基于分類討論的高中數(shù)學解題研究

王洪巖

[摘要]在高中數(shù)學教學中，分類討論方法是一種重要的解題思路。這種方法需要學生能夠從題目整體出發(fā)，全面把握，分步驟、有秩序地解題，逐一考慮題目中的隱藏條件。作為高中數(shù)學的重要解題思想之一，了解分類討論的意義，掌握其討論方法，對高中生的解題速度及解題效率的提升將有很大幫助。

[關鍵詞]分類討論；高中數(shù)學；解題研究

分類討論是指問題的研究與解決過程中，所給的對象難以用統(tǒng)一的方法來研究，必須將問題劃為幾個部分，并分別研究每個部分，最終解決整個問題。在數(shù)學學習與問題解決等過程中，數(shù)學方法是相關研究活動的運用步驟、程序、格式，有著具體的操作性。分類討論是一種思維方式，深刻反映了學生對數(shù)學問題的認識與處理能力。高中數(shù)學教學中，分類討論一直都是一種重要的數(shù)學方法，而且也是高考經(jīng)?？疾榈?。因此，學生必須要學會用分類討論來解決數(shù)學問題。

一、分類討論的必要性

作為高中重要的數(shù)學思想方法，學生應該深入了解分類討論解題方法的學習必要性，它主要體現(xiàn)在三個方面：一是對分類討論的原因要明確。學生解題中必須針對問題明確是不是應該使用分類討論，如何進行分類討論，這才是正確的解題想法。大多數(shù)情況中，分類討論的運用是因為題中的一些概念、定理應用范圍較窄。比如，如果函數(shù)是不連續(xù)定義域，那么要想求得其值域，就應該分類討論各定義域。二是充分掌握分類討論法。要想高效解題，學生的解題能力則是必須具備的，要能夠?qū)Ψ诸愑懻摲ㄊ炀氝\用。并且，分類討論的使用要正確，則應該有統(tǒng)一的標準，力圖不遺漏任何一點。如果出現(xiàn)了至少兩種以上的分類討論對象時，則應該分層次討論，以保證最終的討論結(jié)果不存在錯誤。三是整合分類討論結(jié)果。當分類討論完成時，就應整合結(jié)論，將重復的部分去掉，整合交叉部分。但是，不能為使用分類討論而使用分類討論，如果能使用整體法解題，則不用進行分類討論。

二、分類討論思想的應用

分類討論是當題目中出現(xiàn)多個隱含條件，單一解法難以對題目進行全面把握的情況下，要分別進行解答，根據(jù)一定步驟實施討論，從而在問題分解的基礎上進行綜合，得到完整答案。對于學生來說，它能夠充分鍛煉他們的邏輯推理、分析能力，需要學生勤學苦練。筆者將主要通過高中函數(shù)、概率、數(shù)列三大重要知識點內(nèi)容來探究數(shù)學解題中分類討論的相關應用。

（一）函數(shù)解題中的分類討論

在一些有參數(shù)的函數(shù)問題中，參數(shù)值的量變總會對結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)變。分析哲學問題的過程中，分類討論參數(shù)，能夠簡化問題，讓學生便捷、靈活解題。比如，在值域的基本題型中，其中二次函數(shù)的值域是最重要的問題。一般的二次函數(shù)，利用頂點和最值等就可以求出值域。比較困難的就是一些函數(shù)有參數(shù)問題。有參數(shù)的二次函數(shù)值域問題可以被稱之為限定性的二次函數(shù)求值域問題。換言之，自變量x取值并非是所有實數(shù)R，而是限定在一定的范圍內(nèi)，譬如x∈（a，b），求函數(shù)值域問題。對于這樣的問題，只能用分類討論進行解決。在分類討論中，要注意對稱軸x=-b2a在a的左端，b的右端依然是在區(qū)間（a，b）中，所以必須分三類進行討論。而這個問題需要學生長期反復練習才能達到效果。

（二）概率解題中的分類討論

在數(shù)學概率知識中，相關問題的計算往往要按照問題的要求進行分類，并求出基本事件個數(shù)。高中數(shù)學中，有的定理自身就是以分類討論方法來解答。比如，統(tǒng)計概率中的分類計數(shù)原理最為典型。做一件事情，可以有N中完成方法，在第一種方案中有M1種不同方法，在第二種方案中有M2種不同方法……在第N種方案中有MN種不同方法，因而完成這件事則共有N=M1+M2+……MN種不同方法。值得注意的是，在數(shù)學問題解決過程中，利用對每個難點的分別解決，以多種步驟完成最終解答。在解決這些難點較多、需要分多個步驟的數(shù)學問題中，有時我們難以在解決前知道用何種方法最好。因此，分類討論方法或許就在解題之中因為解題需要而被使用到。此處的解題需要就是說前面的解題步驟讓情況變得不確定，或者不唯一。

（三）數(shù)列解題中的分類討論

數(shù)列問題中，分類討論的運用同樣廣泛。比如探索數(shù)列周期性問題、等比數(shù)列求和等等，其中都有著很多分類討論方法的應用思想。分類討論是一種化整為零、積零為整的歸類整理方法，是重要的數(shù)學學習方法[2]。而高中數(shù)學中，數(shù)列是學習重點，也是高考必考點。在通項公式、求前n項和等問題中都會牽扯到分類討論。但是，高中生在學習利用分類討論解決數(shù)列問題時，必須要注意一些問題。具體來說，一是確定分類對象，統(tǒng)一標準；二是做到不重復、不遺漏；三是分層次、不越級討論。同時，注意數(shù)列問題中要進行分類討論的是當?shù)炔?、等比?shù)列定義中由限制條件引發(fā)的問題，由公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的限制引發(fā)的問題，或者是因數(shù)列求和時正負項、奇偶項、等比數(shù)列公比q引發(fā)的問題等等。

三、結(jié) 語

高中數(shù)學解題中，分類討論本身是著眼于問題本身的性質(zhì)，也是一種有效解決問題的方法。使用分類討論，可以把問題化繁為簡，將那些不明確的問題變成具體問題，并合理分類、逐步探討、分級歸納。對于高中生來說，掌握分類討論方法，不但可以對數(shù)學基礎知識有較為全面的理解，而且對學生邏輯嚴謹性的訓練也大有裨益。

[參考文獻]

[1]王德昌?；乇芊诸愑懻摰木欧N常用策略[J]。數(shù)學教學研究，2012，31（06）：46。

[2]邵明福。分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用（高一二版）[J]。數(shù)理化學習，2014（12）：15。