（DeMoivre，1667～1754）于1711年在《皇家學會學報》發(fā)表論文《抽簽的計量》，其中記載著用組合數(shù)表示獨立重復試驗的二項分布概率公式，1718年將此論文修訂擴充為系統(tǒng)的概率論專著《機會論》.2概率和期望的名題選解

我手頭上的數(shù)學史書記載著概率、期望概念在發(fā)生、發(fā)展過程中一些有價值的名題，但沒有看到詳細解答過程，下面補遺其中四道題的解答過程.

例3（帕斯卡問題）甲、乙、丙三人博彩，假設甲需再贏1點就最終勝出，乙需再贏2點就最終勝出，丙需再贏2點也最終勝出.此時中止博彩，求甲、乙、丙分配彩金的比例.

解在最多3次的有效贏得的點數(shù)中，第1次如果甲取得1個點，概率為13，則甲最終勝出，結束；如果乙或丙贏得1個點，概率為23，以后分三類，不妨設乙贏得這1個點.

第2次假如甲贏得1個點，概率為13，則甲最終勝出，結束；假如乙贏得1個點，概率為13，則乙最終勝出，結束；假如丙贏得1個點，概率為13，則還要進行第3次有效贏得點數(shù).

第3次假如甲贏得1個點，概率為13，則甲最終勝出，結束；假如乙或丙贏得1個點，概率為23，則乙或丙最終勝出，結束.

總之，甲贏得彩金的概率等于

13+23·[13+0+13·（13+0）]=1727.

因為乙、丙分配彩金相等，所以甲、乙、丙分配彩金的比例是17∶5∶5.

評注帕斯卡最初用列舉方法算出的比例是32∶11∶11，接著用期望值方法算出的比例是17∶5∶5.在費馬給帕斯卡的回信中，費馬指出17∶5∶5才是甲、乙、丙分配彩金的正確比例.

例4（惠更斯問題）甲、乙擲一對骰子，約定若擲得點數(shù)之和為7，則甲贏；若擲得點數(shù)之和為10，則乙贏；若擲得點數(shù)之和等于其它數(shù)，則甲與乙平分賭金.設賭金為S，求甲、乙兩人贏得賭金的期望值.

解甲、乙擲一對骰子，共有62=36種情形（i，j），i，j∈{1，2，3，4，5，6}.其中，點數(shù)之和為7的情形1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1有6種，點數(shù)之和為10的情形4+6、5+5、6+4有3種，其它情形占有27種.所以，甲、乙兩人贏得賭金的期望值分別為

S36（6+0+272）=3972S，S36（0+3+272）=3372S.

評注投骰、擲幣、摸球、抽簽是公認為機會均等的四種游戲，在概率論問題中經常被用到，而古人用得最多的概率道具是投骰.

例5（棣莫弗問題）袋中裝有4個白球、8個黑球，這12個球除顏色有黑、白差異之外再沒有其它區(qū)別.A、B、C三人從中每次取出一個球，取球次序是A、B、C、A、B、C、…，如此往復，直到有一人取得白球就獲勝，試求A、B、C三人獲勝的概率.

解三人A、B、C往復取球不放回，最多取9次就必有1人獲勝.

因為A獲勝的情形共有三種“白、黑黑黑-白、黑黑黑-黑黑黑-白”，所以A獲勝的概率為P1=412+812·711·610·49+812·711·610·59·48·37·46

=13+5611·9·5+211·9=23155·9=77165=715.

因為B獲勝的情形共有三種“黑白、黑黑黑-黑白、黑黑黑-黑黑黑-黑白”，所以B獲勝的概率為P2=812·411+812·711·610·59·48

+812·711·610·59·48·37·26·45

=83·11+79·11+45·9·11=1595·9·11=53165.

因為C獲勝的情形共有三種“黑黑白、黑黑黑-黑黑白、黑黑黑-黑黑黑-黑黑白”，所以C獲勝的概率為P3=812·711·410+812·711·610·59·48·47

+812·711·610·59·48·37·26·15·44

=283·5·11+49·11+15·9·11=1055·9·11=733.

所以，A、B、C三人獲勝的概率分別為715、53165、733.

評注運用A、B、C三人獲勝的概率之和等于1，可以簡化此題的解題過程，使解題時間大約節(jié)省四分之一.

例6（雅各布·伯努利問題）A、B兩人在玩兩顆骰子，規(guī)定A先投出6點就獲勝，B先投出7點就獲勝，由A先投1次，再由B投2次，接著由A投2次，由B投2次，……，如此操作直到有一人獲勝為止.求A、B兩人最終獲勝的概率.

解依題意，每次同時投擲兩顆骰子，共有62=36種情形.其中，擲出6點的情形占有5種，擲出7點的情形占有6種，則每次投擲兩顆骰子A獲勝的概率為p1=536、B獲勝的概率為p2=636=16.

于是，A最終獲勝、B最終獲勝的概率依次為

P（A）=536+3136（56）2（536+3136·536）

+3136（56）2（3136）2（56）2（536+3136·536）+…

=536+3136（56）23353621-（3136）2（56）2

=536+3136·837522631=372780814716=1035522631，

P（B）=3136（16+56·16）+3136（56）2（3136）2（16+56·16）

+3136（56）4（3136）4（16+56·16）+…

=3136·11361-（56）2（3136）2=36·31·11363-25·312=1227622631.

評注①雅各布·伯努利設計的這種投擲次序“A、BB、AA、BB、…”比單純交替的流行次序“A、B、A、B、…”更合理；②在雅各布·伯努利出生前61年的1593年，法國數(shù)學家韋達（F.Viète，1540～1603）在著作《各種各樣的解答》中就解決了無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題.

文尾提供一道沒有解答過程的問題，期盼拋磚引玉、引爆爭鳴！

思考題（惠更斯問題）甲、乙各有12個籌碼，擲3顆骰子.若擲得11點，則甲送給乙1個籌碼；若擲得14點，則乙送給甲1個籌碼.最先得到所有24個籌碼者為勝者，求甲、乙獲勝的概率之比.

參考文獻

[1]汪曉勤、韓祥臨.中學數(shù)學中的數(shù)學史[M].北京：科學出版社，2002：216～226，272.

[2]（英）斯科特著，候德潤、張?zhí)m譯.數(shù)學史[M].北京：中國人民大學出版社，2010：187～194.

[3]李天華、徐濟華.數(shù)學奇觀[M].武漢：湖北少年兒童出版社，1989：94～98.

[4]杜瑞芝主編.數(shù)學史辭典[M].濟南：山東教育出版社，2002：109，120～122，300，552.