基于加權(quán)雙層Bregman及圖結(jié)構(gòu)正則化的磁共振成像

張明輝，肖　凱，盧紅陽，徐曉玲

南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，江西南昌330031

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基于加權(quán)雙層Bregman及圖結(jié)構(gòu)正則化的磁共振成像

張明輝，肖凱，盧紅陽，徐曉玲

南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，江西南昌330031

摘要：針對磁共振圖像(magnetic resonance imaging, MRI)重建質(zhì)量的問題，提出一種基于加權(quán)雙層Bregman字典學(xué)習(xí)方法和圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示的新算法．該算法中，迭代重加權(quán)最小l1和圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示模型是被合并到雙層Bregman字典學(xué)習(xí)方法中．加權(quán)雙層Breman的字典學(xué)習(xí)方法在外層迭代中增強(qiáng)K空間抽樣數(shù)據(jù)的約束性，在內(nèi)層迭代中解決Lp的優(yōu)化．而圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示方法具備捕獲圖像結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)的能力，所以從較高的欠采樣數(shù)據(jù)中能完成精確重建．此外，在內(nèi)層迭代中，重加權(quán)最小l1和圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示使算法能快速地趨于收斂．實驗結(jié)果表明，所提出的算法可有效恢復(fù)MRI圖像，其峰值信噪比和高頻錯誤的值都優(yōu)于基于壓縮感知的字典學(xué)習(xí)方法和基于雙層Bregman的自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)方法．

關(guān)鍵詞：圖像處理；磁共振成像；壓縮感知；圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示；字典學(xué)習(xí)；加權(quán)雙層伯格曼迭代；交替方向法

在醫(yī)學(xué)研究和臨床診斷方面，磁共振成像(magnetic resonance imaging, MRI)做出了巨大貢獻(xiàn)，并在該領(lǐng)域扮演著重要角色．然而，盡管MRI技術(shù)對人體非侵入和非電離，而且能夠提供無與倫比的高質(zhì)量成像，但其緩慢的掃描時間，會導(dǎo)致病人產(chǎn)生不舒適感[1]，大幅增加成像過程中產(chǎn)生偽影的機(jī)會，從而降低了成像質(zhì)量．所以，如何在減少掃描時間的同時又能獲取高分辨率的重構(gòu)是研究人員致力于MRI醫(yī)學(xué)研究的重大課題．

近年，壓縮感知(compressed sensing)因具稀疏正則化特征，且能遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率進(jìn)行抽樣[2]在信號處理領(lǐng)域備受關(guān)注．壓縮感知在磁共振上的應(yīng)用(簡稱CS-MRI[3-8])，能夠減少掃描的時間，并保證重建效果高效．目前，基于壓縮感知理論的基礎(chǔ)，人們提出了很多算法，例如，小波閾值方法[5]和全變差(total variation, TV)方法[8-10]等，這些傳統(tǒng)的方法通過使用預(yù)先重建好的字典進(jìn)行重構(gòu)[1，12-15]，導(dǎo)致重構(gòu)后的圖像具有一些缺陷．其中，TV模型的分段式圖像重構(gòu)，不能獲取圖像的細(xì)節(jié)信息，所以在臨床診斷中難以適用；而小波閾值方法在重建圖像時會出現(xiàn)偽跡．Ravishankar等[16]提出基于壓縮感知的字典學(xué)習(xí)(dictionary learning for compressed sensing, DLMRI)方法，該方法使每個圖像塊都能稀疏表示，可分為兩步實現(xiàn)：① 設(shè)計自適應(yīng)的學(xué)習(xí)字典；② 通過高欠采樣K空間數(shù)據(jù)[18]來重建圖像．這種基于圖像塊稀疏表示模型的方法[17-18]在現(xiàn)階段應(yīng)用甚廣．Liu等[17]提出基于雙層Bregman的自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)(two-level Bregman method with dictionary updating, TBMDU)方法，該方法在外層迭代中用于數(shù)據(jù)的約束，而在內(nèi)層致力于字典更新和圖像塊的稀疏表示，從而對磁共振成像能夠?qū)崿F(xiàn)更好的重建，效果較之前所提出的字典學(xué)習(xí)方法更佳．Candès等[19]提出一種迭代的加權(quán)1范數(shù)的優(yōu)化算法，該算法能夠線性優(yōu)化全變差的懲罰，它比1范數(shù)在迭代過程中要表現(xiàn)的更優(yōu)秀．Zheng等[20]在圖像表示方面，提出圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示，能很好地捕獲數(shù)據(jù)局部的多樣化結(jié)構(gòu)．

本研究基于TBMDU模型和迭代的加權(quán)1范數(shù)以及圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示的理論，構(gòu)造基于加權(quán)雙層Bregman方法及圖結(jié)構(gòu)正則化的磁共振成像重建(weighted two-level Bregman method with graph regularized for MRI reconstruction, WTBMGR)方法．在該算法中，加權(quán)雙層伯格曼的應(yīng)用能夠很好地減輕TV算法中出現(xiàn)的問題，也能減少計算量．而融入圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示后，對于圖像重建質(zhì)量和計算效率方面都有了很大的提高．

1理論研究

1.1TBMDU算法

Liu等[17]提出的TBMDU算法對磁共振圖像的重建分為內(nèi)外兩層，外層用于加強(qiáng)K空間數(shù)據(jù)的約束，而內(nèi)層致力于字典更新和圖像塊的稀疏表示．該方法對圖像重建的質(zhì)量及速度都有明顯提升．

Bregman迭代的兩個重要的字典更新步驟為

(1)

其中， k為迭代次數(shù)； u為N像元的2維復(fù)合圖像, u∈N，為像素集合； J(u)為稀疏模型； μ是權(quán)重系數(shù), μ>0； Fp為部分傅里葉編碼矩陣， Fp∈N×Q， Fpu=f； f為Q維的欠采樣的傅立葉測量值．

在TBMDU方法中，以稀疏模型

作為正則項，將其代入式(1)可得

uk+1= argminuminD,S∑lαl1+λ2Dαl-Rlu22?è???÷+μ2Fpu-fk22?è???÷fk+1=fk+f-Fpuk+1{

(2)其中， D=[d1, d2, …, dJ]∈M×J為學(xué)習(xí)的字典矩陣， M為圖像塊的個數(shù)， J=KM， K表示過完備字典的度； S=[α1, α2, …, αL]∈J×L， 表示理想中的稀疏系數(shù)矩陣， L為稀疏系數(shù)的個數(shù)；Rlu為的圖像塊，每個圖像塊都能用字典D來稀疏表示．

此外，在字典更新過程中，系數(shù)λ用于平衡圖像塊的稀疏程度和其發(fā)生過程中所產(chǎn)生的誤差，該系數(shù)具有很好的魯棒性．

1.2圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示的方法

(3)

簡單來說，圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示的目標(biāo)函數(shù)是由3部分組成：經(jīng)驗缺失項、拉格朗日正則項和基于1范數(shù)的稀疏懲罰項，即

(4)

其中， λ為數(shù)據(jù)一致性程度的相關(guān)性參數(shù)； θ為圖結(jié)構(gòu)正則化系數(shù)； X為數(shù)據(jù)項；下標(biāo)F表示傅里葉編碼矩陣．

2WTBMGR方法

根據(jù)前面的先驗知識，提出基于加權(quán)Bregman方法以及圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示的磁共振成像重建(WTBMGR)算法．該算法模型能夠有效地解決接近p范數(shù)懲罰模型，在系數(shù)矩陣環(huán)節(jié)，有更好的稀疏作用，使其更稀疏．此外，也能很好地解決混疊效應(yīng)，從而更好地重建圖像．其目標(biāo)函數(shù)為

uk+1= argminuminD,S∑l1pαlp+λ2Dαl-Rlu22+θtr(SNST)?è???÷+μ2Fpu-fk22?è???÷fk+1=fk+f-Fpuk+1{

(5)

其中，正則項為

J(u)=

這里， p的取值范圍為0

在字典更新環(huán)節(jié)，利用加權(quán)雙層Bregman方法解式(5)，然后把一個約束式子轉(zhuǎn)變成不受約束的式子

(6)

其中，Al為輔助變量，把不受約束的式子轉(zhuǎn)換成受約束的式子．

通過解一系列的子問題，得到字典更新規(guī)則

Dn+1=Dn+ξYn+1(Sn+1)T

(7)

以及

yn+1l=ynl+β(Rlu-Dn+1αn+1l-An+1l)

(8)

其中， Dn為外層迭代中更新的字典， n表示在外層字典更新中的迭代次數(shù)； ξ與β為外層迭代中的拉格朗日系數(shù)； yl為Y的元素， yl為外層迭代中的中間量，用來表示D與 Al的關(guān)系．

在稀疏表示步驟，通過先驗知識[17，20]，能得到更新的系數(shù)為

α

n,m+1l= argminuDnαl-Rlu-ynlβ22+

θNiiαTlαl+αTlhi+

(9)

其中， αl為稀疏系數(shù)， m表示內(nèi)層迭代的次數(shù)； Nii為位置點i=j處的值； hi=2∑j≠iNijbj； αj,l為位置j處的稀疏系數(shù)．

利用門限法，通過求解式(9)得到稀疏系數(shù)的矩陣αl．

α

n,m+1l= argminαlγαl-αn,ml+-2θNiiαml-hml+(Dk)Tym+1l2γé?êêù?úú22+2λ+βλβWn,mlαl1?è???÷=

(10)

在每次內(nèi)層迭代過程中，通過消除變量D、 S和 A來更新 u．

u

k+1= argminu∑jμ2Fpu-fk22+

(11)

用最小二乘法求解 u， 計算公式為

(12)

(13)

其中， kx和ky為K空間中相應(yīng)的坐標(biāo)點； ω為重疊塊在對應(yīng)像素的重復(fù)次數(shù)； Iv為單位矩陣．

于是可得

Fu(kx,ky)=

(14)

其中， Ω為已采樣數(shù)據(jù)的子集； Fu表示更新的K空間數(shù)據(jù)值．

3實驗數(shù)據(jù)分析與處理

在不同采樣因子和不同采樣軌跡的條件下，用所得到的實驗數(shù)據(jù)來評估本研究提出的算法．在相同的環(huán)境條件下，用方法WTBMGR和TBMDU、DLMRI作比較．其中，采樣軌跡包括二維隨機(jī)采樣[6]、笛卡爾采樣[1，16]和偽徑向采樣[6，16]．圖像大小為512×512，設(shè)置圖像塊M=6， 過完備字典K=1， 塊重疊r=1， 數(shù)據(jù)樣本大小L=267 289， 字典大小J=36． 設(shè)ε的初值為5，每次迭代過后，在原基礎(chǔ)上減少2%．此外，通過峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio, PSNR)和高頻錯誤(high-frequency error norm, HFEN)來量化圖像重建的質(zhì)量．

圖1中，在比較相同采樣軌跡(二維隨機(jī)采樣)條件下，改變采樣因子(2.5、4.0、6.0、8.0、10.0和20.0)時，DLMRI、TBMDU和WTBMGR的峰值信噪比PSNR和高頻錯誤HFEN．其中，圖1(a)為輸入圖像；圖1(b)和圖1(c)分別是其對應(yīng)的PSNR和HFEN變化曲線圖；圖1(d)至圖1(f)依次是上述方法在采樣因子為8時的重建圖像；圖1(g)至圖1(i)則依次為3種方法的重建誤差圖．由圖1可見，WTBMGR算法在成像質(zhì)量及重建誤差方面明顯好于DLMRI和TBMDU；通過對比PSNR和HFEN，WTBMGR算法在不同的采樣因子下，其PSNR值高于另外兩種方法，HFEN值則更低．

圖1　在相同二維隨機(jī)采樣軌跡和不同采樣因子下的結(jié)果Fig.1　Reconstruction results under the same 2D random sampling and different undersampling factors

圖2中，在相同的采樣因子(=7.14)和相同的采樣軌跡(二維隨機(jī)采樣)下，添加混合高斯白噪聲(標(biāo)準(zhǔn)方差分別為2.0、5.0、8.0、10.0和14.2)時，采用DLMRI、TBMDU和WTBMGR算法的重構(gòu)圖像和對應(yīng)的誤差圖．其中，圖2(a)為輸入圖像；圖2(b)為采樣因子為7.14時的二維隨機(jī)采樣軌跡圖；圖2(c)為3種方法的PSNR值曲線圖，由圖可見，采用WTBMGR方法重構(gòu)圖像的PSNR值要高于另外2種方法；圖2(d)至圖2(f)依次為3種方法在標(biāo)準(zhǔn)方差為8時的成像結(jié)果；圖2(g)至圖2(i)依次為3種方法對應(yīng)的誤差圖．

圖2　在相同采樣因子7.14和相同二維隨機(jī)采樣軌跡下，添加混合高斯白噪聲的結(jié)果Fig.2　Reconstruction results for the same 7.14-fold undersampling and 2D random sampling under different levels of complex white Gaussian noise added

圖3　在相同采樣因子7.14和不同采樣軌跡下的成像結(jié)果Fig.3　Reconstruction results under the 7.14-fold undersampling and different sampling trajectories

圖3　在相同采樣因子7.14和不同采樣軌跡下的成像結(jié)果Fig.3　Reconstruction results under the 7.14-fold undersampling and different sampling trajectories

圖3中，在相同的采樣因子下，改變采樣軌跡，比較DLMRI、TBMDU和WTBMGR的成像情況．圖3(a)是輸入圖像，圖3(b)和圖3(c)分別為在采樣因子=7.14下的笛卡爾采樣和偽徑向采樣．圖3 (d) 、圖3 (e) 和圖3 (f)分別為3種方法在偽徑向采樣下的成像結(jié)果，圖3(g)、 圖3(h)和圖3(i)分別為其誤差圖．表1為3種方法在采樣因子為7.14和不同采樣軌跡下的PSNR值比較．

表1　在相同采樣因子7.14和不同采樣

圖4　在相同采樣因子為5和笛卡爾采樣軌跡下的復(fù)數(shù)實驗Fig.4　The complex-valued data under the same 5-fold undersampling and the same Cartesian sampling trajectory

在圖4中，呈現(xiàn)了一個復(fù)數(shù)實驗，用來評估磁共振成像系統(tǒng)的分辨率．在相同的采樣因子(采樣因子=5)和相同的采樣軌跡(笛卡爾采樣)下，通過對比DLMRI和TBMDU算法，來證明算法WTBMGR的優(yōu)勢．通過實驗可得，DLMRI和TBMDU的峰值信噪比分別為18.50和21.37 dB，而WTBMGR的峰值信噪比為22.89 dB．同樣，WTBMGR在成像質(zhì)量方面也要明顯好于另外2種方法．圖4(a)是輸入圖像，圖4(b)、 圖4(c)和圖4(d)分別為DLMRI、TBMDU和WTBMGR算法的成像結(jié)果，圖4(e)為圖4(a)至圖4(d)各自的部分放大圖．截取的部分圖像，橫坐標(biāo)是370至480像素處，對應(yīng)的縱坐標(biāo)為150至260像素處.

結(jié)語

本研究提出基于加權(quán)Bregman方法以及圖結(jié)構(gòu)正則化稀疏表示的磁共振成像重建算法．該算法能很好的增強(qiáng)K空間數(shù)據(jù)的約束性，有著高效的字典更新，能自適應(yīng)地增強(qiáng)和捕獲圖像局部結(jié)構(gòu)特征，實現(xiàn)完成更優(yōu)質(zhì)的磁共振圖像重建．實驗證明，該算法在圖像重建質(zhì)量和數(shù)值比較上都明顯優(yōu)于DLMRI和TBMDU算法．

引文：張明輝，肖凱，盧紅陽，等．基于加權(quán)雙層Bregman及圖結(jié)構(gòu)正則化的磁共振成像[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報理工版，2016，33(2)：119-126.

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【中文責(zé)編：英子；英文責(zé)編：雨辰】

Weighted two-level Bregman method with graph regularized sparse coding for MRI reconstruction

Zhang Minghui?, Xiao Kai, Lu Hongyang, and Xu Xiaoling

School of Information Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, Jiangxi Province, P.R.China

Abstract：To improve the quality of magnetic resonance imaging, we propose a new dictionary learning algorithm integrating the weighted two-level Bregman and graph regularized sparse coding. We incorporate the iteratively reweighted l1-minimization and graph regularized sparse coding model into the two-level Bregman method with dictionary updating (TBMDU). The weighted two-level Bregman iterative procedure enforces the constraints of K-space sampled data in the outer-level and solves Lp-optimization in the inner-level. The graph regularized sparse coding model has great capacity in capturing structural details of images and, consequently, enables accurate reconstruction from highly under-sampled data. Furthermore, the proposed algorithm is able to converge with a relatively small number of iterations due to the reweighted l1-minimization iteration and graph regularized sparse coding applied in the inner minimization. Simulation results demonstrate that the proposed algorithm can reconstruct MRI images efficiently and outperforms some current approaches, such as dictionary learning for compressed sensing and two-level Bregman method with dictionary updating, in terms of the peak signal-to-noise ratio and the norm value of high-frequency error.

Key words：image processing; magnetic resonance imaging; compressed sensing; graph regularized sparse coding; dictionary learning; weighted Bregman iterative method; alternating direction method

作者簡介：張明輝(1963—)，男，南昌大學(xué)教授．研究方向：壓縮感知，磁共振成像．E-mail: zhangmh3529@163.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61362001)；江西省自然科學(xué)基金資助項目 (20151BAB207007)

中圖分類號：N 34

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3724/SP.J.1249.2016.02119

Received：2015-12-10；Accepted：2016-02-16

Foundation：National Natural Science Foundation of China (61362001); Natural Science Foundation of Jiangxi Province (20151BAB207007)

? Corresponding author：Professor Zhang Minghui. E-mail: zhangmh3529@163.com

Citation：Zhang Minghui，Xiao Kai，Lu Hongyang，et al. Weighted two-level bregman method with graph regularized sparse coding for MRI reconstruction[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016, 33(2): 119-126.(in Chinese)

【電子與信息科學(xué) / Electronics and Information】