基于Delta算子時(shí)變時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波

張端金，劉　雪，范　鑫

(鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

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基于Delta算子時(shí)變時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波

張端金，劉雪，范鑫

(鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

摘要：研究了具有時(shí)變時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)濾波問題，設(shè)計(jì)了一個(gè)H(∞)濾波器使得時(shí)變時(shí)延系統(tǒng)保持穩(wěn)定，基于Delta算子，使得連續(xù)域的設(shè)計(jì)方法可直接應(yīng)用于離散域的設(shè)計(jì).首先對(duì)時(shí)變時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行建模，構(gòu)造了濾波誤差系統(tǒng)，然后采用Lyapunov-Krasovskii泛函的方法，保留了經(jīng)常被忽略的有用時(shí)延項(xiàng)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H(∞)濾波器誤差系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，再通過一組線性矩陣不等式給出了使濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，并且得到了H(∞)濾波器的設(shè)計(jì)方法及導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，最后通過數(shù)值例子表明本文方法的有效性.

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；H(∞)濾波；Delta算子；時(shí)變時(shí)延

0引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)是以互聯(lián)網(wǎng)為傳輸媒介，旨在實(shí)現(xiàn)信息共享、傳輸以及控制，具有消耗成本低，使用靈活，維護(hù)較容易等特點(diǎn)[1]. 在信號(hào)處理和控制決策的具體實(shí)現(xiàn)方面，狀態(tài)估計(jì)具有非常重要的作用，進(jìn)而關(guān)于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的濾波問題得到了廣泛的關(guān)注.H∞濾波擁有很好的魯棒性能，并且有很高的估計(jì)精度[2]. 關(guān)于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波研究也越來越多，文獻(xiàn)[3]深入研究了基于網(wǎng)絡(luò)的離散時(shí)間Markov跳躍系統(tǒng)的H∞濾波.文獻(xiàn)[4]探討了同時(shí)帶有混合時(shí)滯和數(shù)據(jù)包丟失的不確定非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的H∞濾波問題. 但是，這些都只是分別在離散或者連續(xù)的情形下得出的結(jié)論，并未有一個(gè)方法將離散域和連續(xù)域的情況統(tǒng)一起來.

澳大利亞控制學(xué)家GOODWIN等提出了一種新的離散化連續(xù)系統(tǒng)的方法Delta算子[5]，在快速采樣時(shí)能夠使離散模型趨近于連續(xù)模型，Delta算子方法具有以下顯著特點(diǎn)[6]：當(dāng)采樣周期趨近于零時(shí)，Delta算子系統(tǒng)所得結(jié)果與連續(xù)情形下的相應(yīng)結(jié)果基本保持一致；其系統(tǒng)采樣周期呈現(xiàn)為顯示參數(shù)特征，這為分析不同采樣周期控制系統(tǒng)的性能提供了極大的方便,在實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)采樣過程中，提供了良好的數(shù)字特征.

時(shí)延會(huì)降低系統(tǒng)性能，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，是研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)不可忽視的問題.文獻(xiàn)[7]討論了一類具有時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的H∞濾波問題.文獻(xiàn)[8]研究具有長時(shí)延及丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞魯棒濾波. 這些現(xiàn)有的研究成果均是在時(shí)延固定的情形下得到的，但是在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)延是隨時(shí)間變化的，因此研究時(shí)變時(shí)延的NCS具有重要意義.

筆者研究基于Delta算子的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下存在時(shí)變時(shí)延系統(tǒng)的H∞濾波. 通過采用Lyapunov-Krasovskii泛函的方法，對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波器誤差系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，并以線性矩陣不等式的形式呈現(xiàn)了時(shí)變時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，進(jìn)而通過數(shù)值例子證明了所設(shè)計(jì)濾波器的有效性且能滿足H∞性能指標(biāo).

1問題描述

Delta算子[5]的定義式如下：

式中：h是采樣周期，當(dāng)h=0時(shí)，系統(tǒng)是連續(xù)系統(tǒng)；h≠0時(shí)，系統(tǒng)是離散系統(tǒng). Delta算子可以將離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)一起來.

假設(shè)一個(gè)Delta算子描述的時(shí)變時(shí)延離散系統(tǒng)表示如下：

(1)

式中：x(k)∈Rn為被控對(duì)象狀態(tài)變量；y(k)∈Rr為對(duì)象輸出向量；z(k)∈Rq為需要估計(jì)的信號(hào)向量；u(k)∈Rp為干擾輸入向量；Aδ、Adδ、Bδ、C、Cd、D、L均是具有適當(dāng)維數(shù)的已知實(shí)常數(shù)矩陣；d(k)是狀態(tài)時(shí)滯，且d(k)滿足

0

(2)

濾波器狀態(tài)方程為:

(3)

定義如下狀態(tài)向量

由Delta算子系統(tǒng)方程(1)和濾波器狀態(tài)方程(3)得到系統(tǒng)狀態(tài)方程為

δξ(k)=Φ1ξ(k)+Φ1dξ(k-d(k))+Γ1α(k).

(4)

其中：

可以得到，濾波誤差系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(5)

設(shè)計(jì)時(shí)變時(shí)延NCS的H∞濾波器，需要同時(shí)滿足下面條件:(1)能夠滿足濾波誤差系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定;(2)能夠滿足H∞性能指標(biāo)，即擾動(dòng)輸入到誤差狀態(tài)輸出的H∞范數(shù)小于一個(gè)正數(shù)γ，即

2H∞濾波穩(wěn)定性分析

為了分析濾波器的H∞性能，首先給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的定義.

定義1[8]：如果下列條件成立，一個(gè)Delta算子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的：

(i) V(x(k))≥0；當(dāng)且僅當(dāng)x(k)=0時(shí)，有V(x(k))=0.

(ii)δV(x(k))=[V(x(k+1))-V(x(k))]/h<0.

其中V(x(k))是關(guān)于x(k)的Lyapunov函數(shù).

為了方便處理下面的定理證明，做出如下引理.

引理1[9](Schur complement lemma)對(duì)于給定的具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)對(duì)稱矩陣A11，A22，A12，則以下3個(gè)條件等價(jià)：

通過定義1中給出的系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，結(jié)合使用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)的方法，給出如下定理.

定理1由式(5)描述的具有時(shí)變時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的濾波誤差系統(tǒng)，使得系統(tǒng)滿足漸近穩(wěn)定性和范數(shù)有界條件的充分條件是：存在對(duì)稱正定矩陣P和R滿足

(6)

式中：

證明α(k)=0時(shí)，滿足系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定.

構(gòu)造下面的Lyapunov泛函

(k-d(k)).

式中：P、R為待定對(duì)稱正定矩陣. 有

δV(ξ(k))=[V(ξ(k+h))-V(ξ(k))]/h<0

當(dāng)h=1時(shí)，

其中：Ω=

δV(ξ(k))<0等價(jià)于

只需要Ω<0，上述不等式即可成立，由不等式(6)，利用Schur補(bǔ)引理可以得到Ω<0，由此可得到使濾波誤差系統(tǒng)(5)滿足是漸近穩(wěn)定的條件.

(7)

其中：

ζ(k)=[ξT(k+1)ξT(k)ξT(k-dm)ξT(k-

dM+1)α(k)]；

由(6)知：J<0，也即:

eT(k)e(k)-γ2αT(k)α(k)<0.

有：

定理得證.

3H∞濾波器設(shè)計(jì)

定理2對(duì)于由式(1)描述的具有時(shí)變時(shí)延的Delta離散系統(tǒng)，γ>0，若系統(tǒng)初值為0，可以由下面的線性矩陣不等式得到對(duì)稱正定矩陣F1、P1、R1、R3、P3、F3和矩陣F2、P2、R2，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

(8)

其中：

證明:令

由Schur補(bǔ)性質(zhì)可以得到：

(9)

定理得證.

4算例分析

考慮系統(tǒng)(1)，其參數(shù)矩陣為

利用MATLAB中的LMI工具箱，求解不等式(8)，可以得到如下結(jié)果.當(dāng)dm=0.45時(shí)，得到時(shí)滯最大值dM=1.89，H∞擾動(dòng)抑制度為γ=0.415 2，濾波器的系數(shù)矩陣為：

當(dāng)取dm=0.5，dM=0.68時(shí)，H∞擾動(dòng)抑制度為γ=0.202 9，與文獻(xiàn)[7]相比，H∞擾動(dòng)抑制度要低一些，可得濾波器的系數(shù)矩陣為：

圖1為待測信號(hào)z(k)真實(shí)值和估計(jì)值的比較，

圖1　真實(shí)值和估計(jì)值的比較

由結(jié)果可以看出，如果時(shí)滯時(shí)延范圍比較小，H∞擾動(dòng)抑制度比較小，則得到的濾波器性能也比較穩(wěn)定.

5結(jié)論

筆者研究了具有時(shí)變時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的濾波問題，通過Lyapunov泛函和H∞濾波方法，且在離散化系統(tǒng)的時(shí)候運(yùn)用了Delta算子的方法，求解Lyapunov泛函時(shí)不僅降低了設(shè)計(jì)的保守性，所得結(jié)果也表明研究方法是可行的，且時(shí)延范圍和濾波器性能穩(wěn)定性呈反向變化.

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H-infinity Filtering for Networked Control Systems with Time-varying Delay Using Delta Operator Approach

ZHANG Duanjin, LIU Xue, FAN Xin

(School of Information Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

Abstract:This paper is concerned with the problem of filtering for network-based systems with time-varying delay. A filter is designed to ensure the stability of the system. The filtering problems can be studied in the combination form via Delta operator approach. Firstly, a model is constructed, then by using a Lyapunov-Krasovskii function the performance analysis of network-based H-infinity filtering-error systems were proposed by retaining some useful time-delay terms. And a sufficient condition of asymptotically stability for filtering error system and the design method of H-infinity filter are derived in terms of several linear matrix inequalities. A numerical example shows the effectiveness of the proposed approach.

Key words:networked control system; H(∞) filtering; Delta operator; time-varying delay

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.3969/j.issn.1671-6833.201405039

作者簡介:張端金(1966—)，男，湖北荊州人，鄭州大學(xué)教授，博導(dǎo)，主要從事網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)故障檢測與濾波研究，E-mail: djzhang@zzu.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61471323)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目(14A120004)

收稿日期:2014-05-20；

修訂日期：2015-02-28

文章編號(hào):1671-6833(2016)02-0010-05

引用本文：張瑞金，劉雪，范鑫.基于Delta算子時(shí)變時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，2016,37(2):10-14.