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    培養(yǎng)直覺思維的教學(xué)設(shè)計研究

    2016-05-26 13:56:23張昆張乃達(dá)

    張昆++張乃達(dá)

    【摘要】利用數(shù)學(xué)教育資源,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力,邏輯思維只能起檢驗與確證作用,創(chuàng)新能力培養(yǎng)目標(biāo)的生命所系與關(guān)鍵所在是培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力.稍微困難一點的數(shù)學(xué)問題的解決,邏輯思維對探究活動過程沒有多大幫助,直覺思維卻起著支點性的作用.因為,支持邏輯思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的取得總是在探究問題所提供的外在信息的過程中,獲得關(guān)鍵性暗示,進而檢驗暗示,如果獲得成功,說明暗示是正確的,否則,重新生成暗示,由此構(gòu)成暗示-檢驗-再暗示-再檢驗的過程,而這種暗示的取得,正是直覺思維的用武之地,也是學(xué)生創(chuàng)造力的源泉所在.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)直覺思維;數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計;數(shù)學(xué)課程資源

    《現(xiàn)代漢語詞典》第五版,在第1748頁,將“直覺”界定為“未經(jīng)充分邏輯推理的感性認(rèn)識”.接著,對此界定加以解釋,“直覺是以已經(jīng)獲得的知識和累積的經(jīng)驗為依據(jù)的,而不是像唯心主義者所說的那樣,是不依靠實踐、不依靠意識的邏輯活動的一種天賦認(rèn)識能力”.同時,在第1294頁,將“思維”界定為“在表象、概念的基礎(chǔ)上進行分析、綜合、判斷、推理等認(rèn)識活動的過程”.并對此進一步解釋,“思維是人類特有的一種精神活動,是從社會實踐中產(chǎn)生的”.由此,我們可以將“直覺思維”界定為,不受固定的邏輯規(guī)則的約束,直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)認(rèn)識活動過程的一種思維形式.

    1直覺思維的特點與教學(xué)價值

    為了研究通過數(shù)學(xué)教學(xué)的手段,培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力,直覺思維具有模糊性、整體性、突發(fā)性、創(chuàng)造性與超前性等特點[1].直覺思維的這些特點決定了它的教學(xué)價值,威廉·卡爾文說,“智力就是你不知怎么辦時動用的東西,但是,富有智慧則有更多的涵義,這是一種創(chuàng)造性能力,憑借這種能力,會迅捷地想出新主意,各種答案在你的大腦中接踵而至”[2].這種新主意(表現(xiàn)為暗示的出現(xiàn))不可能是經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證的,它主要是由直覺思維所提供的,有待于經(jīng)由實踐的或邏輯的檢驗,因此,依據(jù)這種觀點,智力或者智慧主要是從直覺思維中生成的,正如愛因斯坦所言,“科學(xué)發(fā)現(xiàn)并沒有邏輯的道路,只有通過那種以對經(jīng)驗的共鳴的理解為依據(jù)的直覺”[3].其實,科學(xué)與數(shù)學(xué)活動中的創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)也都是符合這條原則的.

    直覺思維恰恰可以通過對問題信息的整體把握,猜測出所需要的合理環(huán)節(jié)及其聯(lián)接中介的暗示來,這正是聯(lián)想能力與想象力發(fā)揮作用的地方,因此,通過它可以培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力與想象力,也是人的整體精神活動的創(chuàng)造性源泉所在.實際上,創(chuàng)造過程是有意識地與無意識地交織進行著活動,它更多地是從材料中獲得暗示,形成對其組成的結(jié)構(gòu)的猜想,于是,形式邏輯一點也不能參與進來,真理不是通過有目的的推理,而是憑著直覺思維的形式感覺到的,直覺使用自己現(xiàn)成的判斷,不帶有任何論證的形式進入了具有創(chuàng)造性的意識范圍,當(dāng)然,最后的檢驗是邏輯思維活動的用武之地.那么,如何利用數(shù)學(xué)解題教學(xué)的資源培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力呢?

    2基于數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的典型課例

    數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一項結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的整體工程,構(gòu)成它的要素所組成的技術(shù)結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)集中地體現(xiàn)于互相關(guān)聯(lián)的三個側(cè)面:理解要傳授的具體數(shù)學(xué)知識所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的組成序列(簡稱“教材分析”);把握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(針對“教材分析”獲得的知識環(huán)節(jié)及其聯(lián)接中介的結(jié)果)的心理活動環(huán)節(jié)及其過渡性中介的組成序列(簡稱“學(xué)情分析”);通過創(chuàng)造性工作找到貫通這兩方面環(huán)節(jié)序列之間的切合點(可以溝通的元素)、實現(xiàn)兩者之間的關(guān)聯(lián)(簡稱“關(guān)聯(lián)分析”).數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計相對穩(wěn)定的技術(shù)結(jié)構(gòu)組成環(huán)節(jié),可以簡化地表達(dá)成如框架圖1所示[4].我們通過一個數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的例子,說明培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的技術(shù)結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的手段.

    2.1教材分析

    教材分析就是將知識打開.王策三先生說,“知識好比一個百寶箱,里面藏了大量的珍寶;不僅內(nèi)含有關(guān)于客觀事物的特性與規(guī)律,而且內(nèi)含有人類主觀能力、思想、情感、價值觀等精神力量、品質(zhì)與態(tài)度.因為知識是人類歷史實踐、認(rèn)識活動的結(jié)果凝結(jié)在里面的,因而知識更內(nèi)含有知識原始獲得的實踐認(rèn)識活動方式和過程”[5].對于解題教學(xué)而言,打開知識就是要求教師盡可能地窮盡問題的解法,據(jù)此,才有可能充分認(rèn)識數(shù)學(xué)知識當(dāng)中隱藏的教學(xué)價值.

    分析一將②代入①,可知Sn=∑nk=1loga1+13k-2,于是,要比較③、④兩個數(shù)的大小,一般情況我們想到可否把③式轉(zhuǎn)化為已知運算的結(jié)果,得到一個具體的數(shù),然后,將這個數(shù)與④進行大小比較.在學(xué)生探究問題解決的方法庫中,應(yīng)對這種情況,已經(jīng)具有了觀念形態(tài)的“裂項相消”方法及其應(yīng)用經(jīng)驗,我們可以據(jù)此啟發(fā)學(xué)生運用“裂項相消”法加以試探.由于loga1+1bn=loga3n-13n-2=loga3n-1-loga3n-2⑤,于是,當(dāng)a>1時,an=∑nk=1loga1+13k-2單調(diào)遞減,從而可得loga3n-1-loga3n-2>loga3n-loga3n-1>loga3n+1-loga3n⑥,由⑥,知3[loga3n-1-loga3n-2]>[loga3n-1-loga3n-2]+[loga3n-loga3n-1]+[loga3n+1-loga3n]⑦=loga3n+1-loga3n-2=logabn+1-logabn,于是3∑nk=1loga1+1bn>[logab2-logab1]+[logab3-logab2]+…+[logabn-logabn-1]+[logabn+1-logabn]=logabn+1;同理,當(dāng)0

    分析二要比較③、④兩個數(shù)的大小,③式是一個數(shù)列的前n項和,④式只是一個具體的數(shù),前者復(fù)雜,后者簡單,但是,如果考慮到,“<”、“=”、“>”等所連接的兩邊就內(nèi)含了形式上的“對稱美”的要素,從這種“對稱美”的審美意向出發(fā),兩邊應(yīng)該具有對等的形式,不失一般性,我們以“小于”為例,若ak1時,3Sn>logabn+1;同理,當(dāng)0

    分析三由于an=loga1+1bn=loga1+13n-2⑧,設(shè)an′=loga1+13n-1⑨,an″=loga1+13n⑩,且{an′}與{an″}的前n項和分別為Sn′與Sn″.⑴當(dāng)a>1時,有an>an′>an″,于是Sn>Sn′>Sn″,知3Sn>Sn+Sn′+Sn″=∑nk=1ak+ak′+ak″=∑nk=1loga3k-13k-2+loga3k3k-1+loga3k+13k=∑nk=1loga3k+13k-2=loga41·74·107·…·3n+13n-2=loga3n+1=logabn+1,知3Sn>logabn+1;⑵當(dāng)0

    分析四數(shù)學(xué)歸納法,高考閱卷參考答案提供的方法.數(shù)學(xué)歸納法除了固定的程序與冗長的計算之外,創(chuàng)造性是非常地的,這里略而不記.

    2.2學(xué)情分析

    學(xué)情分析除了理解學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的一般心理活動過程以外,最重要的是針對掌握具體數(shù)學(xué)知識所需要的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介,設(shè)計具體的教學(xué)目標(biāo),從而選擇學(xué)生掌握知識心理活動的教學(xué)路向.在本例的四種典型性解法中,分析一解決問題的“裂項相消法”在學(xué)生的方法庫中已經(jīng)具備了,并且經(jīng)由多次運用,因此,只是再次強化其應(yīng)用而已,它內(nèi)含的教學(xué)價值相對于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實而言,已經(jīng)不太高了.

    分析二與分析三其實都是所謂的“分項放縮法”[6]的應(yīng)用,在筆者解題教學(xué)的整體性安排中,曾經(jīng)使用了更具針對性的知識促進學(xué)生萌生了這種方法,因此,對于學(xué)生而言,在他們的思維結(jié)構(gòu)中,分析二與分析三的處境不同.與分析一一樣,分析二在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實中已經(jīng)具有了發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用的經(jīng)驗了,從而,它的教學(xué)價值也比不上也就不是十分重要了.

    因此,對于筆者的教學(xué)設(shè)計而言,就不應(yīng)該選擇分析二與分析三的方法,而應(yīng)該選擇分析三的這種解法在課堂上實施教學(xué)(其他教師可以依據(jù)自己的高考解題教學(xué)的整體安排作出具體選擇,這并不是僵死不變的,而是依據(jù)具體學(xué)生、具體教學(xué)內(nèi)容配置而定),分析三從形式上看是一種全新的解題方法,學(xué)生到目前為止,還沒有現(xiàn)成的駕馭它的數(shù)學(xué)觀念,因此,這是啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新體驗的優(yōu)質(zhì)教育資源.

    從分析三的整個解答過程來看,這種從⑧萌生成⑨、⑩中的暗示或觀念的產(chǎn)生,其效果是解題者直抵問題信息的一種結(jié)構(gòu)本質(zhì),但是,得到它其實是沒有什么道理的,不是分析思維所能控制的,故而,這正是直覺思維的典型體現(xiàn),因此,就數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計而言,這正是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的課程資源,而且這種資源是極其匱乏的,因此,它蘊藏著巨大的培養(yǎng)直覺思維的教學(xué)價值.因為,只有內(nèi)含直覺思維教育價值的資源才能培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力,這是不言自明的.那么,如何借助于這道習(xí)題的如此思路通過教學(xué)設(shè)計的關(guān)聯(lián)分析實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維的教學(xué)目的呢?

    2.3關(guān)聯(lián)分析

    由上述的學(xué)情分析,知如何啟發(fā)學(xué)生從表達(dá)式⑧設(shè)出表達(dá)式⑨、⑩,構(gòu)成了這道例題關(guān)聯(lián)分析的重中之重,否則教師就極有可能將解題活動的現(xiàn)成的發(fā)現(xiàn)結(jié)果奉送于學(xué)生,造成教學(xué)資源的巨大損失.然而,由于直覺思維的模糊性與突發(fā)性的特點,這種暗示與觀念的得來,本身就說不清楚.因此,設(shè)計出相對理想的教學(xué)情境,需要滿足兩個方面的主要條件:其一,這種解題方法確實是出自于教師自己的心靈活動,即這種想法是教師自己親自構(gòu)想出來的,它最為重要,教師如果沒有那種直覺思維的體驗,那么就很難在課堂上建立促進學(xué)生進行直覺思維活動的場域,使學(xué)生產(chǎn)生如此相似的體驗[7],這不言自明;其二,精心地把握學(xué)生掌握知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介的構(gòu)建過程,在學(xué)生心理環(huán)節(jié)的啟、承、轉(zhuǎn)、合的過程中,最為關(guān)鍵的又是“啟”,思維動力的起點與生成直覺的內(nèi)驅(qū)力的實現(xiàn),是決定可否達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的關(guān)鍵因素.

    關(guān)于這個例題,下面的教學(xué)設(shè)計“關(guān)聯(lián)分析”活動過程是2006年,筆者在常州國際學(xué)校的一節(jié)江蘇省省級高三復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教學(xué)展示課的片段實錄.下面括號里的注解,是現(xiàn)場聽課的著名特級教師(1990年)張乃達(dá)先生提供的,本文寫作時,筆者在部分地方稍作技術(shù)性處理(其中的省略號是表示學(xué)生思維活動的中斷之處):

    師:由問題的結(jié)論,我們發(fā)現(xiàn),③式與④式肯定是存在一種不等的關(guān)系.那么,與其對立的命題是,③式與④式可以變得相等嗎(這種生成問題情境的方式,乃是模擬學(xué)生的原始想法,其實是一種直覺信念,這種信念對啟動解題的思維活動往往特別重要,這是啟動“問題的一般性解決”活動)?

    生1:不可能.不等的數(shù)量,怎么可能變成相等呢(對教師所提出的問題,大多數(shù)學(xué)生可能都出現(xiàn)了如此想法,從而否定了上面教師提供的直覺信念.但是與生1一樣,這種直覺的否定也過于輕易了,這種暗示與觀念沒有得到檢驗,是學(xué)生思維活動的一種較大損失,教學(xué)中鼓勵學(xué)生聽從自己的心靈呼喚,對一些暗示或觀念進行估計與檢驗,往往具有很重要的價值,這應(yīng)該是真正的培養(yǎng)直覺思維的萌芽)?

    生2:可以.我們將③式的數(shù)量值放大或縮小就應(yīng)該能夠得到④式,從理論上說是能夠達(dá)到這種目的的(學(xué)生對教師的直覺的暗示或觀念的出現(xiàn)與生成的一種評估,生2選擇了這種暗示,它是轉(zhuǎn)入檢驗行動的動力與前提.獲得從“問題的一般性解決”轉(zhuǎn)化為“問題的功能性解決”的一種途徑).

    師:我同意生2的想法,“不等”與“相等”這兩者之間是相對的,為了獲得不等關(guān)系的結(jié)論,我們可以通過相等的途徑來達(dá)到(這是一種辯證思維,發(fā)展它對培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維的成果,從而轉(zhuǎn)化為檢驗的行動,具有很好的價值,生2的想法想法是對教師的直覺信念的堅持與支持).

    師:那么,如何放縮才能將③式轉(zhuǎn)化為④式呢(轉(zhuǎn)入對暗示的檢驗途徑程序的構(gòu)想,啟動構(gòu)造檢驗的現(xiàn)實方法,從而促進學(xué)生萌生從“問題的功能性解決”轉(zhuǎn)化為“問題的具體解決”的指令)?

    生3:我們許多同學(xué)都想方設(shè)法對③式中的Sn進行放縮,但不能轉(zhuǎn)化成④式,……因為,③式太復(fù)雜而④式太簡單(在“問題的功能性解決”中,邏輯活動出現(xiàn)了中斷,此時,正是需要直覺思維的幫助,也正是產(chǎn)生直覺思維的地方,否則,“問題的功能性解決”就很難轉(zhuǎn)化為“問題的具體解決”方式,最終問題不可能解決.生3通過比較表達(dá)式③與表達(dá)式④,生成了新的暗示,這種暗示顯得有點不妙,有可能放棄地將③式轉(zhuǎn)化為④式的具體方法,退回到“問題的功能性解決”環(huán)節(jié).這對教師的教學(xué)設(shè)計的技藝或技術(shù)手段提出了極高的要求,教師的教學(xué)能夠取得轉(zhuǎn)機嗎?),……

    師:如果將③式寫成∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2⑧的形式(板書)后,將⑧式放縮,產(chǎn)生④式是否會更容易些(教師重新表征條件信息,突出相同的三項的更為原始的表達(dá),主要目的是促進學(xué)生形成直覺思維,即提醒學(xué)生萌生“分項放縮”的暗示,這種暗示的取得邏輯思維活動是幫不上忙的.看似教師的靈機一動的重新表征,正是教師的匠心獨運,它構(gòu)成了促進學(xué)生生成新的暗示的比較有效的教學(xué)手段)?

    生4:從⑧式中獲得啟示:如果對⑧式中的∑nk=1loga1+13k-2直接放縮,那么,這三個同樣的∑nk=1loga1+13k-2就不能產(chǎn)生互補作用,發(fā)揮不了將問題條件搭配從而形成結(jié)構(gòu)性的整體功能的發(fā)揮,因此,我們考慮將三個∑nk=1loga1+13k-2進行各自不同的放縮,以期能利用問題結(jié)構(gòu)的整體性,形成一種相互協(xié)調(diào)與相互補充的結(jié)果,可能有利于問題的解決,但是,……(學(xué)生如此想法的出現(xiàn),正是典型的直覺思維活動過程.事實上,如果需要進一步加以分析的話,可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生是從審美意向的角度來考察問題的,從和諧美的視角產(chǎn)生出如此暗示的,數(shù)學(xué)中審美意向是直覺思維憑借的重要方法之一,即“以美啟真”,通過這種暗示,可以立即過渡到“問題的具體解決”的環(huán)節(jié),為檢驗這種暗示的具體行動提供了動力,也奠定了基礎(chǔ))

    生5:我想,將⑧式中第一個∑nk=1loga1+13k-2不放縮,第二個∑nk=1loga1+13k-2放縮成∑nk=1loga1+13k-1,第三個∑nk=1loga1+13k-2放縮成∑nk=1loga1+13k,如此進行試探(果然,生5找到了一種非常具體的方法,就是“分項放縮”這一暗示的心理來源).下面,對a分兩種情形加以分類討論:

    當(dāng)a>1時,由函數(shù)y=logax在所在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,知3∑nk=1loga1+13k-2>∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-1+∑nk=1loga1+13k,這個式子的右端化簡的結(jié)果就是④式,此時,3Sn>logabn+1;當(dāng)0

    這個例子中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是從表達(dá)式⑧設(shè)出表達(dá)式⑨、⑩,邏輯思維活動在這里已經(jīng)中斷,而且不容易獲得暗示.在這種情況下,如何啟動學(xué)生直覺思維,對教師的教學(xué)能力提出了極高的要求,將教師逼入了兩難的境地:教學(xué)過程絕對不能將這種教師自己已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的思路,即直接設(shè)出表達(dá)式⑨、⑩奉送于學(xué)生,為達(dá)到啟發(fā)學(xué)生發(fā)生這種暗示的目的,教師需要極高的教學(xué)技藝與能力.如此教學(xué)設(shè)計是提供了學(xué)生的一種獲得暗示的方法,其實這也是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的一種方法,筆者直覺提醒自己這種教學(xué)活動還可能不是最佳的方法,但是,到目前為止,沒有找到一種更為有效的方法進行這道例題的教學(xué)設(shè)計.

    3簡要結(jié)語

    在高中教學(xué)階段,利用數(shù)學(xué)課程資源,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力,邏輯思維只能起檢驗與確證作用,創(chuàng)新能力培養(yǎng)目標(biāo)的生命所系與關(guān)鍵所在是培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力.稍微困難一點的數(shù)學(xué)問題的解決,它邏輯思維表達(dá),對探究活動過程沒有多大幫助,而直覺思維卻起著支點性的作用.因為,支持邏輯思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的取得總是在探究問題所提供的外在信息的過程中,獲得關(guān)鍵性暗示,進而檢驗暗示,如果獲得成功,說明暗示是正確的,否則,重新生成暗示,由此構(gòu)成暗示—檢驗—再暗示—再檢驗的過程,而這種暗示的取得,正是直覺思維的用武之地,也是學(xué)生創(chuàng)造力的源泉所在,也是創(chuàng)新的教學(xué)目標(biāo)的具體化化與現(xiàn)實化的體現(xiàn).對此,我們數(shù)學(xué)教育工作者要思之再思,慎之又慎!

    參考文獻

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