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    利用輔助圓解決角的大小問(wèn)題

    2016-04-26 10:39:40劉亞萍
    關(guān)鍵詞:圓周角鈍角直徑

    劉亞萍

    【摘 要】 利用輔助圓解決角的大小問(wèn)題在數(shù)學(xué)中是一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題.在遇到具有綜合性以及技巧性且其隱蔽性較強(qiáng)的角的大小問(wèn)題時(shí),若能結(jié)合題目的本質(zhì)特征,進(jìn)而聯(lián)想到圓的相關(guān)知識(shí),并且對(duì)輔助圓進(jìn)行恰當(dāng)構(gòu)造,總可以讓這一些問(wèn)題由難變易,由繁到簡(jiǎn)。利用輔助角有利于對(duì)這類問(wèn)題實(shí)現(xiàn)有針對(duì)性地解決,找到解題捷徑。

    【關(guān)鍵詞】 輔助圓;圓周角;直徑;方程;鈍角

    【中圖分類號(hào)】G633.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089(2016)07-0-01

    縱觀全國(guó)各地中考?jí)狠S題,角的大小問(wèn)題具有舉足輕重的地位。對(duì)于某些綜合性、技巧性、隱蔽性較強(qiáng)的角的大小問(wèn)題,許多學(xué)生往往感到無(wú)處下手。在遇到這些題時(shí),需要對(duì)輔助圓作恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造。而對(duì)輔助圓的構(gòu)造需要聯(lián)想到圓的有關(guān)知識(shí)。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo),需要結(jié)合題目的本質(zhì)特征,進(jìn)而找到解題捷徑。利用輔助圓的構(gòu)造,就可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn),化難為易,下面筆者就以一些具體實(shí)例加以說(shuō)明。

    一、利用圓周角定理

    對(duì)于一些角的大小問(wèn)題,能利用圓周角定理。利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等這個(gè)特點(diǎn),則可以另辟蹊徑。

    例1 (本題為2014·晉江市二模題一,有改動(dòng))已知拋物線y=a(x﹣2)2+1。該拋物線從左到右依次與x軸交于A、B兩點(diǎn),并與y相交于點(diǎn)C。(如圖1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),連接AC、BC。

    (1)求此拋物線的解析式;

    (2)若P為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m。

    求:在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠APB能否與∠ACB相等?

    如果能,那么請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)解釋說(shuō)明。

    分析與簡(jiǎn)解:定線段與動(dòng)點(diǎn)的張角問(wèn)題可考慮添加輔助圓,利用同弧所對(duì)的圓周角相等??梢韵仍O(shè)直線x=2與x軸相交于點(diǎn)D。然后作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P1。再做P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P2,那么P1、P2就是所需求的點(diǎn)。在Rt△ADE中,由勾股定理得EA的長(zhǎng),可得P1(2,﹣2﹣)。由對(duì)稱性得P2(2,2+)。

    (1)拋物線的解析式為:y=﹣(x﹣2)2+1=﹣x2+4x﹣3;

    (2)如圖2,設(shè)直線x=2與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D,作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P1,P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2,則P1、P2均為所求的點(diǎn)。

    ∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線x=2上。

    ∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2。

    又∵OB=OC=3,

    ∴E(2,﹣2)。

    在Rt△ADE中,由DE=2,

    則AD=AB=(OB﹣OA)=(3﹣1)=1

    由勾股定理得EA===,

    ∴EP1=EA=,

    ∴DP1=DE+EP1=2+,

    ∴P1(2,﹣2﹣)。

    由對(duì)稱性得P2(2,2+)。

    ∴可得結(jié)論:符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為:P1(2,﹣2﹣)、P2(2,2+)。

    二、利用圓心角、圓周角、圓外角的關(guān)系

    解題時(shí)若能另辟蹊徑應(yīng)用圓心角、圓周角、圓外角的關(guān)系,常常能夠化繁為簡(jiǎn),達(dá)到快速解題的目的。

    例2 (2014·淄博改動(dòng))在直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,0),(5,0)。問(wèn):當(dāng)點(diǎn)P沿y坐標(biāo)軸移動(dòng)時(shí),∠APB是否有最大值?如果有,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。同時(shí),請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明沒(méi)有的理由。

    理由:易證:∠APB=∠AEH,當(dāng)∠APB最大時(shí),∠AEH最大。由sin∠AEH=得:當(dāng)AE最小即PE最小時(shí),∠AEH最大。所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí),∠APB最大。

    ①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí),

    ∵⊙E和y軸相切于點(diǎn)P上,

    ∴PE⊥OP。

    ∵EH⊥AB,OP⊥OH,

    ∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°。

    ∴四邊形OPEH是矩形。

    ∴OP=EH,PE=OH=3。 ∴EA=3。

    ∵∠EHA=90°,AH=2,EA=3,∴EH===

    ∴OP=∴P(0,)。

    ②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí),

    同理可得:P(0,﹣)。

    連接NA(如圖3)。

    ∵∠ANB是△AMN的外角

    ∴∠ANB>∠AMB

    ∵∠APB=∠ANB,∴∠APB>∠AMB。

    若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上,

    可得結(jié)論:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)和(0,﹣)。

    三、利用圓90的圓周角

    由圓周角定理的推論知:90的圓周角所對(duì)的弦是直徑,從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與直角三角形的外接圓相關(guān)問(wèn)題求解。

    例3 (本題來(lái)自2014·南寧,有改動(dòng))如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與直線y=kx+1交于兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè),同時(shí)和x軸相交于兩點(diǎn)C、D(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否只存在一點(diǎn)Q,可以使∠OQC=90°?如果存在,那么請(qǐng)求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    解:由,得C、D(1,0)。

    設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,km+1)。

    如圖5,作QM⊥y軸于Q,作CN⊥QM于N。

    當(dāng)∠OQC=90°時(shí),△QMO∽△CNQ。

    所以。因此。

    整理成關(guān)于m的方程,得。

    如果只存在一點(diǎn)Q,可以使∠OQC=90°,那么關(guān)于m的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

    所以。解得。

    四、利用圓的有關(guān)角的一些特殊關(guān)系

    由圓周角定理推論可知,直徑(或半圓)所對(duì)應(yīng)的圓周角是直角。同時(shí),直徑的兩個(gè)端點(diǎn)和圓內(nèi)任意一點(diǎn)所圍成的三角形是鈍角三角形,這一結(jié)論往往對(duì)解決有關(guān)角的大小問(wèn)題具有很好的效果。

    例4 (2014·廣州,經(jīng)改動(dòng))已知A(﹣1,0)與B(4,0)是平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)定點(diǎn)。有拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0),點(diǎn)P(m,n)(n<0)為拋物線上一點(diǎn)。拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與B,其頂點(diǎn)為C。

    (1)請(qǐng)求出該頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式

    (2)求當(dāng)m的取值范圍為多少時(shí),∠APB為鈍角。

    解:(1)拋物線的解析式為:y=x2﹣x﹣2;C(,﹣).

    (2)如圖6,以AB為直徑作圓M,則拋物線在圓內(nèi)的部分,

    ∵P′是拋物線與y軸的交點(diǎn),∴OP′=2,

    ∴MP′==,∴P′在⊙M上,∴P′的對(duì)稱點(diǎn)(3,﹣2),

    ∴當(dāng)﹣1

    幾何命題證明的魅力就在于其獨(dú)特靈活的技巧以及多樣的策略。而選擇利用輔助圓解決角的大小問(wèn)題更使幾何證明題有著別樣的趣味,獨(dú)特的方法使人深受啟發(fā)。若能合理地運(yùn)用構(gòu)造輔助圓解決角的大小問(wèn)題,不但可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)明,而且對(duì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系、提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力大有裨益。

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