最小熵鞅測(cè)度下的半馬氏市道輪換利率模型

柳向東，王星蕊

暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣東廣州 510632

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最小熵鞅測(cè)度下的半馬氏市道輪換利率模型

柳向東，王星蕊

暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣東廣州 510632

摘要：討論零息債券價(jià)格演變，基于Ho-Lee模型，應(yīng)用無套利原理和鞅測(cè)度方法，建立離散時(shí)間半馬氏過程控制的市道輪換下的二叉樹期限結(jié)構(gòu)模型．運(yùn)用最小熵鞅測(cè)度處理上述模型，并在馬氏和半馬氏市道下給出模型在歐式債券期權(quán)定價(jià)方面的應(yīng)用．

關(guān)鍵詞：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)；Ho-Lee模型；無套利方法；二叉樹模型；利率期限結(jié)構(gòu)；最小熵鞅測(cè)度；債券期權(quán)定價(jià)

利率作為證券定價(jià)的核心變量之一，如何對(duì)其進(jìn)行有效預(yù)測(cè)是資產(chǎn)定價(jià)的關(guān)鍵．經(jīng)典的利率模型包括Ho-Lee模型、Vasicek模型、CIR模型和Hull-White模型[1-4]．大量研究發(fā)現(xiàn)，經(jīng)濟(jì)周期或貨幣政策的變化會(huì)導(dǎo)致利率在不同時(shí)期呈現(xiàn)不一樣的變化，經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的改變應(yīng)該引起模型參數(shù)的一個(gè)突變，市道輪換模型便成為一種很具吸引力的建模方法．Goldfeld等[5]將市道輪換回歸模型用于描述非線性經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)；Hamilton[6]在經(jīng)濟(jì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中推廣了市道輪換時(shí)間序列模型．此后，探討如何使用市道輪換模型模擬經(jīng)濟(jì)和金融數(shù)據(jù)引起人們廣泛重視．市道輪換模型在金融衍生品、利率和投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用，很大一部分集中于馬氏輪換模型[7-11]．盡管簡(jiǎn)單的齊次馬氏輪換模型受歡迎，仍存在許多缺點(diǎn)，主要表現(xiàn)在：① 由于馬氏過程的無記憶性，在現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)據(jù)中，馬氏輪換模型并不合理[12]；② 對(duì)于輪換過程，常數(shù)輪換概率對(duì)于利率數(shù)據(jù)是不現(xiàn)實(shí)的[13]；③ Diebold等[14]記錄表明輪換過程對(duì)經(jīng)濟(jì)周期應(yīng)該呈現(xiàn)持續(xù)性的依賴，而馬氏輪換模型不能體現(xiàn)此特征．而以上缺點(diǎn)都可通過半馬氏輪換模型輕松處理．此外，馬氏過程是半馬氏過程的一個(gè)子類，半馬氏輪換模型應(yīng)該至少表現(xiàn)為馬氏輪換模型，同時(shí)復(fù)雜性幾乎沒有增加，并且Hong 等[15]已經(jīng)證明利率數(shù)據(jù)通常拒絕馬氏性，然而它在半馬氏輪換方向上是有意義的，這些原因都推動(dòng)了使用半馬氏輪換模型來替代馬氏輪換過程．現(xiàn)有文獻(xiàn)主要在連續(xù)時(shí)間半馬氏市道輪換框架下進(jìn)行研究[12,16-17]，很少關(guān)注離散時(shí)間框架下的期權(quán)定價(jià)問題．

本研究探討離散時(shí)間半馬氏市道輪換下的利率期限結(jié)構(gòu)．采用金融數(shù)學(xué)的無套利理論與方法，將Ho-Lee模型推廣至離散時(shí)間半馬氏市道輪換的框架下，對(duì)債券和債券期權(quán)進(jìn)行定價(jià)．首先回顧離散時(shí)間半馬氏過程，介紹一個(gè)存在市道輪換的市場(chǎng)模型，討論無套利概念及在離散時(shí)間半馬氏市道輪換框架下其與鞅測(cè)度的關(guān)系，通過選取最小熵鞅測(cè)度處理市場(chǎng)的不完備性；然后討論市道輪換下路徑獨(dú)立性的概念，給出模型和測(cè)度的一個(gè)應(yīng)用，在馬氏和半馬氏輪換框架下定價(jià)歐式債券期權(quán)．

1半馬氏市道輪換利率模型

離散時(shí)間期限結(jié)構(gòu)模型主要研究直接模擬利率和模擬零息債券的演化．本文重點(diǎn)討論后者．

1.1二叉樹市道輪換期限結(jié)構(gòu)模型的框架

考慮建立在概率空間(Ω，F(xiàn)，)上的1個(gè)離散時(shí)間金融市場(chǎng)．假設(shè)金融交易只能發(fā)生在固定的時(shí)間0，1，2，…，T*， 記T={0，1，…，T*}． 對(duì)于有限數(shù)m，定義集合E={1,2,…，m}． 假設(shè)概率空間上有一對(duì)取值于E×N的過程(Xn,Tn)，(Xn,Tn)是半馬氏核Q的齊次馬氏更新過程，即對(duì)所有的n,Xn,j和t， 有

定義一個(gè)到期日為T≤T*的零息債券是在到期日T產(chǎn)生一單位貨幣的金融產(chǎn)品．用τ表示t時(shí)刻距離零息債券到期日的時(shí)間，即τ=T-t． 記Pt(τ)為t時(shí)刻距離到期日時(shí)間為τ的零息債券的價(jià)格．假設(shè)給定一個(gè)初始期限結(jié)構(gòu)，即對(duì)所有的τ， 給定Pt(τ)的一組值．對(duì)任意的τ和狀態(tài)i∈E， 假設(shè)存在兩個(gè)實(shí)值ui(τ)和di(τ)， ui(τ)和di(τ)都是嚴(yán)格為正的，且ui(τ)>di(τ)． 記ui=(ui(1),ui(2), …, ui(T*))， di=(di(1), di(2), …, di(T*))． 引入規(guī)模為T*的一個(gè)隨機(jī)過程ζt， 規(guī)定)=1-和dYt分別為Yt狀態(tài)下向上和向下游走的倍數(shù)． 該過程描述了從t時(shí)刻到t+1時(shí)刻期限結(jié)構(gòu)的演化，若ζt+1=uYt， 稱期限結(jié)構(gòu)向上移動(dòng)，若ζt+1=dYt， 則稱期限結(jié)構(gòu)向下移動(dòng)，假設(shè)在給定Ft的條件下， ζt+1與Yt+1是條件獨(dú)立的，即對(duì)于任意的t≥1，記根據(jù)過程Y的結(jié)構(gòu)， 有vtj=

【證】記qij(t)=則Qij(t)=為半馬氏核； Hi(t)=為過程在狀態(tài)i逗留時(shí)間的分布函數(shù)；為時(shí)刻0從狀態(tài)i出發(fā)，半馬氏鏈在時(shí)刻t跳躍到狀態(tài)j的概率；(Xk=j, Tk=t)為半馬氏鏈在時(shí)刻t跳躍到狀態(tài)j的概率；

若下一個(gè)交易時(shí)刻經(jīng)濟(jì)狀態(tài)發(fā)生跳躍，即j≠Yt， 則

vjt=

若下一個(gè)交易時(shí)刻經(jīng)濟(jì)狀態(tài)沒有發(fā)生跳躍，即j=Yt， 則

vjt=

1.2Ho-Lee模型的拓展

圖1　半馬氏市道輪換下的二叉樹Fig.1　Binary tree under semi-Markov regime switching

1.3無套利框架下的利率結(jié)構(gòu)

套利策略是指在沒有風(fēng)險(xiǎn)、沒有初始投資的情況下得到確定利潤(rùn)的策略．市場(chǎng)上沒有套利策略稱為無套利條件．下面證明無套利意味著模型參數(shù)滿足一些條件．

引理1無套利表明，對(duì)于每個(gè)τ和i∈E， ui(τ)>1>di(τ)．

定理2無套利意味著滿足下列條件的過程pt存在：

對(duì)于每個(gè)t， 0

【證】 考慮1個(gè)單期模型．假設(shè)給定零息債券價(jià)格Pt(·)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建一個(gè)投資組合：包含1個(gè)到期日為T+1的零息債券(距離到期日的時(shí)間為τ+1)和H個(gè)到期日為T″+1的零息債券(距離到期日的時(shí)間為τ″+1)．

在時(shí)刻t， 投資組合的價(jià)值為W(t)=Pt(τ+1)+HPt(τ″+1)．

在時(shí)刻t+1， 根據(jù)本研究建立的模型，投資組合能且只能取2個(gè)值.

現(xiàn)選取一個(gè)H使其滿足無論哪個(gè)事件發(fā)生，投資組合的值都是相同的．這意味著投資組合在這段時(shí)間內(nèi)實(shí)際上是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因此，這個(gè)投資組合應(yīng)該與到期日為T+1的零息債券有相同的回報(bào)，由此引出2個(gè)條件

uYt(τ)Pt(τ+1)+HuYt(τ″)Pt(τ″+1)=

dYt(τ)Pt(τ+1)+HdYt(τ″)Pt(τ″+1)

(1)

W(t)=Pt(1)W(t+1)

(2)

式(2)可改寫為

Pt(τ+1)+HPt(τ″+1)=

dYt(τ)Pt(τ+1)+HdYt(τ″)Pt(τ″+1)

(3)

由式(1)和式(3)具有相同的H值，故可得

ptuYt(τ″)+(1-pt)dYt(τ″)=1．

(4)

除了概率過程pt隨著時(shí)間變化，最后的結(jié)果與Ho-Lee模型相同．過程pt的取值依賴于Yt而不依賴于τ， 對(duì)于Yt的每個(gè)可能值都有ptuYt(τ)+(1-pt)dYt(τ)=1．

推論1

Pt(τ″+1)= Pt(1)[ptuYt(τ″)Pt(τ″+1)Pt(1)+

(5)

由此說明t時(shí)刻零息債券的價(jià)值僅僅是t+1時(shí)刻可能價(jià)值折現(xiàn)的平均．

1.4最小熵鞅測(cè)度

在套利策略定義中，有關(guān)期望是在物理概率測(cè)度之下取得的，為建立鞅概率測(cè)度，需用到等價(jià)測(cè)度的概念．

(6)

則對(duì)于所有的t, Dt>0, E[Dt]=1且

這些結(jié)論允許Dt可以作為一個(gè)密度過程，這個(gè)過程將被用于介紹等價(jià)測(cè)度．

Pt(τ+1)

定理4過程pt給出在等價(jià)鞅測(cè)度*下，期限結(jié)構(gòu)在t時(shí)刻向上移動(dòng)的概率，即pt=]．

本研究采用最小熵鞅測(cè)度(minimal entropy martingale measure， MEMM)的方法確定1個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性輪換概率矩陣．實(shí)際上，對(duì)于不完備市場(chǎng)中的期權(quán)定價(jià)，MEMM是一種受歡迎的方法，其基本思想是選取一個(gè)等價(jià)的鞅測(cè)度使這個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度和物理概率測(cè)度之間的相對(duì)熵最小，即兩個(gè)概率測(cè)度之間的距離最?。?/p>

如果在所有等價(jià)鞅測(cè)度的集合中，測(cè)度Q使相對(duì)熵最小，則稱Q為最小熵鞅測(cè)度．

定理5最小熵鞅測(cè)度的特征為

(7)

這是一個(gè)有約束的最優(yōu)化問題，應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法.令

(8)

根據(jù)式(8)及對(duì)λ和γ的偏導(dǎo)數(shù)得

exp(1+λ)

(9)

exp(1+λ)

(10)

混合式(9)和式(10)得

exp(-γdY0)=

(11)

由歸納法得拉格朗日乘數(shù)的表達(dá)式為

1.5二叉樹模型的拓展

經(jīng)典Ho-Lee模型構(gòu)造的二叉樹期權(quán)定價(jià)中，假設(shè)零息債券的價(jià)格函數(shù)從1個(gè)狀態(tài)到另1個(gè)狀態(tài)的演化只依賴向上運(yùn)動(dòng)的數(shù)量，不依賴發(fā)生的順序．根據(jù)路徑獨(dú)立性得到向上和向下參數(shù)的明確表達(dá)式．本節(jié)旨在討論市道輪換下的路徑獨(dú)立性．

【證】 對(duì)于第1條路徑有

令上述兩式相等得

(12)

(13)

此結(jié)果恰好類似經(jīng)典的Ho-Lee模型．定義

(14)

將式(14)代入式(13)得1個(gè)簡(jiǎn)單的差分方程．已知uYt(0)=1， 用迭代法得uYt和dYt的解

(15)

f(pj)=0

f(pj)= p2j(1-δj)(1-δτj)(pi+(1-pi)δτ+1i)+

(16)

【證】 將模型用于第1條路徑得

將模型用于第2條路徑得

Pt+3(τ)=

令上述兩式相等得

(17)

根據(jù)式(15)得式(18)，其對(duì)每個(gè)τ都成立

(18)

重新排序各項(xiàng)即得期望的結(jié)果．

如果固定pi、 δi和δj， 方程(16)得到一個(gè)關(guān)于pj的二次方程系統(tǒng)(對(duì)于每個(gè)τ)．因?yàn)榻o定的這些方程的系數(shù)依賴于τ， 所以它們是不相同的．一個(gè)解pj∈(0,1)是否能同時(shí)解出所有方程尚不清楚．那么是否可以找到一個(gè)條件，使得在這個(gè)條件下，解pj∈(0,1)存在呢？下面定理可提供部分答案．

定理7假設(shè)δi=δj， 則給定pi， 方程(16)的系統(tǒng)至少存在一個(gè)解pj．

【證】 固定δi=δj， 則對(duì)每個(gè)τ， 給定pi(pi∈(0,1))的任何值，都至少存在一個(gè)解pj且pj=pi， 從方程(18)可見，這是顯然的．

盡管有定理7，情況仍不理想．因?yàn)樵讦膇≠δj時(shí)，二次方程解的存在性仍不清楚．事實(shí)上，唯一保證可行的模型是pi=pj且δi=δj時(shí)的模型，此時(shí)對(duì)于所有的(i, j)和τ， 都有ui=uj且di=dj， 即期限結(jié)構(gòu)在所有狀態(tài)的演化都由相同的值控制，這就如同只有1種狀態(tài)．總之，在市道輪換存在時(shí)，唯一保證可行的模型是每個(gè)狀態(tài)的期限結(jié)構(gòu)都相同的模型，然而此時(shí)整個(gè)市道輪換結(jié)構(gòu)變得沒有意義．為使市道輪換存在實(shí)際意義，在存在市道輪換時(shí)不能應(yīng)用路徑獨(dú)立的條件．

2數(shù)值舉例

本節(jié)主要提供一些在馬氏和半馬氏輪換情形下模型應(yīng)用的簡(jiǎn)單例子，目的是在這些框架下使用模型去定價(jià)一些資產(chǎn)．

建立四周期(包括零時(shí))兩狀態(tài)模型．假設(shè)Y0=1, K0=3， 如經(jīng)典的Ho-Lee模型，必須指定一些參數(shù)(即本例中每個(gè)狀態(tài)的值)和初始期限結(jié)構(gòu)．對(duì)于輪換的Ho-Lee模型，給出參數(shù)值為p1=0.6, p2=0.5, δ1=0.97, δ2=0.95， 零息債券的一組初始價(jià)格值為P0(0)=1.000, P0(1)=0.952, P0(2)=0.878, P0(3)=0.823． 目標(biāo)是在到期日為t=3的零息債券上定價(jià)到期日為t=2， 行權(quán)價(jià)為s=0.94的1個(gè)歐式期權(quán)．本研究將在馬氏和半馬氏框架下做到這一點(diǎn)，且選擇最小熵鞅測(cè)度作為定價(jià)測(cè)度．根據(jù)選取的參數(shù)值，得到零息債券的價(jià)格演化如圖2．圖2僅呈現(xiàn)了前3個(gè)時(shí)期，最后1個(gè)時(shí)期債券的價(jià)格等于1．

圖2　零息債券價(jià)格的演化Fig.2　Evolution of zero-coupon bond prices

2.1馬氏輪換框架

考慮1個(gè)兩狀態(tài)馬氏鏈，轉(zhuǎn)移概率矩陣為

定義qij(t)=因?yàn)檫@個(gè)量完全定義了1個(gè)半馬氏核．若qij(t)滿足

下面期權(quán)價(jià)格樹的某些分枝上標(biāo)記的值是從1個(gè)節(jié)點(diǎn)到下1個(gè)節(jié)點(diǎn)的輪換概率，僅標(biāo)記了本例中有用的值．

圖3　馬氏輪換框架下債券期權(quán)價(jià)格的演化Fig.3　Evolution of bond option prices under Markov regime switching framework

2.2半馬氏輪換框架

類似馬氏輪換框架，記qij(t)=

對(duì)于時(shí)間的分布，本研究使用1個(gè)離散時(shí)間威布爾分布[19]，根據(jù)文獻(xiàn)[19]有

qij(0)=0 且

定義常數(shù)α12=0.2, β12=0.5, α21=0.4, β21=0.6． 使用最小熵鞅測(cè)度的特征和與馬氏情形下相同的后向誘導(dǎo)法，得期權(quán)價(jià)格樹如圖4．

圖4　半馬氏輪換框架下債券期權(quán)價(jià)格的演化Fig.4　Evolution of bond option prices under semi-Markov regime switching framework

由圖3和圖4可知，馬氏輪換框架和半馬氏輪換框架得到的期權(quán)價(jià)格有很大區(qū)別，這歸因于輪換概率不同．

選取最小熵鞅測(cè)度作為定價(jià)測(cè)度時(shí)，半馬氏輪換有以下優(yōu)點(diǎn)：① 馬氏輪換過程具有無記憶性，只與當(dāng)前期的狀態(tài)有關(guān). 半馬氏輪換不需要無記憶性，使離散時(shí)間期限結(jié)構(gòu)模型更貼近現(xiàn)實(shí).② 輪換過程中轉(zhuǎn)移狀態(tài)相同時(shí)，馬氏輪換保持常數(shù)輪換概率，而半馬氏輪換的概率與狀態(tài)持續(xù)時(shí)間有關(guān).③ 實(shí)證表明輪換過程對(duì)經(jīng)濟(jì)周期呈持續(xù)性依賴，馬氏輪換模型不能體現(xiàn)這個(gè)特征，而半馬氏輪換中通過半馬氏過程對(duì)后向回復(fù)時(shí)間的依賴充分體現(xiàn)了這一點(diǎn)．

結(jié)語

本研究采用金融工程的無套利理論與方法，分析半馬氏市道輪換條件下基于利率期限結(jié)構(gòu)的債券期權(quán)定價(jià)問題，提出的模型使離散時(shí)間期限結(jié)構(gòu)模型更貼近現(xiàn)實(shí)．所建立模型與無套利概念相一致，且無套利與鞅測(cè)度概念的聯(lián)系得到說明．通過最小熵鞅測(cè)度來處理市場(chǎng)的不完備性，給出這個(gè)測(cè)度的一個(gè)明顯特征，這個(gè)特征在模型的實(shí)際應(yīng)用中非常有用．本模型可以推廣到三叉樹模型的情形，同時(shí)可以討論帶跳的零息債券定價(jià)問題.

引文：柳向東，王星蕊. 最小熵鞅測(cè)度下的半馬氏市道輪換利率模型[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2016，33(2)：154-163.

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Liu Xiangdong, Guo Hui. Research of market interest rates of the SHIBOR based on regime switching model[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(3):317-323.(in Chinese)

【中文責(zé)編：方圓；英文責(zé)編：木南】

Semi-Markov regime switching interest rate models under minimal entropy martingale measure

Liu Xiangdong?and Wang Xingrui

College of Economics, Jinan University, Guangzhou 510632, Guangdong Province, P.R.China

Abstract：In this paper, we discussed the evolution of the prices of zero-coupon. On the basis of Ho-Lee model, a discrete time regime switching binomial model of the term structure where the regime switches are governed by a discrete time semi-Markov process is introduced by applying the arbitrage free principle and martingale measure method. This paper use minimal entropy martingale measure (MEMM) to deal with the above model, and give an application to the pricing of a European bond option in Markov and semi-Markov regime switching framework．

Key words：application of statistical mathematics; Ho-Lee model; arbitrage free method; binary tree model; term structure of interest rate; minimal entropy martingale measure; bond option pricing

作者簡(jiǎn)介：柳向東(1973—)，男，暨南大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師. 研究方向：概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究. E-mail: tliuxd@jnu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71471075)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究資助項(xiàng)目(14YJAZH052)

中圖分類號(hào)：O 211.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3724/SP.J.1249.2016.02154

Received：2015-11-08；Accepted：2016-01-10

Foundation：National Natural Science Foundation of China(71471075) ; Humanities and Social Science Foundation of Ministry of Education of China(14YJAZH052)

? Corresponding author：Professor Liu Xiangdong. E-mail: tliuxd@jnu.edu.cn

Citation：Liu Xiangdong，Wang Xingrui. Semi-Markov regime switching interest rate models under minimal entropy martingale measure[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016, 33(2): 154-163.(in Chinese)

【應(yīng)用數(shù)學(xué) / Applied Mathematics】