二項式定理常見題型剖析

陳靜

二項式定理研究的是一種特殊的多項式——二項式乘方的展開式，是培養(yǎng)觀察、歸納能力的好題材. 二項式定理是以公式形式表現(xiàn)二項式的正整數(shù)冪的展開式在指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)等方面內(nèi)在聯(lián)系的重要定理，集中體現(xiàn)了二項式展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化. 它是求展開式的某些項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）以及系數(shù)的重要公式.

二項式定理在高考中每年一道題，試題難度不大，與教材習題相當. 因此，學習時要重視基礎，熟練掌握二項式定理的展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)等原理，不必追求難解題.

系數(shù)問題

例1 [（xy-yx）4]的展開式中的[x3y3]的系數(shù)為________.

解析 方法1：[（xy-yx）4=xy（x-y）4]

[=x2y2（x-y）4，]

故只需求出[x-y4]的展開式中含[xy]的項的系數(shù).

易知所求為[C24?（-1）2=6].

方法2：[Tr+1=Cr4?（xy）4-r?（-yx）r]

[=（-1）r?x4-r?y4-r2?yr?xr2=（-1）r?Cr4?x4-r2?y2+r2.]

依題意得，令[4-r2=3]且[2+r2=3]，解得，[r=2].

所以展開式中的[x3y3]的系數(shù)為[C24?（-1）2=6].

點撥 先化簡后計算是解答某些數(shù)學問題的基本策略，方法1通過對底式進行因式分解化簡使得問題簡單化，方法2則是直接套用展開式的通項公式. 若對二項式展開式的性質(zhì)有更深入的理解，結(jié)合有關(guān)字母次數(shù)的對稱性也可直接得出展開式中[x3y3]的系數(shù)為[C24（-1）2=6].

例2 二項式[（3x3+1x）n]的展開式的各項系數(shù)的和為[p]，所有二項式系數(shù)的和為[s]，若[p+s=272]，則[n]等于多少？

解析 若[（3x3+1x）n=a0+a1x+a2x2+???+anxn]，

則[p=a0+a1+???+an]，[s=C0n+…+Cnn=2n].

令[x=1]得，[p=4n].

又[p+s=272]，

即[4n+2n=272?（2n+17）（2n-16）=0]，

解得，[2n=16或2n=-17（舍去）].

[∴n=4].

點撥 要正確區(qū)分各項系數(shù)與各二項式系數(shù)的概念，并知道如何求解. 二項式系數(shù)的和為[C0n+C1n+C2n][+…+Crn+…+Cnn=2n]，各項系數(shù)和只需令各個字母的值為1即可.

例3 對于任意實數(shù)[x]有[x3=a0+a1（x-2）][+a2（x-2）2][+a3（x-2）3]，則[a2=____].

解析 方法1：換元法.

設[x-2=t]，則[x=t+2].

代入已知等式得，[（t+2）3=a0+a1t+a2t2+a3t3].

所以[a2]為[（t+2）3]的展開式中含[t2]的項的系數(shù)，即[a2=C13?2=6].

方法2：左右兩邊[x2，x3]項的系數(shù)對應相等得，

[0=a2+a3?C13?（-2）1，a3=1]，故[a2]=6.

方法3：[x3=2+（x-2）3]. 由二項式定理知，展開式中[（x-2）2]的系數(shù)為[C23?2=6].

點撥 兩多項式恒等，就是同次冪項系數(shù)對應相等，據(jù)此有多種渠道求解. 方法1、方法3就思路而言本質(zhì)相同，兩種方法均體現(xiàn)了整體思想.

常數(shù)項問題

例4 如果[（3x2-2x3）n]的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)[n]的最小值為 .

解析 [Tr+1=Crn（3x2）n-r（-2x3）r=Crn3n-r（-2）rx2n-5r]，

依題意知，[2n-5r=0]有解.

因為[n]為正整數(shù)，[r]為小于[n]的自然數(shù)，且[r=25n]，

所以[n]的最小值為5.

點撥 對展開式中項的特征進行考查是?？碱}型. 本題涉及整除問題，要使[n]與[r]滿足范圍，[n]一定是5的倍數(shù)，所以[n]的最小值為5.

例5 求[（1+x3）6?（1+1x4）10]展開式中的常數(shù)項.

解析 [（1+x3）6?（1+1x4）10]的展開式的通項為[Cm6?xm3?Cn10?x-n4][=Cm6?Cn10?x4m-3n12]，其中[m]=0，1，2，…，6，[n]=0，1，2，…，10，

當且僅當[4m=3n]，即[m=0，n=0，]或[m=3，n=4，]或[m=6，n=8，]時，

故展開式中的常數(shù)項為[C06?C010+C36?C410][+C66?C810][=4246].

例6 [（1+x+x2）（x+1x3）n]的展開式中沒有常數(shù)項，[n∈N*]，[2≤n≤8]，則[n]= .

解析 [（x+1x3）n]的展開式的通項為

[Tr+1=Crn?xn-r?1x3r=Crn?xn-4r].

要使[（1+x+x2）（x+1x3）n]的展開式中沒有常數(shù)項，只需[（x+1x3）n]展開式中沒有[x0，x-1，x-2]項即可.

故[n-4r≠0，-1，-2]，

所以[n≠4r，n≠4r-1，n≠4r-2， 2≤n≤8].

由數(shù)的分類知，[n=4r-3]，所以[2≤4r-3≤8]且[r]為整數(shù)，解得[r=2，n=5].

點撥 在處理這類題目的時候，要用到一些整數(shù)的知識，如互質(zhì)概念、整除問題、整數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)、余數(shù)問題等.

賦值求值問題

例7 若[（1-2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016][（x∈R）]，

則[a12+a222+…+a201622016]=______.

解析 取[x=12]得，

[a12+a222+…+a201622016=][（1-2×12）2016-a0].

取[x=0]得，[a0=1].

故所求式子的值為[-1].

點撥 本題涉及展開式中的系數(shù)問題，除了通項公式外，可以從系數(shù)的特征出發(fā)采用行之有效的手段. 本題看上去很復雜，但將已知式的右端和所求式進行比對，容易想到對[x]進行賦值求解.

[練習]

1. [（1+x）n=a0+a1x+…+anxn]，若[a1+a2+…+an]=63，則展開式中系數(shù)最大的項是 .

2. 在[（x3+1x）20]的展開式中，[x]的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有 項.

3.若[（x-1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4]，則[a0]+[a2][+a4]的值為 .

[參考答案]

1. 令[x=1]得，[2n=a0+a1+a2+…+an].

∵[a0=C0n=1]，且[a1+a2+…+an=63]，

∴[2n=64]，即[n=6].

則[（1+x）n]的展開式有7項，展開式中系數(shù)最大的項是第4項，[T4=C46x3=20x3].

2. 展開式的通項是[Tr+1=Cr20?x20-r3?x-r2=Cr20?x40-5r6.]

因為[x]的冪指數(shù)是整數(shù)，則[40-5r]必須是6的倍數(shù).

所以[r]=2，8，14，20，即[x]的冪指數(shù)是整數(shù)的項共4項.

3. 令[x=1]，則[a0+a1+a2+a3+a4=0]；

令[x=-1]，則[a0-a1+a2-a3+a4=16].

則[a0+a2+a4=8].