幫助學生從直觀到抽象的過程中理解算理

林曉

[摘 要] 數(shù)與運算在小學數(shù)學課程中占有非常重要的地位。因此，在小學階段的教學過程中，培養(yǎng)具備基本運算技能的學生以及讓學生形成一定的計算能力則成了數(shù)學教師們的首要任務。然而，在計算教學過程中，算理的理解則是學生們掌握具體的計算方法，形成計算技能的重要前提。低年級的學生需要在具體的情境中，通過具體操作實踐來更好地理解抽象的算理，從而有效地提高學生的計算能力。

[關鍵詞] 小學數(shù)學教學；直觀；算理

【教學內(nèi)容】

《義務教育教科書數(shù)學》（青島版）六年制二年級下冊《有余數(shù)的除法》信息窗第1課時第2—5頁。

【教材簡析】

本節(jié)課是在學生已經(jīng)了解了除法的意義、掌握了用口訣求商的基礎上，進行擴展和延伸。教材選擇了學生感興趣的野營活動作為教學素材，引導學生發(fā)現(xiàn)生活中的“余數(shù)”現(xiàn)象，體驗生活中的數(shù)學應用，感受到有余數(shù)的除法就在身邊，加強學生對“有余數(shù)的除法”意義的認識。

【教學目標】

1.結合具體的情景初步感知有余數(shù)除法的意義，通過實踐操作，能正確讀寫有余數(shù)的除法算式。

2.通過分一分、擺一擺、寫一寫、議一議等活動，經(jīng)歷余數(shù)產(chǎn)生的過程，借助幾何直觀培養(yǎng)觀察、分析和概括能力，在具體情境中，初步探索余數(shù)比除數(shù)小的規(guī)律。

3.培養(yǎng)學生獨立探索的意識，感受有余數(shù)的除法與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系。讓學生能夠主動參與學習活動，在探究過程中，逐步提高提出問題、解決問題的意識和能力，形成初步的合作意識。

【教學重點】

結合具體情景初步感知有余數(shù)的除法的意義，能正確讀寫有余數(shù)的除法算式，明確除法各部分表示的意義。

【教學難點】

在操作、比較的過程中，探索發(fā)現(xiàn)余數(shù)比除數(shù)小的規(guī)律。

【教具準備】

課件、小磁板、磁力貼。

【教學過程】

一、由創(chuàng)設情境激發(fā)學生興趣

出示情境圖（如下圖所示）談話引入：“春天真是個美麗的季節(jié)，公園里有4個小朋友正在游玩。午飯時間到了，瞧，他們帶了這么多好吃的，咱們幫他們分一分吧？”

設計意圖：從學生熟悉的生活用品入手，開門見山，借助學生已有的認知經(jīng)驗，激發(fā)學生學習欲望，自然導入新知。通過展示主題圖，引導學生體會有余數(shù)除法在生活中的實際作用，使學生感覺到提出計算問題的現(xiàn)實意義。

二、引導學生操作探究

（一）借助直觀操作，感受余數(shù)產(chǎn)生的過程

1.出示甜甜圈的圖片：小明帶了一盒甜甜圈，要和大家分享。這盒甜甜圈一共有9個，平均分給4個人，如何分？

2.用9個小圓片代替9個甜甜圈，分一分（學生獨立完成操作）。

設計意圖：學具操作能使抽象的數(shù)學知識變得明了，使學生由被動地接受數(shù)學知識，轉向主動地探究和主動思考。通過動手操作，引導學生通過直觀操作體會到平均分有剩余的情況，初步感受余數(shù)產(chǎn)生的必要性。

3.請學生到講臺位置實踐分配，其他同學仔細看，與自己的分配方法有何不同

預設：①一個一個地分，每個人分得2個，還剩1個；②兩個兩個地分，每個人分得2個，還剩1個。

師：說一說你是怎樣分的？大家有問題要問嗎？為什么剩下的1個不繼續(xù)分下去了呢？（引導學生說出每個人分不到1個了，所以不再繼續(xù)分。）

4.總結：不管怎樣分，最后的結果其實都一樣。

5.引導學生用算式把剛才分甜甜圈的過程表示出來。

6.總結板書：9÷4=2（個）……1（個）。這個算式讀作：9除以4 商2余1。

理解算式的各部分表示的意義：在這里9表示什么4表示什么2表示什么1表示什么？讓學生完整地說出這個算式表示的意義。

設計意圖：通過創(chuàng)設便于直觀操作的的問題情境，喚醒學生已有的關于平均分的知識和經(jīng)驗，為新知識找到生長點，同時將研究的內(nèi)容直接指向有余數(shù)的除法。引導學生經(jīng)歷從實物抽象到圖形再到算式的過程，給學生提供嘗試“創(chuàng)造有余數(shù)算式”的機會，讓每一個學生在充分獨立思考的基礎上，通過小組交流，展示不同的想法，在不斷的對比反思中形成共識。學生嘗試的過程，既是一個自主探索的過程，又是一個集思維、實踐、解惑為一體的感悟生成過程，較好地培養(yǎng)了學生的自主探究、合作交流能力與創(chuàng)新意識。通過動手操作，引導學生經(jīng)歷平均分的過程，體會到平均分有剩余的情況，初步感受余數(shù)產(chǎn)生的過程。借助直觀操作、課件演示等手段，幫助學生理解有余數(shù)除法的意義。

（二）理解余數(shù)的意義

1.師：剛才，我們一起幫助4個小朋友們分享了9個甜甜圈，小朋友們還帶了10根香腸、11個壽司、12根棒棒糖、13個橘子，都要平均分給4個小朋友，如何分？每個人任選一種食品，先動手分一分，再把算式寫在活動記錄單上。道具不夠的時候，可以從老師發(fā)給你們的小袋子里數(shù)出。

實踐過程反饋：

（1）分10碗方便面：10÷4=2（個）……2（個）。

師：這個算式表示的意義是什么？這兩個2表示的意義相同嗎？

（2）分11瓶礦泉水：11÷4=2（瓶）……3（瓶）。

師：這3瓶能繼續(xù)平均分給4個人嗎？

（3）分12根香腸：120÷4=3（根）。

師：你是怎么想到3的？（引導學生說出用口訣求商的辦法）為什么這個算式?jīng)]有余數(shù)？

（4）分13個香蕉：13÷4=3（個）……1（個）。

師：用什么方法算的？鞏固口訣求商的方法。

（5）分14個橘子：14÷4=3（個）……2（個）。教師引導學生比較為什么同樣是分給4個人，每人都分得3個，但一個余數(shù)是1，一個余數(shù)是2的原因。

2.觀察比較，揭示“余數(shù)”的意義。

師：迅速收起你的小題板，眼睛看屏幕。剛才我們在幫助小朋友們分享美食的過程中，得到了這些除法算式。一起看：

9÷4=2（個）……1（個）

10÷4=2（根）……2（根）

11÷4=2（個）……3（個）

12÷4=3（根）

13÷4=3（個）……1（個）

師：這些是（指被除數(shù)）？這是（指除數(shù)）？這是（指商）？這是什么？你能給這些剩余的數(shù)起個名字嗎？就叫余數(shù)。

（板書“余數(shù)”。）

師：像這樣的除法就叫做有余數(shù)的除法。今天，我們就來研究有余數(shù)的除法。（板書課題）

師：我們用這么多有余數(shù)的除法解決了問題，在生活中，我們還會經(jīng)常用到有余數(shù)的除法。有余數(shù)的除法到底還藏著什么秘密？你想不想自己來研究呢？

設計意圖：這一環(huán)節(jié)的設計注重讓學生在動手分配的過程中，感受生活中分配不均的情況，大量的動手操作，充分的互動交流，可以幫助學生直觀地理解余數(shù)的含義。幫助學生把困難的數(shù)學問題變得容易，把抽象的問題變得直觀，把復雜的問題變得簡單。此環(huán)節(jié)借助幾何直觀、師生對話、生生對話來理解抽象算式中每個數(shù)表示的意義，建立“形”與有余數(shù)除法算式之間的聯(lián)系。

（三）探索余數(shù)與除數(shù)的關系

師：觀察這些算式中的余數(shù)，發(fā)現(xiàn)了什么？

9÷4=2（個）……1（個）

10÷4=2（根）……2（根）

11÷4=2（個）……3（個）

12÷4=3（根）

13÷4=3（個）……1（個）

預設：余數(shù)總是1、2、3。

提問：為什么余數(shù)總是1、2、3，而不是其他數(shù)？

預設：是4就夠繼續(xù)分。

引導總結：余數(shù)比除數(shù)小。解決問題后應鼓勵學生。

設計意圖：通過引導學生有層次的思考，加深對有余數(shù)除法意義的理解。引導學生發(fā)現(xiàn)“余數(shù)和除數(shù)的關系”，引導學生認真觀察算式中的余數(shù)，自主發(fā)現(xiàn)余數(shù)的特點。進一步探究“余數(shù)和除數(shù)的關系”，引導學生在觀察、比較的基礎上發(fā)現(xiàn)“余數(shù)比除數(shù)小”。

三、建立運算模型鞏固新知

（1）先連一連，再填一填

設計意圖：本節(jié)課之中從學生熟悉的生活背景中選取素材，學生經(jīng)歷了“問題情境—建立模型—解釋應用與拓展”的過程，感悟到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，建立了有余數(shù)除法的模型，滲透了模型思想。練習環(huán)節(jié)又回到情境中，保證了情境的完整性。

四、回顧反思，總結提升

師：同學們，不知不覺一節(jié)課已經(jīng)接近尾聲了，這節(jié)課你有收獲嗎？一起來看著黑板或者大屏幕說一說，你有哪些收獲？也可把你的收獲回家說給爸爸媽媽聽。

課后反思：本節(jié)課教學秉持“以學生發(fā)展為本”的理念，基于學生的實際，鉆研教材，另辟蹊徑，整體建構知識結果，收到了良好的教學效果。

（一）借直觀操作助推思考，促進概念理解

“幾何直觀”是《新課程標準》中新增加的核心概念，它可以幫助學生直觀地理解數(shù)學。本節(jié)課使學生借助幾何直觀進行思維，學習和理解有余數(shù)的除法的意義，教學中通過分一分、擺一擺、寫一寫、議一議等活動，化“數(shù)”為“形”，建立“形”與有余數(shù)的除法算式中的“數(shù)”之間的練習，憑借圖形的直觀特點將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，充分展現(xiàn)有余數(shù)除法產(chǎn)生的必要性，利用幾何直觀幫助學生突破數(shù)學理解上的難點。以“形”助“教”，不僅幫助學生體會“平均分以后有剩余”的現(xiàn)象，認識余數(shù)產(chǎn)生的價值，同時促進學生理解抽象的算式中每個數(shù)表示的意義，更以相對直觀的數(shù)學對象為基礎在自己的頭腦中對除法運算進行理性重建。

（二）關注經(jīng)驗積累，發(fā)展思維能力

余數(shù)與除數(shù)的關系是這部分內(nèi)容的重點。因此教師在教學時不要輕易告訴學生這一結論，而是設計分層問題，引導學生思考、討論、操作、猜想，驗證，親歷這些數(shù)學活動，讓孩子們在活動中經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程。抽象概括是內(nèi)化活動經(jīng)驗的關鍵，在解決了大量的生活實際問題后，再引導他們觀察、發(fā)現(xiàn)余數(shù)與除數(shù)之間的關系，這樣會更有說服力。

總之，直觀操作活動中可以讓學生最大限度地動手操作、觀察、思考與交流創(chuàng)造，使學生在操作中獲得積極主動的情感體驗，在愉悅的心境中輕松獲得知識，在活躍的課堂氛圍中激發(fā)學生思維，促進數(shù)學學習活動更有效。讓學生通過實踐活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律、概括特征、掌握方法，在體驗中領悟數(shù)學、學會想象、學會創(chuàng)造，在這些活動中濃縮、抽象、概括。學生在直觀操作到抽象思維的過程中理解算理，內(nèi)化知識。教師適時地加以點撥和鼓勵，引導學生在寬松、和諧的氛圍中萌發(fā)創(chuàng)新意識，這樣的數(shù)學活動，較好地體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，從而促進了學生數(shù)學抽象思維的發(fā)展。

責任編輯 滿令怡