提煉數(shù)學(xué)開放題激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)能力

朱祖旭

摘 要：開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型，它是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)。本文就學(xué)生開放意識的形成、開放問題的構(gòu)建、開放問題的探索等方面談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；開放意識；問題意識

中圖分類號：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）09-320-01

經(jīng)過幾年的教育改革和教材的變更，學(xué)生們在課堂上的接收知識的能力和效率越來越受到重視和關(guān)注。如何將數(shù)學(xué)課堂生機(jī)勃勃，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，需要學(xué)生一定的開放意識。在教材還沒有提供足夠的開放題之前，好的開放題從那里來？我認(rèn)為最現(xiàn)實(shí)的辦法是讓“封閉”題“開放”。

一、開放意識的形成

學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案。因此首先必須改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動的、封閉的意識，為此，我們選擇了數(shù)學(xué)開放題作為一個切入口，開放題的引入，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的開放化和個性化，從發(fā)現(xiàn)問題和解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

關(guān)于開放題目前尚無確切的定論，通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變設(shè)問方式，增強(qiáng)問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對命題賦予新的解釋進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問題。例如2000年理19文20題。

函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)取值范圍問題（既有條件開放又有結(jié)論的開放，條件上，對 ，是選擇 ，還是選擇 ？選擇前者則得 ，以后的道路荊棘叢生，而選擇后者則有 ，以后的道路一片光明；結(jié)論開放體現(xiàn)在結(jié)論分為兩段，一段上可使函數(shù)單調(diào)，另一段上不單調(diào)，且證明不單調(diào)的方法是尋找反例）；

二、開放問題的構(gòu)建

有了開放的意識，加上方法指導(dǎo)，開放才會成為可能。開放問題的構(gòu)建主要從兩個方面進(jìn)行，其一是問題本身的開放而獲得新問題，其二是問題解法的開放而獲得新思路。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開放”的如下框圖模式：

例1：由圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點(diǎn)的軌跡方程。（《高中平面解析幾何》復(fù)習(xí)參考題題）

問題本身開放：先從問題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線段中點(diǎn)”等。然后對這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。

對A而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A（大小或形狀或位置）就可使問題向三個方向延伸。

如改變位置，將A寫成“（x-a）2+（y-b）2=4”，即可得所求的軌跡方程為（x-a）2+（2y-b）2=4；再將其特殊化（取a=0），并進(jìn)行新的組合便有問題：圓x2+（y-b）2=4與橢圓x2+（2y-b）2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由。

簡解：解方程組 得 y=0 或y=2b/3

當(dāng)y=0時，x2+b2=4，（1）若b<-2或 b>2，圓與橢圓沒有公共點(diǎn)；

（2）若b=±2，圓與橢圓恰有一個公共點(diǎn)；

（3）若-2

當(dāng)y=2b/3時，x2+b2/9=4，同理可得解。

上面的解法是從“數(shù)”著手，也可以從“形”著手分析。

再進(jìn)一步延伸，得：當(dāng)b>6時，圓x2+（y-b）2=4上的點(diǎn)到橢圓x2+（2y-b）2=4上的點(diǎn)的最大距離是多少？這個問題的解決是對數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。

對B而言，它是一條特殊的直線，通過對其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問題；而C是一種特殊的線段分點(diǎn)，同樣可以使其推廣到一般，若對由此產(chǎn)生的結(jié)果繼續(xù)研究就會發(fā)現(xiàn)以往的一些會考、高考試題。

三、開放問題的探索

開放的行為給上面三個簡單的問題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識的回歸。開放的過程說白了就是探索的過程。

例2：已知拋物線 ，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A（x1，y1），B（x1，y）兩點(diǎn)，P（x0，y0）是線段AB的中點(diǎn)；拋物線的準(zhǔn)線為l，分別過點(diǎn)A、B、P作x軸的平行線，依次交l于M、N、Q，連接FM、FN、FQ、AQ和BQ（圖略）

（1）試盡可能地找出：點(diǎn)A、B、P的縱、橫6個坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系；

圖中各線段的垂直關(guān)系。

（2）如果允許引輔助線，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？

分析與解：（1）（a）點(diǎn)A、B、P的6個坐標(biāo)x1，y1；x2，y2；x0，y0之間至少有下列等量關(guān)系：

① ；② ；③ ；

④ ；⑤ ；⑥

“所有的畫都是以只有3種原色的方式構(gòu)成的。每當(dāng)我們把某樣?xùn)|西說成是新的的時候，我們真正談?wù)摰氖乾F(xiàn)有元素獨(dú)特的存在方式?！本邆鋵Α胺忾]”題“開放”的意識的學(xué)生，事實(shí)上就有了創(chuàng)造意識，這種意識驅(qū)動下的實(shí)踐自然會使創(chuàng)造力得以發(fā)展；同時，隨著高考命題改革的進(jìn)一步深入，我想這樣的“開放”會在高考中更顯示其生命力。