含非線性部件的船舶推進(jìn)軸系自由振動(dòng)解析

肖能齊，周瑞平，林晞晨(武漢理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430063)

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含非線性部件的船舶推進(jìn)軸系自由振動(dòng)解析

肖能齊，周瑞平，林晞晨
(武漢理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430063)

摘要：通過(guò)分析含非線性元件的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)，建立單一質(zhì)量點(diǎn)的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程，從而推導(dǎo)得到多自由度系統(tǒng)非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)通用方程。研究諧波平衡法以及攝動(dòng)法在求解非線性系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn)，提出采用攝動(dòng)-諧波法求解多自由度系統(tǒng)非線性振動(dòng)方程，推導(dǎo)得到自由振動(dòng)通用計(jì)算公式，為求解非線性多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)提供了一定的理論指導(dǎo)和參考。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；非線性；扭振；推進(jìn)軸系；自由振動(dòng)

隨著造船技術(shù)的發(fā)展，船舶動(dòng)力裝置向著大型化、復(fù)雜化和自動(dòng)化發(fā)展，其推進(jìn)軸系中會(huì)出現(xiàn)多個(gè)高彈性聯(lián)軸器等非線性部件，使得該系統(tǒng)具有非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性。與軸系線性振動(dòng)問(wèn)題求解相比較，含非線性元件的軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題在理論和方法上有很大的差異。

非線性振動(dòng)問(wèn)題在工程上廣泛存在[1–3]，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)求解非線性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。如文獻(xiàn)[4]采用多尺度法對(duì)剛度分段線性系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程進(jìn)行求解，得到分段線性保守自治系統(tǒng)自由振動(dòng)解析解的通用公式。文獻(xiàn)[5]提出在單自由度強(qiáng)非線性振動(dòng)方程中，引入人工參數(shù)以及采用Lindstedt-Poincare方法，求解非線性自由振動(dòng)。文獻(xiàn)[6]采用非線性振動(dòng)平均法求解具有非線性特性的三圓盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型在系統(tǒng)滿足3:1型內(nèi)共振的解。

以含非線性元件的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型為研究對(duì)象，分析線性部分、非線性部分和既含線性部分也含非線性部分三種基本模型的特點(diǎn)，建立某質(zhì)量點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)基本方程，從而得到含非線性元件的多自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程；同時(shí)通過(guò)對(duì)多自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程的分析，采用攝動(dòng)-諧波平衡法推導(dǎo)得到自由振動(dòng)通用計(jì)算公式。

1　數(shù)學(xué)模型與一般方程

由船舶推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)當(dāng)量系統(tǒng)集總參數(shù)理想模型的簡(jiǎn)化原則可知，在推進(jìn)軸系系統(tǒng)中，大部分元件的慣量、剛度和阻尼特性均可以以線性來(lái)簡(jiǎn)化或者近似線性特性來(lái)簡(jiǎn)化。由于高彈性聯(lián)軸器依靠橡膠等實(shí)現(xiàn)扭矩的傳遞，因此在船舶推進(jìn)軸系系統(tǒng)實(shí)際工程中其剛度和阻尼非線性總是存在，且剛度具有三次非線性特性[7]。

不論是對(duì)于傳統(tǒng)的船舶推進(jìn)軸系還是當(dāng)前廣泛運(yùn)用的復(fù)雜混合動(dòng)力推進(jìn)軸系，按照扭轉(zhuǎn)振動(dòng)當(dāng)量系統(tǒng)簡(jiǎn)化原則，均可以簡(jiǎn)化成類(lèi)似于如圖1所示的推進(jìn)軸系集總參數(shù)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型由線性部分和非線性部分組成。下面將討論線性部分、非線性部分和既含線性部分也含非線性部分三種基本模型，建立質(zhì)量點(diǎn)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)一般方程。

圖1　推進(jìn)軸系集總參數(shù)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型

如圖2所示模型只含線性部分時(shí)，第k質(zhì)量點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)一般方程為

式（1）可轉(zhuǎn)化為

圖2　模型只含線性部分

如圖3所示，模型只含非線性部分時(shí)，即剛度具有三次非線性特性時(shí)有

其中常數(shù)K10、K11、K12、K20、K21、K22均與材料特性有關(guān)；Uk-1,k和Uk,k+1表示彈性力矩；。

由式(3)—式(4)，第k質(zhì)量點(diǎn)的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)一般方程為

圖3　模型只含非線性部分

如圖4所示，模型含線性和非線性部分時(shí)，同理可知第k質(zhì)量點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)一般方程為

圖4　模型含線性和非線性部分

2　攝動(dòng)-諧波平衡法求解軸系自由振動(dòng)

不考慮非線性元件的推進(jìn)軸系理想扭轉(zhuǎn)振動(dòng)數(shù)學(xué)模型，根據(jù)式（1）可以得到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程

其中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣[J]為對(duì)角矩陣；剛度矩陣[K]為三對(duì)角矩陣；阻尼矩陣[C]為內(nèi)阻尼（三對(duì)角矩陣）和外阻尼矩陣（對(duì)角矩陣）之和；{T(t)}為作用于系統(tǒng)的激勵(lì)力矩向量。

而對(duì)于含非線性元件的推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，由式（1）、式（5）和式（6）可得到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程

其中[J]、[C]和[K]0含義同上；而[K]1為{?}的一次函數(shù)，[K]2為{?}的二次函數(shù)。顯然，對(duì)于線性部分{?}的一次函數(shù)和二次函數(shù)系數(shù)為0。

對(duì)于非線性系統(tǒng)的求解，若采用傳統(tǒng)的諧波平衡法，但其具有精度不高的不足，需對(duì)解的結(jié)果有一定的預(yù)判，在實(shí)際應(yīng)用中較為困難；而傳統(tǒng)攝動(dòng)法需要進(jìn)行大量繁瑣的微分運(yùn)算，隨著攝動(dòng)方程階數(shù)的提高而求解難度增加。因此提出在諧波平衡法的基礎(chǔ)之上引入攝動(dòng)思想，實(shí)現(xiàn)二種方法的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。由于篇幅原因，僅討論含非線性元件的推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型的非線性無(wú)阻尼自由振動(dòng)求解問(wèn)題，即

假定式（9）解的形式為

將式（10）代入式（9）各項(xiàng)，可知

將式(11)—式(14)左右兩邊相加，變形后可得

通過(guò)比較cosθ、cosiθ等各項(xiàng)前的系數(shù)可以得到：

1）常數(shù)項(xiàng)

2）當(dāng)i=1時(shí)cosθ前系數(shù)

3）當(dāng)i=2時(shí)cos2θ前系數(shù)

4）當(dāng)i=3時(shí)cos3θ前系數(shù)

5）當(dāng)i＞3時(shí)cosiθ前系數(shù)

λ值使得

其中[I]為單位矩陣。

為將式(16)至式(20)進(jìn)行線性等價(jià)變換，設(shè)

將式(22)、式(23)代入式(16)至式(20)，變形后可得

(1)常數(shù)項(xiàng)

(2)當(dāng)i=1時(shí)cosθ前系數(shù)

(3)當(dāng)i=2時(shí)cos2θ前系數(shù)

(4)當(dāng)i=3時(shí)cos2θ前系數(shù)

(5)當(dāng)i＞3時(shí)cosiθ前系數(shù)

根據(jù)式(25)至式(28)和式(9)可知

按照同次冪系數(shù)關(guān)系對(duì)上述方程進(jìn)行求解，根據(jù)式(24)求解得

根據(jù)式(25)、式(29)和式(30)聯(lián)合求解得

根據(jù)式(26)求解得

根據(jù)式(27)求解得

根據(jù)式(28)求解得

綜上所述，可以得到

3　實(shí)例計(jì)算與分析

某船舶推進(jìn)軸系系統(tǒng)按照當(dāng)量系統(tǒng)集總參數(shù)理想模型的簡(jiǎn)化原則，推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)當(dāng)量參數(shù)如表1所示。當(dāng)量系統(tǒng)圖如5所示，其中高彈性聯(lián)軸器剛度具有三次非線性特性，即彈性力為

表1　某船舶推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)當(dāng)量參數(shù)

圖5　某船舶軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)當(dāng)量系統(tǒng)圖

α=0.7 MNm/rad3。

利用攝動(dòng)-諧波平衡法求解，對(duì)船舶推進(jìn)軸系系統(tǒng)進(jìn)行自由振動(dòng)計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2所示。表中給出了系統(tǒng)一階固有頻率的計(jì)算結(jié)果，其中振幅為系統(tǒng)第9質(zhì)量點(diǎn)處振幅。對(duì)于系統(tǒng)其他階固有頻率同理也可以求出。

表2　1階固有頻率值

為了驗(yàn)證攝動(dòng)-諧波平衡法得到的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)通用計(jì)算公式的正確性，采用ANSYS軟件用有限元法進(jìn)行驗(yàn)證。其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通過(guò)MASS21質(zhì)量單元表述，扭轉(zhuǎn)剛度通過(guò)彈簧單元COMBIN14表述，可以得到如圖6所示的某船舶軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有限元模型。

圖6　某船舶軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有限元模型圖

利用彈性聯(lián)軸器具有非線性剛度的特點(diǎn)和表格2所示的振幅計(jì)算得到彈性聯(lián)軸器的剛度，將剛度值依次代入到ANSYS軟件所建立的振動(dòng)模型中進(jìn)行模態(tài)分析，從而驗(yàn)證了攝動(dòng)-諧波平衡法得到的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)通用計(jì)算公式的正確性。由于篇幅有限，僅給出振幅為0.2 rad時(shí),系統(tǒng)一階固有頻率有限元模態(tài)分析結(jié)果，其大小為8.477 Hz，與理論計(jì)算結(jié)果基本一致，如圖7所示。

若不考慮彈性聯(lián)軸器的非線性特性，按照線性特性求解上述船舶推進(jìn)軸系系統(tǒng)，其一階轉(zhuǎn)速為53.084 rad/s，即固有頻率為8.448 Hz，且與振幅的大小沒(méi)有任何關(guān)系。根據(jù)表2以及攝動(dòng)-諧波平衡法求解軸系系統(tǒng)自由振動(dòng)的計(jì)算公式可知，含非線性部

圖7　振幅為0.2rad時(shí)系統(tǒng)1階固有頻率

件的軸系系統(tǒng)固有頻率值隨振幅的變化而變化，并非如同線性系統(tǒng)固有頻率一樣為固定值，因此按照部件實(shí)際的非線性特性計(jì)算，可以得到更為準(zhǔn)確的系統(tǒng)固有頻率，避免系統(tǒng)共振點(diǎn)的遺漏；同時(shí)可為后續(xù)研究含非線性部件的軸系系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)計(jì)算提供指導(dǎo)。

4　結(jié)語(yǔ)

(1)通過(guò)對(duì)含有非線性元件數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)的分析，得到非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的一般方程，具有一定的通用性。

(2)結(jié)合諧波平衡法和攝動(dòng)法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出運(yùn)用攝動(dòng)-諧波平衡法求解非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程，從而得到非線性元件自由振動(dòng)通用計(jì)算公式；使得軸系非線性振動(dòng)問(wèn)題求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單。

(3)求解含非線性元件船舶推進(jìn)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率，為后續(xù)研究含非線性元件軸系強(qiáng)迫振動(dòng)提供了一定的理論指導(dǎo)和參考。

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Analysis of Free Vibration of Marine Propulsion Shafting System with Nonlinear Components

XIAO Neng-qi , ZHOU Rui-ping , LIN Xi-chen
( School of Energy and Power Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China)

Abstract:Through the analysis of the characteristics of torsional vibration of the marine propulsion shafting system with nonlinear components, a single- mass nonlinear torsional vibration equation was established, and then the general equations for multi- DOF nonlinear torsional vibration of the system were derived. Harmonic balance method and perturbation method were used to solve these equations, and the advantage and disadvantage of these methods were analyzed. The general free- vibration formulas were formulated. This work may provide a theoretical guidance and a referencefor multi-DOFnonlinear freevibrationanalysis.

Key words:vibrationandwave; nonlinear; torsional vibration; propulsionshafting; freevibration

通訊作者：周瑞平(1964- )，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:rpzhouwhut@126.com

作者簡(jiǎn)介：肖能齊（1987-）男，湖北省漢川市人，博士生，主要研究方向?yàn)榇皠?dòng)力裝置性能分析與減振降噪。E-mail:xiaonengqi@126.com

基金項(xiàng)目：科技部2013年專項(xiàng)船舶柴電混合電力系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)開(kāi)發(fā)資助項(xiàng)目（2014BAG04B02）

收稿日期：2015-10-12

文章編號(hào)：1006-1355(2016)02-0135-04+214

中圖分類(lèi)號(hào)：U664.21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.030