電流變夾層板滑模振動控制

陳春強，陳前(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京210016)

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電流變夾層板滑模振動控制

陳春強，陳前
(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京210016)

摘要：為實現(xiàn)板結構振動控制，基于滑動模態(tài)控制思想，設計適用于電流變夾層結構的變剛度控制器，并且推導兩類控制律——滑模控制律和簡化的開關控制律。先將電流變液處理為可控黏彈性材料，基于Hamilton原理建立電流變夾層板有限元模型。設計滑?？刂破鲿r，首先將系統(tǒng)變換到模態(tài)空間，然后利用LQR最優(yōu)控制理論設計控制面函數(shù)，設計電流變夾層板的滑?？刂破鳎詈蠼o出兩個近似的半主動控制律。對懸臂電流變夾層板進行仿真分析，設計的滑?？刂破髂茱@著降低電流變夾層板振動水平，均方根降幅達到88.23%，取得明顯優(yōu)于被動控制的減振效果，體現(xiàn)電流變夾層結構在板結構振動控制應用中的前景。

關鍵詞：振動與波；電流變液夾層板；有限元法；滑?？刂?；半主動控制

航天領域的太陽帆板、大型桁條、空間壁板等結構，因為柔性大、結構阻尼小的原因，擾動可能引發(fā)長時間、大幅度的振動，從而影響器件的工作性能，甚至結構安全，除了采用被動的阻尼技術，半主動的振動控制手段也是值得關注的。電流變夾層結構(Electrorheological sandwich structure，ER夾層)是一種用于振動控制的新型智能結構，可直接布置在梁、板等結構上，配合合適的控制算法還能實現(xiàn)智能振動控制，能在較小的能量代價下具有優(yōu)越的減振、降噪性能。因其在振動控制領域有廣闊的應用前景，引起了研究者的廣泛關注。

國內的學者孟光[1]、任建亭[2]等人較早地對ER夾層梁、板結構進行相關的建模、實驗研究，分析電場強度、厚度比等對結構特性的影響，得到豐富的研究成果。近年來，Jia和Chen等人利用有限元法建立電流變夾層板的模型，分析電場強度和厚度比對電流變夾層系統(tǒng)動力學特性的影響，在此基礎上分析矩形電流變夾層板的動力學穩(wěn)定性[3]，并對環(huán)形夾層板建模分析[4，5]；Kumar[6]分析用電流變夾層板組成的盒狀結構，比較了多種表層材料情況下，外加電場強度對結構的模態(tài)頻率和損耗因子的影響。最近，Jafar和Jalil[7]討論邊界約束條件對ER夾層結構瞬態(tài)響應的影響，發(fā)現(xiàn)電場增強則瞬態(tài)響應線性衰減，可見眾多研究還是集中在試圖通過施加外場、提高結構阻尼從而達到減振的目的。然而作為一種可控的智能結構，不僅需要研究其動力性特性，更應該關注振動控制算法的設計，比如學者楊智春、張培強等采用的模糊控制算法，筆者也對ER夾層梁的模糊控制進行過分析[8]。此外，在電流變液夾層結構研究的早期，受到結構模態(tài)頻率可移動的啟發(fā)，研究者最先設想的是電流變夾層結構的頻率控制策略，其主要思想是把輸入主頻率和預先獲得多電場條件下的頻響函數(shù)比對，選取頻響最小的電場輸出。頻率控制中需要快速獲得較準確的實時頻率，但目前瞬時頻率的識別方法還不成熟[9]，可能正是這個原因限制了該類型控制策略的發(fā)展?；？刂?Sliding Mode Control，簡稱SMC)也稱變結構控制，它適合在控制過程中系統(tǒng)參數(shù)不斷變化的變剛度和變阻尼控制，電流變夾層板正是這樣的系統(tǒng)?；？刂品椒ㄔ诎胫鲃涌刂蒲b置——車輛ER懸掛、抗震AVS阻尼器[10]等控制系統(tǒng)中，取得了很好效果，但文獻對于在電流變夾層結構上應用滑?？刂撇呗缘难芯窟€較為少見[2]。

以板結構振動控制為目標，首先建立電流變液夾層板有限元模型，并將動力學方程變換到模態(tài)坐標組成的狀態(tài)空間；然后在狀態(tài)空間中設計主動控制系統(tǒng)的滑模控制器，并且進行相關的近似，獲得兩類電流變夾層系統(tǒng)適用的半主動滑?？刂坡?。最后，還對單邊固支的電流變夾層板系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，多種激勵下的對比控制結果表明給出的半主動滑?？刂坡墒怯行У摹?/p>

1　電流變夾層板的有限元模型

電流變夾層板是由上下兩層彈性材料和中間電流變材料層組成，四周用硅橡膠密封，如圖1所示。為簡化分析，做以下簡化假設：

(1)夾層板各層的橫向變形相等；

(2)夾層板的上下表層的剪切變形忽略不計，不考慮上下表層的阻尼；

(3)相對于表層材料，電流變液的拉伸剛度、彎曲剛度很小，忽略不計；

圖1　電流變夾層板控制系統(tǒng)示意圖

(4)各層分界面上無相對滑動，夾層板處于小變形狀態(tài)。

圖2所示是夾層板在xz截面內的位移，下標u、e、d分別表示上表層、電流變層和下表層。按照變形協(xié)調有位移關系，可得電流變層的x向位移為

圖2　電流變夾層板在xz面內的運動示意圖

αy、βy分別是電流變層繞y軸的旋轉角和剪切角，按照假設條件和圖示的變形協(xié)調，可得

1.1單元自由度及形函數(shù)

采用具有四個節(jié)點的矩形單元，長寬分別為2a、2b，每個節(jié)點有七個自由度，記為δi={δi,jδi,kδi,pδi,q}，式中j，k，p，q是該單元的節(jié)點編號，其中j節(jié)點的位移為。

單元任意點的位移用四個節(jié)點的位移插值表示，即

式中N是對應于節(jié)點各位移的形函數(shù)矩陣，將其代入變形關系式(1)，可得電流變層位移形函數(shù)。

這里，四節(jié)點的位移分量相應的是四個已知邊界條件，并考慮單元的對稱性，參考平面矩形雙線性單元和矩形薄殼單元[11]，選取位移形函數(shù)，此處略去不表。

1.2單元運動方程

用形函數(shù)表示單元勢能、動能和外力的功，并代入Hamilton變分公式，可以獲得i單元的振動方程為

式中Mi和Ki是i單元的質量、剛度矩陣。

2　動力學方程和狀態(tài)方程

如圖1，電流變夾層板單邊固支，按照該邊界條件對單元坐標進行集成，并且考慮外加電場的作用，可以獲得電流變夾層板系統(tǒng)的控制方程為

式中fi是ΦTF向量的i元素，qi(t)是近似的實模態(tài)坐標。

設計滑?？刂坡尚枰到y(tǒng)的簡約形式的狀態(tài)方程，所以將模態(tài)方程組(5)整理可得

把上式劃分為

3　滑動模態(tài)控制器設計

3.1基于LQR最優(yōu)控制理論的控制面函數(shù)設計

滑動模態(tài)控制的關鍵是設計控制面函數(shù)，設控制面函數(shù)S為狀態(tài)變量xˉ的線性組合，即

相應的，類似式(6.b)，對控制面S分塊改寫為式中，系數(shù)矩陣C1和C2是待求的，上式中把x2視作x1的控制，忽略狀態(tài)方程中模態(tài)激勵f，可得

定義控制系統(tǒng)的性能指標

所以性能指標式(10)化為

根據(jù)最優(yōu)控制理論，容易求出控制面系數(shù)矩陣C

其中pˉ是由式(16)確定的Riccati方程的解，控制面系數(shù)矩陣由權矩陣完全確定，實際應用時需要在控制前離線計算獲得。

3.2確定滑?？刂坡?/p>

應用Lyapunov直接法確定電流變夾層系統(tǒng)的開關控制律。設Lyapunov函數(shù)為

系統(tǒng)在滑動面上漸進穩(wěn)定的充分條件是

代入式(14)和式(15)，可以導出

其中λi是行向量的元素，Gi是列向量的元素。主動控制系統(tǒng)中實現(xiàn)該式的滑模控制，是用式中控制力保證為負定，但電流變夾層板是一種半主動的控制裝置，保證時刻為負定較為困難，特別是控制力方向達不到要求時，參考文獻[9]的做法，調整控制力使得盡量小，所以問題轉變?yōu)榻獬鍪沟米钚〉碾妶鰪姸菶。

控制中需要附加剛度系數(shù)與電場強度關系的向量，在離線狀態(tài)下，先將電場強度離散為r個值E={E1E2…Er}，代入式(6.b)、式(16)計算得到，分別求取關于電場強度的關系，即

特別的，當系統(tǒng)的外激勵頻率在i階模態(tài)頻率附近，即系統(tǒng)振動存在主模態(tài)時，系統(tǒng)i階模態(tài)的響應qi為主要響應，即λiui決定了整體值的符號，實際上此時的滑?？刂坡赏嘶癁殚_關控制律

控制律表達式(23)是不連續(xù)的，在振動控制中可能引起抖振，因此需要用連續(xù)的控制電場來代替不連續(xù)的控制電場，設計飽和控制律為

式中ε是滑動層寬度。至此，得到在電流變夾層結構可用的滑?？刂频膬煞N控制律表達式。如果對模型進行模態(tài)截斷前m階模態(tài)，控制器只需m個模態(tài)位移和模態(tài)速度作為輸入。

4　仿真與計算

為驗證有限元建模方法的正確性，采用與文獻[4]、[5]相同參數(shù)的夾層板，計算固有頻率和模態(tài)損耗因子，如表1所示，從兩者對比結果看，兩者吻合很好，說明了建模方法是可靠的。

表1　固有頻率和模態(tài)損耗因子對比

如圖1，電流變夾層板左邊固支，基本參數(shù)：長為360 mm、寬為240 mm，上下兩層鋁板厚度為1.0 mm，密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為71 GPa，泊松比為0.3。對于小幅振動的電流變夾層結構，設其剪切模量為G=G′+G″，參考文獻[5]引用Don的研究成果，取彈性模量G′=15 000 E2Pa，損耗模量G″=6 900 Pa，單元是30 mm×30 mm的矩形夾層板單元。

為檢驗提出的滑模控制在電流變夾層板振動控制系統(tǒng)中的有效性，對系統(tǒng)進行仿真分析，控制器相關參數(shù)為：控制面權重Q11=100 In×n，Q22=In×n，控制階次m =4，滑動層寬度ε=0.02。如圖1所示，在據(jù)邊界1/3處的P點有z向簡諧激勵pz(t)=p0sin(ωt)，p0取單位值，頻率從1 Hz～65 Hz，把穩(wěn)定后的均方根值作為頻率響應，分析系統(tǒng)的控制效果。圖3為分別采用被動控制(恒定電場強度1.5 kV/mm)和滑?？刂?電場強度上限Eb=1.5 kV/ mm)時，P點橫向位移的頻響函數(shù)變化曲線。

圖3　被動控制和滑模控制作用下P點橫向位移(Eb=1.5kV/mm)

從圖中可以看出，當施加強度為1.5 kV/mm的恒定電場時，頻響曲線向高頻移動，并且具有更高的共振峰值，表明模態(tài)阻尼比在恒定電場下減小了。這表明，對于阻尼性能不隨外加電場提高的電流變材料，簡單施加恒定電場的被動控制是無效的，也就是說對于文中采用的計算模型，最優(yōu)的被動控制實際上是無控工況（電場強度為零）。滑?？刂葡?，P點位移響應的共振峰得到很好的抑制，這表明滑模控制器比被動控制具有更好的振動控制效果。同時也注意到，在原系統(tǒng)反共振頻率附近，滑?？刂茮]有控制效果，這是由于電流變夾層板結構的性能所限，滑?？刂破饕彩怯蓄l段限制的?？紤]激勵是包含前四階模態(tài)頻率的隨機激勵，其頻帶為1 Hz～65 Hz，圖4給出了測點P在無控和SMC控制下隨機激勵工況的位移時域響應，從圖中可以看出SMC控制在時域范圍內很好地抑制了位移振動響應，觀察點P的均方根減小了88.23%。

為驗證式(19)給出的模態(tài)附近開關控制律，考慮激勵是在第1階模態(tài)頻率附近(3.5 Hz～7.5 Hz)的快掃頻激勵，分別采用兩種控制律進行控制，控制電場強度上限Eb取較小的1 kV/mm。圖5是P點響應變化的時間曲線，從圖5中可以看出，兩種控制律對系統(tǒng)的位移響應有較好的控制效果，采用開關控制律時，該點位移的均方響應相比無控制時減小了68.14 %，而采用飽和控制律時，均方響應減小了52%。比較而言，開關控制律取得控制效果略好些，但是采用飽和控制律的控制器輸出的控制力是連續(xù)值，對系統(tǒng)的沖擊小，所以對控制結構的加速度也是有利的。需要指出的是，這里給出的開關控制律需要獲知當前結構振動的主要模態(tài)，因此只對確定性系統(tǒng)的振動控制較為合適。

圖4　無控制和滑?？刂谱饔孟翽點橫向位移(Eb=3kV/mm)

圖5　兩種控制下P點橫向位移變化的時間曲線(Eb=1kV/mm)

5　結語

基于LQR最優(yōu)控制理論設計適用于電流變夾層的滑模變結構控制器，實現(xiàn)對板的半主動振動控制，通過分析獲得了以下結論：

(1)對電流變夾層板施加電場，結構的固有頻率和模態(tài)損耗因子發(fā)生變化，模態(tài)頻率向高頻移動，表明剛度隨著電場強度的增大而增大，并且在零電場條件下，結構具有一定的阻尼性能，這表明當智能控制失效時，電流變夾層仍然能降低板的振動水平。

(2)對于簡諧激勵和隨機激勵工況，電流變夾層結構采用滑?？刂葡到y(tǒng)，總能取得優(yōu)異的減振控制效果，隨機激勵工況下，采用較高的控制電場，均方根降幅接近90 %；當系統(tǒng)的激勵頻率在某階模態(tài)頻率附近，即振動存在主要模態(tài)時，采用開關控制相對于飽和控制律能取得更好的控制效果，而飽和控制律可以減小控制力對系統(tǒng)的沖擊。

(3)設計的滑?？刂破鲗ζ渌吔鐥l件的電流變夾層板、梁系統(tǒng)也是適用的。

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Vibration Control of an Electrorheological Sandwich Plate Using Sliding Control Method

CHEN Chun-qiang , CHEN Qian
( StateKey Laboratory of Mechanicsand Control of Mechanical Structures, Nanjing University of AeronauticsandAstronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract:Based on the sliding mode control algorithm, a new active variable stiffness controller was presented and employed to deduceboth control laws:continuoussliding modecontrol law and ON-OFF sliding modecontrol law. First of all, assuming that the electrorheological (ER) fluids behave as viscoelastic materials and their storage modulus and loss modulus depend on the applied electric fields, the kinetic equations of a sandwich plate with the ER materials layer were derived based on the Hamilton’sprincipleand finiteelement method (FEM). Theeffectsof theelectric fieldson thenatural frequenciesand modal lossfactorsof thesandwich platewereobtained. Thekinetic equationsof thesandwich platesystem weretransformed to amodal system beforedesigning thesliding modecontroller. Then, thesliding surfacewasdesigned by LQR optimal control theory, and two semi-active control laws were proposed. The results of numerical simulation of a cantilever ER sandwich plateshow that thiscontrol method isvery effectivein attenuating thestructural vibration. Themean square root of displacement at point Phas depressed about 88%. The attenuation effect is much better than that of passive control.

Key words:vibration and wave; electrorheological(ER) sandwich plate; finite element method; sliding mode control; semiactivecontrol

通訊作者：陳前(1951- )，男，教授，博士生導師。主要研究方向為振動控制、故障診斷。E-mail:q.chen@nuaa.edu.cn

作者簡介：陳春強(1987- )，男，博士研究生。主要研究方向為振動控制、減振降噪。E-mail:cchen.detec@nuaa.edu.cn

基金項目：中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目；江蘇高校優(yōu)勢學科建設工程資助項目

收稿日期：2015-07-14

文章編號：1006-1355(2016)02-0194-05

中圖分類號：O241；O328

文獻標識碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.043