不確定T-S模糊系統(tǒng)的跟蹤控制器設(shè)計

張恒艷，高中文，李文龍，宋偉偉，黃　玲

(哈爾濱理工大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

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不確定T-S模糊系統(tǒng)的跟蹤控制器設(shè)計

張恒艷，高中文，李文龍，宋偉偉，黃玲

(哈爾濱理工大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

摘要：研究基于觀測器的不確定T-S模糊系統(tǒng)的跟蹤控制器設(shè)計問題.利用T-S模糊方法對含有不確定性的非線性被控對象進行建模，對于給定代表系統(tǒng)期望狀態(tài)的參考模型，在系統(tǒng)狀態(tài)不可測及不確定項滿足有界條件下，利用并行分布補償?shù)姆椒?parallel distributed compensation)設(shè)計基于觀測器的模糊控制器，保證對于參考模型狀態(tài)的跟蹤，同時抑制擾動對跟蹤誤差的影響.借助Lyapunov穩(wěn)定性定理及舒爾補引理將跟蹤控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為一組線性矩陣不等式(linear matrix inequality)的可行解問題.該方法簡單實用，仿真實例驗證了此種方法的有效性與正確性.

關(guān)鍵詞：T-S模糊系統(tǒng)；不確定性；觀測器；H(∞)跟蹤性能；線性矩陣不等式(LMI)

0前言

在控制理論領(lǐng)域的研究中，利用T-S模糊模型可以實現(xiàn)對非線性系統(tǒng)的逼近，基于T-S模糊控制策略去處理模糊控制系統(tǒng)中存在的非線性具有很大的優(yōu)勢.近年來，隨著T-S模糊理論的不斷完善，非線性系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題成為控制領(lǐng)域研究的重點.文獻[1-3]分別針對帶有參數(shù)不確定，時滯和非線性項的T-S模糊系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題展開研究，給出了魯棒鎮(zhèn)定的條件以及控制器的設(shè)計方法.文獻[4]將模糊系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定條件表述為一系列矩陣不等式的可行性問題，實現(xiàn)了控制器的求解.在實際應(yīng)用中，為了使系統(tǒng)的狀態(tài)或輸出盡可能地接近給定信號，實現(xiàn)跟蹤控制，必須要設(shè)計跟蹤控制器來滿足系統(tǒng)的控制要求.文獻[5]在考慮T-S模糊模型建模誤差的前提下，對穩(wěn)定的線性參考模型實現(xiàn)跟蹤控制，得到了保證跟蹤誤差系統(tǒng)穩(wěn)定的約束條件.在此基礎(chǔ)上，文獻[6]提出了一種新的H∞性能指標(biāo)，研究了受控輸出變量中控制系數(shù)不為零情況下的跟蹤控制問題，通過對模糊控制器的設(shè)計，實現(xiàn)了狀態(tài)變量與參考變量的高精度吻合.文獻[7]針對系統(tǒng)狀態(tài)不可測的情況，設(shè)計了基于觀測器的跟蹤控制器，實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤.文獻[8]研究系統(tǒng)存在有界外部擾動條件下基于狀態(tài)反饋的H∞漸近跟蹤控制器設(shè)計問題.

綜上，針對T-S模糊不確定系統(tǒng)，在狀態(tài)未知條件下的H∞漸近跟蹤控制還沒有研究，筆者將探討這方面的問題.首先，基于T-S模糊模型對含有不確定性的非線性系統(tǒng)進行建模，然后給定系統(tǒng)的跟蹤參考模型，在不確定項滿足有界的條件下，設(shè)計以模糊觀測器為基礎(chǔ)的模糊控制器.通過選取適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)，推導(dǎo)出H∞跟蹤控制器存在的充分條件，該條件具有線性矩陣不等式形式，最后，通過對相應(yīng)的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)求解，構(gòu)造模糊控制器與模糊觀測器。

1問題描述

由T-S模糊模型描述的不確定非線性系統(tǒng)，定義規(guī)則如下.

(Bi+ΔBi)u(t)+di(x,t)，

(1)

y(t)=Cix(t)+v(t)，i=1,2,…,r.

(2)

(3)

利用單點模糊化、乘積推理、中心加權(quán)反模糊化的方法可以得到模糊系統(tǒng)模型

(Bi+ΔBi)u(t)+di(x,t)].

(4)

(5)

對于系統(tǒng)中的擾動，引進下面的假設(shè).

假設(shè)1模型(4)中的擾動di(x,t)滿足

(6)

為了推導(dǎo)出筆者的結(jié)論，需要借助以下對于有界不確定性的處理方法.

引理1[9]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、D和E，其中Y是對稱的，則有

Y+DFE+ETFTDT<0.

對于所有滿足FTF≤I的矩陣成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個常數(shù)ε>0，使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0.

(7)

成立.

定義參考模型：

(8)

式中：Ar∈Rn×n為系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定矩陣；Br∈Rm×1為輸入矩陣；xr(t)為參考狀態(tài)；r(t)為有界參考輸入.

觀測器采用和被控對象相同的模糊規(guī)則，第i個規(guī)則為:

(9)

(10)

全局觀測器表示為

(11)

(12)

(13)

采用和被控對象相同的控制規(guī)則，則全局模糊控制器為

(14)

從而得到如下的閉環(huán)增廣系統(tǒng)：

(15)

式中：

對于增廣系統(tǒng)(15)，考慮如下H∞擾動抑制性能指標(biāo)

(16)

2基于觀測器的模糊跟蹤控制設(shè)計

(17)

成立，則系統(tǒng)(15)滿足H∞跟蹤性能(16) .

由定理1可得

證畢.

定理2在非線性系統(tǒng)(15)中，如果存在正定對稱矩陣P11、P22、P33、Q、Kj及標(biāo)量εi>0,使下面的線性矩陣不等式成立

(18)

則系統(tǒng)(15)滿足H∞跟蹤性能(16).

式中：

FbiKj)T(FbiKj)；

借助引理1，上式可轉(zhuǎn)化為：

通過定義Sij,i=1,2,3,i≤j上式轉(zhuǎn)化為式(18)，定理得證.定理給出了狀態(tài)跟蹤控制器存在的充分條件，可以證明在該條件下，閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的.

(19)

那么閉環(huán)系統(tǒng)(15)二次穩(wěn)定.

可以看出在式(17)滿足的條件下，式(19)一定滿足，因此條件(18)保證了T-S模糊系統(tǒng)(15)二次穩(wěn)定，從而說明設(shè)計的基于觀測器的控制器實現(xiàn)了對于參考模型狀態(tài)的跟蹤.即被控對象(4)實現(xiàn)了對參考模型(8)狀態(tài)的跟蹤.

定理2建立了保證系統(tǒng)(4)實現(xiàn)H∞漸近跟蹤參考模型(8)的充分條件，下面給出求解不等式的方法.

利用Schur補引理處理后有：

(20)

同理，S33<0，可以求解出P33與L.將所求解的值代入式(18)可以得到P22的值.

3仿真實例

含有不確定性的T-S模糊系統(tǒng)的參數(shù)給定如下：

系統(tǒng)的仿真曲線如圖1所示，跟蹤誤差如圖2所示.可以看出，相比于文獻[1-3]，對于含有不確定性的T-S模糊系統(tǒng)，筆者設(shè)計的基于觀測器的控制器，不僅可以使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定，而且可以實現(xiàn)被控對象的狀態(tài)在滿足H∞性能指標(biāo)ρ=0.1的條件下對系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤，響應(yīng)時間在2 000～2 500 s之間，且具有很好的跟蹤效果.

4結(jié)論

研究了一類以觀測器為基礎(chǔ)的不確定T-S

圖1　響應(yīng)曲線

圖2　跟蹤誤差曲線

模糊系統(tǒng)的跟蹤控制問題.實現(xiàn)了在系統(tǒng)狀態(tài)不可測及不確定性有界情況下對系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤，以及外界擾動的抑制，并將控制器的設(shè)計轉(zhuǎn)化為線性不等式的求解，步驟簡單方便，仿真實例驗證了此種方法的有效性與正確性.

參考文獻：

[1]齊麗,楊俊友.基于觀測器的不確定T-S模糊系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定[J]．控制理論與應(yīng)用, 2010, 27(5):

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[4]DUAN G R,YU H H．LMIs in Control Systems Analysis Design and Applications[M]．CRC Press, 2013.

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[8]王艷華,王志飛.一類不確定 T-S 模糊系統(tǒng)的H∞跟蹤控制[J]．湖北文理學(xué)院學(xué)報,2014,35(8):11-15.

The Design of Tracking Controller for T-S Fuzzy Systems with Uncertainty

ZHANG Hengyan, GAO Zhongwen, LI Wenlong, SONG Weiwei, HUANG Ling

(School of Automation, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

Abstract:The tracking controller for T-S fuzzy systems with uncertainty is designed based on the observer. T-S fuzzy method is used to model the nonlinear controlled object with uncertainty. For given expected state tracking model, when the state of the system is unmeasurable and the uncertainties are bounded, a fuzzy controller based on the observer is designed by means of parallel distributed compensation (PDC). The controller guarantees that the states of the close-loop system track the states of the reference model, and that the influence of the disturbance is reduced. By Lyapunov stability theorem and Shur Complement Lemma, the design of the tracking controller is transformed into a feasible problem for a set of linear matrix inequalities (LMI). The simulation example is given to testify the validity and efficiency of the proposed method.

Key words:T-S fuzzy tracking system; uncertainty; H(∞) tracking performance; linear matrix inequalities (LMI)

中圖分類號：TP273

文獻標(biāo)志碼：A

doi:10.3969/j.issn.1671-6833.201504057

通訊作者:黃玲 (1975—)，女，河南人，哈爾濱理工大學(xué)教授，博士，主要從事網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析與控制、信號處理(濾波)、時滯系統(tǒng)研究等，E-mail：mail_huangling@163.com.

基金項目:黑龍江省2014年度科技資助項目(12541118)

收稿日期:2015-04-24；

修訂日期：2015-08-18

文章編號:1671-6833(2016)02-0015-05

引用本文:張恒艷，高中文，李文龍，等.不確定T-S模糊系統(tǒng)的跟蹤控制器設(shè)計[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版)，2016,37(2):15-19.