向量在解析幾何中的應(yīng)用

匡婷 詹娜

平行問題

例1 過拋物線[y2=2px]焦點(diǎn)[F]的一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]，經(jīng)過點(diǎn)[Q]作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)[M]，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為[O]，求證： [M]，[O]，[P]三點(diǎn)共線.

解析 由題意得，[Fp2 ，0].

[∴FP=x1-p2， y1 ， FQ=x2-p2 ，y2].

[∵ FP]與[FQ]共線，

[∴x1-p2 y2-x2-p2 y1=0].

而[x1=y122p]，[x2=y222p]，代入上式得，[y1y2=-p2].

又[M-p2 ，y2]，[∴OP=x1， y1 ， OM=-p2 ，y2].

[∵x1y2-（-p2）y1=y122py2+p2y1=y1y22py1+p2y1]

[=-p2y1+p2y1=0]，

[∴OP]與[OM]是共線向量，即[M]，[O]，[P]三點(diǎn)共線.

點(diǎn)撥 兩直線平行或三點(diǎn)共線是解析幾何中常見問題之一. 根據(jù)向量共線的充要條件解決共線（平行）問題比“斜率法”“距離法”更簡(jiǎn)單明了.

垂直問題

例2 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]經(jīng)過點(diǎn)[M（1，22）]，其離心率為[22]. 直線[l：y=kx+m]與橢圓[C]相交于[A]，[B]兩點(diǎn).

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）已知直線[l]與圓[x2+y2=23]相切，求證：[OA⊥OB]（[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

解析 （1）由題意易知，橢圓[C]的方程為[x22][+y2][=1].

（2）因?yàn)橹本€[l]與圓[x2+y2=23]相切，

所以[m1+k2=63]，即[m2=23（1+k2）.]

由[y=kx+m，x2+2y2=2]得，[（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0].

設(shè)點(diǎn)[A]，[B]的坐標(biāo)分別為[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，

則[x1+x2=-4km1+2k2]，[x1x2=2m2-21+2k2].

所以[y1y2=（kx1+m）（kx2+m）]

=[k2x1x2+km（x1+x2）+m2]=[m2-2k21+2k2].

所以[OA·OB=x1x2+y1y2]=[2m2-21+2k2+][m2-2k21+2k2]

=[3m2-2k2-21+2k2]=[0].

故[OA⊥OB].

點(diǎn)撥 垂直關(guān)系[OA⊥OB][?OA?OB=0]是“形”化“數(shù)”、“垂直”化“數(shù)量積為零”的基本途徑.

范圍問題

例3 點(diǎn)[P]為平面直角坐標(biāo)系[xOy]中一定點(diǎn)，過[P（1，2）]作直線[l]分別與[x]軸、[y]軸正半軸交于點(diǎn)[A]，[B]，求[PA?PB]的最小值.

解析 依題意可設(shè)直線[l]的方程為

[xa+yb=1（a>0，b>0）]，

則[1a+2b=1]，且[A（a，0）]，[B（0，b）].

則[PA=（a-1，-2）]，[PB=（-1，b-2）].

又[PA?PB=-PA?PB=（a+2b）-5]

[=（a+2b）（1a+2b）-5=（1+4+2ba+2ab）-5=2ba+2ab≥4，]

當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)，等號(hào)成立.

所以[PA?PB]的最小值為[4].

點(diǎn)撥 [PA，PB]反向時(shí)，[PA?PB=-PA?PB]，這是將[PA?PB]坐標(biāo)化的基礎(chǔ). 同理，[PA，PB]同向時(shí)，有[PA?PB=PA?PB].

夾角問題

例4 已知拋物線[C1：x2=4y]的焦點(diǎn)[F]也是橢圓[C2：y2a2+x2b2=1（a>b>0）]的一個(gè)焦點(diǎn)，[C1]與[C2]的公共弦的長(zhǎng)為[26].

（1）求[C2]的方程；

（2）過點(diǎn)[F]的直線[l]與[C1]相交于[A]，[B]兩點(diǎn)，與[C2]相交于[C]，[D]兩點(diǎn)，且[AC]與[BD]同向.

（i）若[AC=BD]，求直線[l]的斜率；

（ii）設(shè)[C1]在點(diǎn)[A]處的切線與[x]軸的交點(diǎn)為[M]，證明：直線[l]繞點(diǎn)[F]旋轉(zhuǎn)時(shí)，[△MFD]總是鈍角三角形.

解析 （1）[y29+x28=1].

（2）設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[C（x3，y3）]，[D（x4，y4）].

（i）因?yàn)閇AC]與[BD]同向，且[AC=BD]，

所以[AC]=[BD].

從而[x3-x1=x4-x2]，即[x1-x2=x3-x4].

于是[（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4]. ①

設(shè)直線[l]的斜率為[k]，則[l]的方程為[y=kx+1].

由[y=kx+1，x2=4y]得，[x2-4kx-4=0].

而[x1，x2]是這個(gè)方程的兩根，

所以[x1+x2=4k，x1x2=-4]. ②

由[y=kx+1，x28+y29=1]得，[（9+8k2）x2+16kx-64=0].

而[x3，x4]是這個(gè)方程的兩根，

所以[x3+x4=-16k9+8k2，x3x4=-649+8k2]. ③

將②③代入①得，[16（k2+1）=162k2（9+8k2）2+4×649+8k2]，

即[16（k2+1）=162×9（k2+1）（9+8k2）2].

所以[（9+8k2）2=16×9]，解得[k=±64].

即直線[l]的斜率為[±64].

（ii）證明：由[x2=4y]得，[y=x2]，所以[C1]在點(diǎn)[A]處的切線方程為[y-y1=x12（x-x1）]，即[y=x1x2-x214].

令[y=0]得，[x=x12]，即[M（x12，0）].

所以[FM=（x12，-1）]，[FA=（x1，y1-1）]，

于是[FA?FM=x122-y1+1=x124+1>0]，

因此[∠AFM]是銳角，從而[∠MFD=180°-∠AFM]是鈍角.

故直線[l]繞點(diǎn)[F]旋轉(zhuǎn)時(shí)，[△MFD]總是鈍角三角形.

點(diǎn)撥 對(duì)于不共線的向量[a，b]，[a?b>0?]為銳角；[a?b<0?]為鈍角.