例題教學應從“解題”走向“思想”

張海強 孟盛

【摘 要】微積分是繼歐幾里得幾何之后，數(shù)學發(fā)展史中的一個創(chuàng)造，極限思想則是微積分的基礎(chǔ)。從歷史發(fā)展來看，極限思想的建立是一個漸進的過程，因此新課程教科書為幫助學生建立極限思想作了諸多嘗試。從高考對極限思想的考查來看，結(jié)果不盡如人意，因此宜加強習題教學的研究，使習題教學從數(shù)學知識的教學走向數(shù)學思想（方法）的教學，甚至數(shù)學觀念的教學。

【關(guān)鍵詞】極限思想；漸近線；下確界；數(shù)學閱讀；習題教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）28-0039-03

【作者簡介】1.張海強，江蘇省宜興中學（江蘇無錫，214200）教師，高級教師，江蘇省特級教師；2.孟盛，江蘇省宜興中學（江蘇無錫，214200）教師。

極限思想是一種重要的思想方法，是微積分的基礎(chǔ)，是連接初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁。隨著高中對導數(shù)內(nèi)容學習的深入，極限思想不可避免地從幕后走向臺前，以“正統(tǒng)”的姿態(tài)進入了高中教材，極限思想已然成為高中數(shù)學思想方法的重要內(nèi)容。但從2010年和2013年江蘇高考對極限思想的考查來看結(jié)果不盡如人意，學生尚缺乏運用極限思想解決問題的意識和能力，極限思想并沒有在學生的頭腦中“扎根”。本文以2010年和2013年江蘇省數(shù)學高考試題中的壓軸題為例，呈現(xiàn)考生的不嚴密解答，并做出相關(guān)分析，基于此給出對極限思想教學的一點思考。

一、試題與不嚴密解答

四、兩點思考

首先，極限思想的建立是一個漸進的過程。就歷史發(fā)展的角度而言，極限思想的萌芽可以追溯到古代。在古希臘、中國和印度數(shù)學家的著作中，已不乏樸素的極限思想。如《莊子·天下篇》中的名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，劉徽的割圓術(shù)和古希臘的窮竭法等。17世紀英國物理學家牛頓與德國數(shù)學家萊布尼茲以無窮小概念為基礎(chǔ)創(chuàng)立了微積分，極限思想得到了進一步的發(fā)展。到18世紀極限思想得到初步的完善，法國數(shù)學家達朗貝爾等人先后對極限作出了各自的定義。19世紀法國數(shù)學家柯西比較完整地闡述了極限概念及其理論。由認知的歷史發(fā)生原理可知，學生頭腦中極限思想的建立應符合極限思想的歷史發(fā)展過程。

教科書在內(nèi)容的編排上也充分考慮了這一漸進過程，以蘇教版高中教材為例，必修一“閱讀”欄目中“ 的含義”、必修二“問題與建模”欄目中“體積的近似計算”、“閱讀”欄目中的“祖暅原理”以及選修2-1正文中“雙曲線的漸近線的證明”等內(nèi)容均為學生極限思想的建立提供了良好的素材和合理的時機。

因此，筆者以為應切實加強數(shù)學閱讀教學，而且首先從閱讀教科書開始，蘇教版高中教材中設置了“閱讀”“鏈接”“思考”“數(shù)學探究”等欄目，這些欄目的內(nèi)容或有利于學生構(gòu)建完整的知識的結(jié)構(gòu)，或有利于擴展學生的數(shù)學視野、豐富學生的“智力背景”，或有利于參悟某種數(shù)學觀念。

其次，應當改進習題教學，立足于優(yōu)化學生思維。蘇霍姆林斯基說：學生在課堂上的腦力勞動修養(yǎng)乃是教師勞動修養(yǎng)的一面鏡子。以此類推，學生在答卷上的腦力勞動修養(yǎng)何嘗不是教師勞動修養(yǎng)的一面鏡子？

試題1和試題2的不嚴密解答大多選擇“分離參數(shù)法”，這正是平時教學和練習中濫用“分離參數(shù)法”形成的思維定勢。因此，習題教學應著力提升學生分析問題的能力，注重通性通法，淡化技巧。

試題1和試題2的不嚴密解答說明學生對極限思想渾然不知，究其原因是教師在平時教學中缺乏高觀點的指導，缺乏極限思想的滲透，因此，習題教學應從數(shù)學知識的教學走向數(shù)學思想（方法）的教學，甚至數(shù)學觀念的教學。

試題1和試題2的不嚴密解答表現(xiàn)出了“千人一面”的現(xiàn)狀，究其原因是教師滿堂灌的結(jié)果，扼殺了學生的主動性和創(chuàng)造性，學生學會的僅僅是“依樣畫葫蘆”，臣服于教師的權(quán)威，缺乏質(zhì)疑的品質(zhì)。因此，習題教學需要留白，以提供學生“悟”的時間和空間，彰顯個人的特色與風采。

【參考文獻】

[1]華志遠.透視高考熱點，漫話極限思想[J].高中數(shù)學教與學，2014（17）.

[2]張海強，史豪峰.圖像固直觀，推理更精采[J].中學數(shù)學：高中版，2014（01）.