如何在課堂教學中滲透建模思想

劉進

[摘要]數(shù)學知識的實際應用一直以來困擾著學生，結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，談談如何在課堂教學中滲透數(shù)學建模思想，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識。

[關鍵詞]數(shù)學建模；應用意識；實際問題；實踐能力

傳統(tǒng)的應用題教學，題目是經(jīng)過加工提煉出來的，為了計算方便往往將數(shù)據(jù)加以改編、優(yōu)化，題目中的條件也是充分的。教師在教學過程中只注重怎樣將應用性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并不重視模型建立的過程，這樣學生感覺不到應用性問題來源于生活，直到高中畢業(yè)，對于應用性問題依然感到陌生和抵觸?；谧约河龅降膯栴}，有以下幾點思考與實踐：

一、創(chuàng)設實際生活中的問題情境，引入新知

從社會意義角度，我們可以把數(shù)學認識過程分為數(shù)學研究過程和數(shù)學學習過程兩類，數(shù)學研究過程的一般路線是：發(fā)現(xiàn)問題—提出假設—驗證假設—獲得結(jié)論，而數(shù)學學習的一般過程是：學習基本概念和原理—展開理論體系—接近客觀實際。兩個過程不吻合，所以在教學過程中容易使學生缺乏自主的思維活動，缺乏應用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力。我們應該使學生的數(shù)學學習更加接近數(shù)學研究的真實過程。例如，《正弦定理》一節(jié)可以這樣引入：

設A，B兩點在河的兩岸，只有測角儀器、米尺和計算器，怎樣測量A，B兩點之間的距離？

學生可能會這樣解決：在A同側(cè)選取恰當?shù)囊稽cC，使角C為90°，然后測出AC兩點間的距離和角A的大小，利用直角三角形有關知識可以解出AB。這時再提出問題：如果受地形條件所限，并不能找到這樣的點C，還能測量出AB的距離嗎？也就是已知三角形中三個角的大小和一條邊的長度，求另外的一條邊，解決了這個問題，正弦定理的內(nèi)容和推導過程也就呈現(xiàn)出來了。學生體會了知識因為需要而產(chǎn)生，并不是憑空出現(xiàn)的。不讓學生“編”應用性的問題，編的多了，自然認為問題都是編的。讓學生去發(fā)現(xiàn)，去應用，既能鞏固知識，又能培養(yǎng)應用意識。

二、讓學生自己動手調(diào)查實踐，感受數(shù)學知識與實際生活的聯(lián)系

傳統(tǒng)的應用題中數(shù)據(jù)都是直接給出的，學生并不考慮數(shù)據(jù)的來源和合理性，直接應用所給數(shù)據(jù)解題，對于他們來說，所給的數(shù)據(jù)只是條件之一，所以和生活中的實際問題聯(lián)系不起來。在教學過程中，有機會就讓學生自己動手調(diào)查實踐，將所學知識應用于生活，例如：在學習《用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征時》，筆者留了這樣一個作業(yè)：2012年7月1日北京市開始實施階梯電價，市電力公司已經(jīng)及時制定了《北京市居民生活用電試行階梯電價實施細則》，相關負責人指出，此次調(diào)整對80%以上的用戶并無影響，請你了解《細則》內(nèi)容并調(diào)查城市居民用電情況及階梯電價對居民用電的影響。學生通過記錄電表得到居民一個月用電量的樣本，在課堂上學習用頻率分布表和頻率分布直方圖處理樣本數(shù)據(jù)，從而估計總體用電情況。當時學生調(diào)查的結(jié)果都證實了將240度電作為標準是合理的。數(shù)據(jù)由學生動手收集得到，再經(jīng)過整理和分析，學生們也就理解了為什么這樣制定細則，會覺得數(shù)學知識離生活很近，既學習了知識，也學會用數(shù)學的方法理性分析社會問題。

動手調(diào)查和實踐的問題不能過于復雜，信息獲取不宜難度過大，否則會打消學生實踐的積極性。盡量與學生的生活息息相關，這樣學生才能體會到所學知識可以在生活中得到應用，甚至會加深學生對社會現(xiàn)象的理解，幫助他們建立正確的世界觀。

三、應用題教學向數(shù)學建模貼近，讓學生體會建立模型的過程

數(shù)學建模是根據(jù)具體問題，在一定的假設下找出解決這個問題的數(shù)學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。

人教版選修系列《生活中的優(yōu)化問題舉例》例2，飲料瓶的大小對飲料公司利潤的影響，其背景材料中的“球形瓶裝飲料”在實際生活中很少見。不如讓學生根據(jù)自己的經(jīng)驗，假設包裝的形狀，再研究這個問題，其中參數(shù)也可以自己設定，例如：

[簡化假設]

1。包裝為圓柱體；

2。大包裝與小包裝形狀完全一樣；

3。每平方厘米包裝的成本為a元；

4。高與底面半徑之比為k；

5。每售出1立方厘米飲料，可獲利為b元。

[模型建立]

利潤y等于出售飲料獲利減去包裝成本，所以

y=πr2·kr·b-2πr·kr·a。

[模型求解]

y′=3kbπr2-4kaπr=kπr（3br-4a），

利用導數(shù)知識可知，當r=4a3b時，利潤最小，并且隨著r增大，利潤也在增大。

[模型驗證]

市場上等量小包裝物品比大包裝要貴，說明大包裝利潤高些。

在建模的過程中，教師盡量不給出對模型的假設，由學生來完成，學生還可能將飲料瓶的形狀假定為長方體、正方體，模型求解的過程都差不多。這樣學生可以盡量聯(lián)系實際生活，并能透過現(xiàn)象看到問題本質(zhì)，使所學知識得到應用。教師可以適當引導：是不是半徑越大就越好？利潤還可能和哪些因素有關？這樣可以產(chǎn)生兩個研究性學習課題：體積一定的飲料瓶設計成什么形狀更節(jié)省包裝成本？飲料銷售量和飲料瓶的體積有什么關系？經(jīng)歷了這個過程，學生體會到生活中數(shù)學無處不在，而我們所學的數(shù)學知識來源于生活并且服務于生活。

建模的過程比傳統(tǒng)應用題的審題要難，但學生是主動去發(fā)現(xiàn)的，不是被動接受的，這樣學習的積極性就會提高。將數(shù)學理論應用于現(xiàn)實，不但能使理論得到實踐檢驗，而且能增強學生對數(shù)學真理性的信念，還能從中獲得數(shù)學認識的新源泉，提高了學生的學習興趣和數(shù)學素養(yǎng)。

綜上所述，在日常教學中滲透數(shù)學建模思想，首先教師就應該關注生活關注社會，有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的眼睛，為學生提供基本內(nèi)容的實際背景和寬松的、富有生命力的課堂環(huán)境，培養(yǎng)學生學習的主動性和創(chuàng)造性。