數(shù)列通項(xiàng)公式求法初探

李江

【摘 要】數(shù)列的通項(xiàng)an是描述數(shù)列的基本量，也是高考數(shù)學(xué)考察的重點(diǎn)內(nèi)容。針對所教班級學(xué)生普遍對求數(shù)列的通項(xiàng)感到困難的現(xiàn)狀，筆者專門設(shè)計(jì)了與高考復(fù)習(xí)相適應(yīng)的教學(xué)案例，現(xiàn)將教學(xué)過程展示如下。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；通項(xiàng)；探究；實(shí)驗(yàn)；自主

一、面對的學(xué)生現(xiàn)狀

本人自參加工作以來，長期與藏族、傈僳族、普米族等少數(shù)民族交流，這些民族的社會(huì)發(fā)育與先進(jìn)漢族、白族有較大的差異，內(nèi)地現(xiàn)成的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對他們很難實(shí)施教育。依據(jù)本地區(qū)民族學(xué)生的特點(diǎn)，只有長期的摸索和探究，才能逐步找到與高考復(fù)習(xí)相適應(yīng)的等差數(shù)列通項(xiàng)求法的教學(xué)方法，現(xiàn)將教學(xué)過程展示如下。

二、教學(xué)模式的提出

要全面提高教學(xué)質(zhì)量，就必須從根本上改變課內(nèi)灌得多、課后作業(yè)多以及學(xué)生思考時(shí)間少和自主探究少的現(xiàn)狀，就必須對陳腐的教學(xué)課堂教學(xué)方法進(jìn)行徹底改變。為此筆者專門以“問題的提出—自主探究—交流討論—解決問題”為主線，以學(xué)生探究活動(dòng)為主體，以教師啟迪點(diǎn)撥為主線，以培養(yǎng)學(xué)生教學(xué)興趣和能力為中心，大面積提高教學(xué)質(zhì)量為目標(biāo)的課堂復(fù)習(xí)教學(xué)模式。

1.教師提出問題①

同學(xué)們，這節(jié)課我們一起來探究一些數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式求法，首先大家來完成下面的問題：

①已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

②已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

③已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

④已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

學(xué)生通過推算不難得出結(jié)論：

2.教師提出問題②

同學(xué)們在完成了上面問題后，再來完成以下問題：

⑤已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

⑥已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

⑦已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3.學(xué)生自主探究

學(xué)生通過嘗試，除了個(gè)別學(xué)生求出問題⑤答案（大部分學(xué)生采用觀察—?dú)w納—猜想法求解得答案），而對問題⑥與⑦求解感到十分困難。教師提示：以上問題②數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列定義有，由此公式可推得，也就是，即，再加上問題⑤有條件，由此看來問題②與問題⑤是同一個(gè)問題。同學(xué)們以此思路探索一下問題⑥、問題⑦有什么關(guān)系，并把你的探索過程仔細(xì)寫出。

教師提出問題后讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，獨(dú)立思考，自主探索。教師要給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行探究，要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理方法去發(fā)現(xiàn)并解決問題。在這一過程中逐步培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，并且讓學(xué)生感覺到自主發(fā)現(xiàn)問題的樂趣，從而增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

學(xué)生通過探索最后發(fā)現(xiàn)問題⑥和問題⑦其實(shí)與問題③和問題④是同一個(gè)問題，教師給予鼓勵(lì)并讓兩個(gè)同學(xué)上黑板展示探索痕跡。其余同學(xué)對問題的看法進(jìn)行交流討論。

4.學(xué)生交流討論

交流討論使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更有了一種合作的樂趣，讓學(xué)生主體各自說出自己的想法，那么他們就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在哪些方面有所欠缺，從而更加積極主動(dòng)地去思考問題和解決問題。

同學(xué)們通過以上探究發(fā)現(xiàn)，將以上展示的探索痕跡實(shí)行逆推可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求得，但也有同學(xué)表示反對，原因是如此施行逆推，在實(shí)際作業(yè)中由于要求變形能力過大，幾乎無法完成。

教師在肯定學(xué)生探索得到收獲后指出，的確與有的同學(xué)說的那樣就以上展示的探索痕跡施行逆推轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解，在實(shí)際操作中難以做到，下面老師也展示一個(gè)探索痕跡，請欣賞：

5.教師點(diǎn)撥解決問題

從以上老師展示的探索痕跡施行逆推，同學(xué)們應(yīng)該不難解決問題⑤、問題⑥、問題⑦，同學(xué)們一致表示同意。前面展示的同學(xué)探索痕跡實(shí)行逆推為什么就難以在實(shí)際中實(shí)施呢？同學(xué)們一時(shí)無語，教師接著點(diǎn)撥；前面展示的同學(xué)探索痕跡，將已知式子變形時(shí)習(xí)慣于去分母、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，要知道去分母容易而還原為原來的分母難；移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)容易而拆分還原為原來式子兩邊項(xiàng)則難，前面展示的同學(xué)探索痕跡在式子變形過程中部分蘊(yùn)含的“合約”項(xiàng)被拆分了，當(dāng)然對等價(jià)變形前后的兩個(gè)式子認(rèn)識也就模糊了，為探索規(guī)律將等式變形時(shí)應(yīng)該盡可能保持等式中“合約”的項(xiàng)，這一點(diǎn)需要同學(xué)們在平時(shí)學(xué)習(xí)中加以關(guān)注。

求數(shù)列的通項(xiàng)公式教學(xué)是學(xué)生普遍感到疑難的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，本課時(shí)教學(xué)均設(shè)計(jì)了階梯漸進(jìn)式難度提升，問題1與問題2是相關(guān)聯(lián)的配對問題，目的在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律探究解題方法，整節(jié)課不是簡單的教師給出方法、學(xué)生機(jī)械作業(yè)，而是把教學(xué)重點(diǎn)放在探索過程中，重視過程，體驗(yàn)過程，改造過程，創(chuàng)新過程，讓學(xué)生在駕馭過程中提升學(xué)習(xí)能力，并獲得成果。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)必修5》人民教育出版社；

[2]“新課標(biāo)導(dǎo)學(xué)”系列叢書《2015走向高考》中國和平出版社。