磁場引發(fā)石墨烯從金屬態(tài)到絕緣態(tài)的相變

羅運(yùn)文，李秀燕

閩南師范大學(xué)物理與電子信息工程系，福建漳州 363000

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磁場引發(fā)石墨烯從金屬態(tài)到絕緣態(tài)的相變

羅運(yùn)文，李秀燕

閩南師范大學(xué)物理與電子信息工程系，福建漳州 363000

摘要：基于哈伯德模型，用微擾法計(jì)算磁場中石墨烯從金屬態(tài)到絕緣態(tài)相變的臨界值．研究發(fā)現(xiàn)，加入強(qiáng)磁場后，由于發(fā)生了量子霍爾效應(yīng)，石墨烯的電子態(tài)和空穴態(tài)在零能級(jí)發(fā)生簡并，因此零能級(jí)只能容納1個(gè)電子，另一電子只能占據(jù)更高的朗道能級(jí)，這相當(dāng)于增加了電子之間的相互作用能．磁場增大了電子之間的相互作用能，引起石墨烯從金屬態(tài)向絕緣態(tài)的相變．

關(guān)鍵詞：凝聚態(tài)物理學(xué)；石墨烯；哈伯德模型；量子霍爾效應(yīng)；微擾法；金屬-絕緣態(tài)相變

超流態(tài)(金屬態(tài))到絕緣態(tài)相變是物理中常見的現(xiàn)象，半導(dǎo)體中電子處于周期性勢阱中，由于量子隧穿效應(yīng)，價(jià)電子處于金屬態(tài)，可以自由穿行于整個(gè)晶體中，加上電場后，電子會(huì)約束在實(shí)空間中，發(fā)生布拉格振蕩，這是一種從金屬態(tài)到絕緣態(tài)的相變．光晶格中的冷原子(玻色愛因斯坦凝聚粒子)，通過調(diào)節(jié)勢阱的深度，能夠引發(fā)從超流態(tài)到莫特絕緣態(tài)的量子相變[1-4]．通過改變兩束激光的相對(duì)頻率還可以讓處于光晶格中的原子相對(duì)于光晶格受到一個(gè)常力，由此模擬電子在晶體中受到的電場力而產(chǎn)生布拉格振蕩[5-6]．石墨烯性能獨(dú)特，具有六邊形單層碳原子結(jié)構(gòu)，是一種理想的二維體系. 它的元激發(fā)粒子是一種無質(zhì)量的費(fèi)米子，可以用狄拉克方程描述，在強(qiáng)磁場中，會(huì)形成分立的朗道能級(jí)[7-9]．石墨烯中的電子處于周期性的勢阱中，由于勢阱較淺，電子不受束縛，因此石墨烯有良好的導(dǎo)電性，呈現(xiàn)出金屬性． Gorbar等[10-11]計(jì)算了石墨烯的能譜，結(jié)果表明，加入磁場后，導(dǎo)帶與價(jià)帶之間會(huì)出現(xiàn)能隙，因此導(dǎo)致了石墨烯從金屬態(tài)到絕緣態(tài)的相變，這一現(xiàn)象已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)[12]．從相變的角度來看，是因?yàn)榇艌鲈黾恿穗娮又g的相互作用能而引起相變．本研究用微擾方法[13]計(jì)算了磁場中石墨烯的相變臨界值并給出相變曲線，發(fā)現(xiàn)磁場增加了復(fù)合玻色子(電子加磁通量子)之間的相互作用能，從而引發(fā)石墨烯從超流態(tài)(金屬態(tài))向絕緣態(tài)的相變．

1從超流態(tài)到絕緣態(tài)的相變

周期性勢阱中的電子處于金屬態(tài)還是絕緣態(tài)，是由相鄰勢阱間躍遷能J和同一勢阱中的相互作用能U共同決定的.如果躍遷能大而相互作用能小，電子就可自由穿行于整個(gè)空間，處于金屬態(tài)；反之，電子會(huì)被束縛在勢阱中而處于絕緣態(tài)．未加入磁場時(shí)，石墨烯中的價(jià)電子處于周期性的勢阱中，處于同一勢阱中的零能級(jí)可以容納自旋相反的兩個(gè)電子，因此這時(shí)電子的相互作用能U較小，由于勢阱較淺，躍遷能J很大，所以價(jià)電子不受束縛處于金屬性態(tài)(超流態(tài))，呈現(xiàn)出良好的導(dǎo)電性．加入強(qiáng)磁場后，體系發(fā)生了反常量子霍爾效應(yīng)[14]，由于石墨烯特有的性質(zhì)，電子態(tài)和空穴態(tài)在零能級(jí)簡并，因此零能級(jí)只能容納1個(gè)電子，另外1個(gè)電子只能占據(jù)更高的能級(jí)，這相當(dāng)于增加了電子之間的相互作用能U. 量子霍爾效應(yīng)使電子和磁通量子構(gòu)成了復(fù)合的玻色子，發(fā)生了凝聚[15]，因此可以用哈伯德模型(Hubbard model)描述．為了簡單起見，本研究中復(fù)合玻色子(電子+磁通量子)被稱為粒子．忽略各個(gè)勢阱中單個(gè)粒子的能量εi， 哈密頓量[16]為

K^= -J∑^a+i^aj-μ∑i^ni+

(1)

圖1為微擾過程中，勢阱中電子分布的初態(tài)和末態(tài)示意圖(B表示磁場)．

圖1　石墨烯初態(tài)和末態(tài)示意圖Fig.1　Schematic diagram of electron initial state and finial state in graphene

(2)

(3)

其中,

(4)

這里， Kσ為第i個(gè)勢阱中粒子數(shù)為σ的能量； z為與第i個(gè)勢阱相鄰的勢阱數(shù)，如一維勢阱為2，石墨烯系統(tǒng)為3．

將式(4)代入式(3)，可得

(5)

另外，從系統(tǒng)來看，躍遷1個(gè)粒子引起的能量改變?yōu)?/p>

ΔE=-J

(6)

則由式(5)和式(6)可得

(7)

下面計(jì)算從超流態(tài)到絕緣態(tài)的臨界值．設(shè)

(8)

則函數(shù)f (μ)的極值可從式(8)得到

(9)

由式(9)可得

(10)

將式(10)代入式(8)，可得

(11)

由式(7)和式(11)可得

(12)

由σ=1和z=3可得到石墨烯的相變臨界值為

(13)

在式(13)中代入石墨烯格點(diǎn)間躍遷常數(shù)J=2.5 eV，可得臨界相互作用能為U=43.7 eV. 未加磁場時(shí)，兩個(gè)電子處于同一勢阱中，設(shè)勢阱的寬度為玻爾半徑a0， 相互作用能為電勢能U=ke2/a0， 代入?yún)?shù)e=1.6×10-19C, a0=5.3×10-11m， k=9×109N·m2/C2，得到U0≈28 eV,小于臨界值，電子處于超流態(tài)；加入磁場后，發(fā)生了量子霍爾效應(yīng)，每個(gè)電子束縛1個(gè)磁通量子而形成1個(gè)復(fù)合玻色子，由于復(fù)合玻色子帶電，靜電相互作用能仍然存在，但磁場提高了1個(gè)粒子的能級(jí)，與此同時(shí)，復(fù)合玻色子還存在交換能，這就增大了粒子之間的相互作用能，當(dāng)相互作用能大于臨界值時(shí)，就引發(fā)石墨烯從超流態(tài)到絕緣態(tài)的相變.

由式(7)可得到相變曲線，圖(2)為σ=1時(shí)磁場中石墨烯的相圖．其中，由“·”構(gòu)成的是相變曲線．該相圖分成兩個(gè)區(qū)域，區(qū)域Ⅰ是絕緣區(qū)，區(qū)域Ⅱ?yàn)槌鲄^(qū)．

圖2　磁場中的石墨烯相圖Fig.2　Phase diagram of graphene in magnetic filed

在圖2中，y軸μ/U為勢阱深度，當(dāng)μ/U=0(坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，勢阱深度為0，粒子不受約束(因?yàn)槔硐胱杂闪Ｗ釉诹銣叵禄瘜W(xué)勢為0)， J無論為何值均處于超流態(tài)(區(qū)域Ⅱ)；當(dāng)μ/U變大時(shí)，勢阱深度增大．勢阱深度的增大有兩種影響：一方面抑制了粒子的隧穿能力；另一方面，當(dāng)勢阱深度增大時(shí)波函數(shù)會(huì)收窄，由于測不準(zhǔn)原理，粒子動(dòng)能會(huì)增大，這會(huì)反過來增加粒子的隧穿能力． μ/U由0開始增加時(shí)，第1種影響占主導(dǎo)地位，保持超流態(tài)就需要J/U增大，所以開始時(shí)J/U隨μ/U的增大而增大；達(dá)到極大值后，第2種影響占主導(dǎo)地位，所以保持超流態(tài)需要的J/U反而減?。?dāng)μ/U=1時(shí)， J/U=0． 但μ/U不能大于1， 因?yàn)榘茨Ｐ偷募俣?，?dāng)平均粒子數(shù)為1時(shí)，一個(gè)勢阱中最多有兩個(gè)粒子，所以相互作用能最大為U． 從式(7)可知(σ=1)， 當(dāng)μ/U>1時(shí)，得到J/U<0為負(fù)值，此時(shí)無物理意義．

哈伯德模型應(yīng)用到光晶格中的玻色凝聚粒子從超流態(tài)到絕緣態(tài)相變問題上取得極大的成功， U/J臨界值的理論值約為35，實(shí)驗(yàn)值約為36，理論值與實(shí)驗(yàn)值吻合較好[4].以上理論是用平均場的方法推導(dǎo)出來的，本研究運(yùn)用微擾法重現(xiàn)了上述結(jié)果并把它用于石墨烯體系．哈伯德模型討論了0 K溫度條件下，由于躍遷能和相互作用能的改變而引起的相變，并未考慮溫度的影響．本研究把電子能夠在周期性勢阱中自由穿行的態(tài)定義為金屬態(tài)，把電子約束在勢阱中的狀態(tài)定義為絕緣態(tài)，溫度升高會(huì)增加電子的動(dòng)能，使電子更難約束在勢阱中，因此電子處于絕緣態(tài)的幾率減?。畯南鄨D上可見，絕緣態(tài)所包含的面積(區(qū)域Ⅰ)減小，因此會(huì)減小相變臨界值．

結(jié)語

用微擾法計(jì)算磁場中的石墨烯相變臨界值，研究發(fā)現(xiàn)，在磁場中，因?yàn)榱孔踊魻栃?yīng)，石墨烯中的電子和磁通量子構(gòu)成了復(fù)合的玻色子，產(chǎn)生凝聚．由于石墨烯特有的能級(jí)特性，零能級(jí)只能容納1個(gè)電子，因此磁場增加了同一勢阱中電子的相互作用能，從而引起石墨烯從金屬態(tài)向絕緣態(tài)相變．

引文：羅運(yùn)文,李秀燕．磁場引發(fā)石墨烯從金屬態(tài)到絕緣態(tài)的相變[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2016，33(2)：143-146.

參考文獻(xiàn)/ References：

[1] Jaksch D, Bruder C, Cirac J I, et al. Cold Bosonic atoms in optical lattices[J]. Physical Review Letters, 1998, 81(15): 3108-3111.

[2] Bloch I, Dalibard J, Zwerger W. Many-body physics with ultracold gases[J]. Reviews of Modern Physics, 2008, 80(3): 885-964.

[3] Niu Qian, Zhao Xiangeng, Georgakis G A, et al. Atomic Landau-Zener tunneling and Wannier-Stark ladders in optical potentials[J]. Physical Review Letters, 1996, 76(24): 4504-4507.

[4] Markus G, Olaf M, Tilman E, et al. Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms[J]. Nature, 2002, 415(6867): 39-44.

[5] Morsch O, Müller J H, Cristiani M, et al. Bloch oscillations and mean-field effects of Bose-Einstein condensates in 1D optical lattices[J]. Physical Review Letters, 2001, 87(14): 140402-140405.

[6] Dahan M B, Peik E, Reichel J, et al. Bloch oscillations of atoms in an optical potential[J]. Physical Review Letters, 1996, 76(24): 4508-4511

[7] Wallace P R. The band theory of graphite[J]. Physical Review, 1947, 71(9): 622-634.

[8] Neto A H C,Guinea F,Peres N M R,et al.The electronic properties of grapheme[J]. Reviews of Modern Physics, 2009, 81(1):109-162.

[9] Novoselov K S, Geim A K, Morozov S V, et al. Two-dimensional gas of massless Firac fermions in graphene[J]. Nature, 2005, 438(7065): 197-200.

[10] Gorbar E V, Gusynin V P, Miransky V A, et al. Magnetic field driven metal-insulator phase transition in planar systems[J]. Physical Review B, 2002, 66(4): 045108.

[11] Khveshchenko D V. Magnetic-field induced insulating behavior in highly oriented pyrolitic graphite[J]. Physical Review Letters, 2001, 87(20): 206401 .

[12] Kopelevich Y, Torres J H S, da Silva R R. Reentrant metallic behavior of graphite in the quantum limit[J]. Physical Review Letters, 2002, 90(15): 156402.

[13] 羅運(yùn)文．用微擾方法來推導(dǎo)從絕緣態(tài)到超流態(tài)的臨界值[J]．量子光學(xué)學(xué)報(bào)，2014，20(1)：65-67．

Luo Yunwen. Deduce the critical value for superfluid-to-insulator transition by using perturbation method[J]. Acta Sinica Quantum Optica, 2014, 20(1): 65-67.(in Chinese)

[14] 喬振華，任亞飛．石墨烯中量子反?；魻栃?yīng)研究進(jìn)展[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2014，31(6)：551-560．

Qiao Zhenhua, Ren Yafei. Recent progress on quantum anomalous Hall effect in graphene[J].Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016,33(2): 551-560.(in Chinese)

[15] Ezawa Z F. Quantum hall effects: field theoretical approach and related topics[M].2nd ed. Beijing: Peking University Press, 2012.

[16] Pethick C J, Smith H, Bose-Einstein condensation in dilute gases[M]. 2nd ed. London: Cambridge University Press, 2008: 433-434.

【中文責(zé)編：英子；英文責(zé)編：木南】

Magnetic field induced metal-insulator phase transition in graphene

Luo Yunwen?and Li Xiuyan

Department of Physics and Electronic Information Engineering, Minnan Normal University,Zhangzhou 363000, Fujian Province, P.R.China

Abstract：We calculate the critical value of condensed composite particles in graphene for metal-insulator phase transition in a magnetic field by using perturbation method based on the Hubbard model. We find that since the quantum Hall effect (QHE) occurs in high magnetic fields, the electron state and the hole state of graphene degenerate at zero energy level. Thus the lowest Landau level could only accommodate one electron and the other electron has to go to a higher Landau level. This is equivalent to increasing the interaction energy between electrons. The interaction energy increases due to the magnetic field, which induces the metal-insulator phase transition in graphene.

Key words：condensated matter physics; graphene; Hubbard model; quantum Hall effect; perturbation method; metal-insulator transition

作者簡介：羅運(yùn)文(1974—)，男，閩南師范大學(xué)副教授．研究方向：凝聚態(tài)物理．E-mail: yunwenluo@163.com

基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012D143)

中圖分類號(hào)：O 469

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3724/SP.J.1249.2016.02143

Received：2015-12-11；Accepted：2016-01-31

Foundation：Natural Science Foundation of Fujian Province (2012D143)

? Corresponding author：Associate professor Luo Yunwen．E-mail: yunwenluo@163.com

Citation：Luo Yunwen, Li Xiuyan. Magnetic field induced metal-insulator phase transition in graphene[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016, 33(2): 143-146.(in Chinese)

【物理 / Physics】