需求不確定下承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策

謝祥添，張畢西

(1.廣東開放大學(xué)/廣東理工職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 510091；2.廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510520)

需求不確定下承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策

謝祥添1，張畢西2

(1.廣東開放大學(xué)/廣東理工職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 510091；2.廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510520)

在網(wǎng)上定制的市場(chǎng)中，需求具有數(shù)量和時(shí)間兩方面的不確定性。本文提出同時(shí)考慮需求量具有承諾交貨時(shí)間敏感性和隨機(jī)性，采用作業(yè)成本法建立以期望利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，以承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量的模型。通過(guò)模型的分析得到了相互遞推的最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能數(shù)學(xué)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用排隊(duì)理論建立了以承諾交貨時(shí)間可靠性為限制條件的M/M/1決策模型。通過(guò)模型分析，證明了模型是凹規(guī)劃，給出了最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能滿足的方程組。最后，通過(guò)算例的分析可知最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能受承諾交貨時(shí)間可靠性限制，而且隨著承諾交貨時(shí)間可靠性的提高，最優(yōu)承諾交貨時(shí)間是遞增的，最優(yōu)產(chǎn)能和最優(yōu)期望利潤(rùn)是遞減的。研究表明：結(jié)合承諾交貨時(shí)間可靠性確定最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能有助于提高產(chǎn)能的利用率和交貨時(shí)間的準(zhǔn)確性。

不確定需求；產(chǎn)能；承諾交貨時(shí)間；M/M/1

1 引言

當(dāng)前，客戶對(duì)交貨時(shí)間要求越來(lái)越高，時(shí)間已經(jīng)僅次于價(jià)格成為企業(yè)贏得市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)的因素[1]。較早提出時(shí)間成為企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)武器的是Stalk[2]，他提出時(shí)間因素正在重塑全球市場(chǎng)。隨后，Bozdogan等[3]通過(guò)分析日本企業(yè)的運(yùn)營(yíng)，提出日本企業(yè)能在全球市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中占有一席之地的主要原因是重視時(shí)間的管理(基于時(shí)間的生產(chǎn)，基于時(shí)間的分銷和基于時(shí)間的創(chuàng)新)。Suri[4]提出了在時(shí)間競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下快速反應(yīng)制造(Quick Response Manufacturing,QRM)的優(yōu)勢(shì)和策略。Rondeau等[5]通過(guò)對(duì)265家基于時(shí)間生產(chǎn)的企業(yè)調(diào)查分析，得出了基于時(shí)間生產(chǎn)能提高企業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)化水平和整合能力。Nahm等[6]通過(guò)對(duì)224家基于時(shí)間生產(chǎn)的企業(yè)調(diào)查分析，得出了基于時(shí)間生產(chǎn)能顯著提高企業(yè)的決策和溝通能力。此外還有Fisher[7]，楊文勝等[8]，馬士華等[9]和Yang Daojian等[10]從供應(yīng)鏈的角度研究如何運(yùn)用時(shí)間來(lái)獲得競(jìng)爭(zhēng)的優(yōu)勢(shì)。So等[11]把企業(yè)運(yùn)用時(shí)間獲得競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)歸納為三種策略：1、快速服務(wù)；2、提前預(yù)約；3、承諾交貨時(shí)間。我國(guó)大部分生產(chǎn)企業(yè)，如訂單生產(chǎn)式(Make-to-order, MTO)企業(yè)，一般采用第三種策略。那么企業(yè)采用第三種策略，在不確定需求條件下，如何保證在承諾交貨時(shí)間內(nèi)完工，承諾交貨時(shí)間應(yīng)該多長(zhǎng)和承諾交貨時(shí)間可靠性(部分文獻(xiàn)稱之為時(shí)間服務(wù)水平)就成為企業(yè)要解決的問(wèn)題了，而解決這些問(wèn)題無(wú)不與產(chǎn)能的配置有關(guān)。

關(guān)于承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策問(wèn)題，最近十幾年受到眾多學(xué)者關(guān)注和研究。如，Lederer等[12]考慮需求是承諾交貨時(shí)間和價(jià)格敏感的，研究了價(jià)格、產(chǎn)能和承諾交貨時(shí)間三者聯(lián)合決策的問(wèn)題，證明了它們存在著均衡關(guān)系，指出承諾交貨時(shí)間更短，產(chǎn)能柔性更大和生產(chǎn)成本更低的企業(yè)占有的市場(chǎng)份額更大，產(chǎn)能利用率更高和獲得的利潤(rùn)更多。So等[11]根據(jù)承諾交貨時(shí)間可靠性較高時(shí)M/M/1排隊(duì)模型近似G/G/1排隊(duì)模型，運(yùn)用排隊(duì)理論建立以企業(yè)利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，以價(jià)格，產(chǎn)能擴(kuò)張和承諾交貨時(shí)間為決策變量的M/M/1模型研究了兩類(資本密集型和勞動(dòng)密集型)服務(wù)企業(yè)的價(jià)格，承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能之間的關(guān)系，得到了這兩類企業(yè)的三個(gè)決策變量聯(lián)合最優(yōu)解。Boyaci等[13]分析產(chǎn)能成本對(duì)兩類產(chǎn)品(常規(guī)產(chǎn)品和快速產(chǎn)品)的承諾交貨時(shí)間，承諾交貨時(shí)間可靠性和價(jià)格影響，建立這兩類產(chǎn)品的產(chǎn)能，承諾交貨時(shí)間，承諾交貨時(shí)間可靠性和價(jià)格決策模型，通過(guò)模型的分析得出了：當(dāng)市場(chǎng)是需求價(jià)格敏感性時(shí)，企業(yè)可以采取價(jià)格差異化獲利；當(dāng)市場(chǎng)是需求承諾交貨時(shí)間敏感性時(shí)，企業(yè)可以采取交貨時(shí)間差異化獲利；當(dāng)市場(chǎng)是需求價(jià)格敏感性與承諾交貨時(shí)間敏感性相近時(shí)，企業(yè)可以提供交貨時(shí)間可靠性更低的快速產(chǎn)品獲得競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。最近，Park[14]考慮需求函數(shù)是價(jià)格，承諾交貨時(shí)間和時(shí)間服務(wù)水平函數(shù)，建立以供應(yīng)商與零售商二級(jí)供應(yīng)鏈利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，以產(chǎn)能，承諾交貨時(shí)間，時(shí)間服務(wù)水平和價(jià)格為決策變量模型，通過(guò)模型的求解得到了模型最優(yōu)的產(chǎn)能，交貨時(shí)間，時(shí)間服務(wù)水平和價(jià)格。Falu等[15]和Knollmann等[16]針對(duì)延期交貨的問(wèn)題，提出運(yùn)用控制理論調(diào)整產(chǎn)能的增減和訂單的釋放來(lái)提高交貨時(shí)間的準(zhǔn)確性。謝祥添等[17]考慮市場(chǎng)是需求承諾時(shí)間敏感性，研究了兩類(人工作業(yè)和自動(dòng)化)訂單生產(chǎn)式企業(yè)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能聯(lián)合決策問(wèn)題，得出了最優(yōu)的產(chǎn)能擴(kuò)張與承諾交貨時(shí)間存在著類似于耐克函數(shù)的關(guān)系；最優(yōu)的產(chǎn)能擴(kuò)張與承諾交貨時(shí)間受承諾交貨時(shí)間可靠性限制。Jayaswal等[18]研究了需求是承諾時(shí)間和價(jià)格敏感性的雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題，得出了具有產(chǎn)能成本優(yōu)勢(shì)的企業(yè)應(yīng)該針對(duì)細(xì)分市場(chǎng)采用差異化的承諾交貨時(shí)間和價(jià)格策略。這與Boyaci和Ray[13]的結(jié)論類似。

以上文獻(xiàn)考慮需求是時(shí)間的不確定性，采用傳統(tǒng)的成本會(huì)計(jì)構(gòu)建企業(yè)利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)得出最優(yōu)決策變量使企業(yè)的利潤(rùn)最大化。但是在現(xiàn)今復(fù)雜需求環(huán)境下，需求在數(shù)量上往往也具有不確定性。為適應(yīng)這種需求的不確定，眾多企業(yè)采取柔性生產(chǎn)的方式。在產(chǎn)能上表現(xiàn)為：在需求高峰時(shí)，企業(yè)通過(guò)加班、雇傭臨時(shí)工和外包等方式增加產(chǎn)能；在需求低谷時(shí)，企業(yè)通過(guò)減少工人、工時(shí)等方式減少產(chǎn)能[19]。傳統(tǒng)成本會(huì)計(jì)不能準(zhǔn)確核算這種產(chǎn)能變化的成本，導(dǎo)致產(chǎn)品成本的扭曲和產(chǎn)能的過(guò)剩與不足[20-21]。鑒于此，部分學(xué)者如Banker等[22]，Balakrishnan等[23]，G?x[24]和G?x[25]面對(duì)不確定需求采用了作業(yè)成本法核算產(chǎn)品和產(chǎn)能的成本，取得了一定的成果。因此，本文采用作業(yè)成本法核算產(chǎn)能成本，構(gòu)建企業(yè)的期望利潤(rùn)函數(shù)。

本文的貢獻(xiàn)在于考慮需求具有承諾交貨時(shí)間敏感性和數(shù)量上的不確定，采用作業(yè)成本法建立以期望利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，以承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量的模型，得到了相互遞推的最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能數(shù)學(xué)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，考慮需求時(shí)間間隔和產(chǎn)品生產(chǎn)處理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，建立M/M/1模型得到了最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能，這些研究有助于提高產(chǎn)能的利用率和交貨時(shí)間的準(zhǔn)確性。

2 一般模型

2.1 模型的建立

考慮需求數(shù)量上的不確定和客戶傾向于較短的承諾交貨時(shí)間，建立需求函數(shù)為：

D(l)=a-bl+ε

(1)

其中，a為b=0和ε=0時(shí)的需求量，b為需求承諾交貨時(shí)間敏感系數(shù)(b≥0)，l為承諾交貨時(shí)間。交貨時(shí)間敏感性需求函數(shù)有線性的，如馬士華等[9]提出的供應(yīng)鏈響應(yīng)時(shí)間和價(jià)格敏感需求函數(shù)和Ho等[26]提出的承諾交貨時(shí)間和服務(wù)質(zhì)量敏感需求函數(shù)；也有非線性的，如So等[11]提出的價(jià)格和承諾交貨時(shí)間敏感柯布-道格拉斯需求函數(shù)。為了便于研究產(chǎn)能與承諾交貨時(shí)間的關(guān)系，本文考慮承諾交貨時(shí)間敏感性需求函數(shù)是線性的。ε為隨機(jī)需求量，設(shè)其均值為E(ε)，這時(shí)需求量期望值為：E[D(l)]=a-bl+E(ε)。

根據(jù)作業(yè)成本法基本原理：產(chǎn)品消耗作業(yè)，作業(yè)消耗資源。則資源消耗量與產(chǎn)品之間的關(guān)系為：

zj=uj(a-bl+ε)=uj(a-bl)+Δj

(2)

其中，zj為第j種資源消耗量。uj為產(chǎn)品消耗作業(yè)j的單位作業(yè)量。Δj為產(chǎn)品隨機(jī)需求消耗第j種資源的數(shù)量，Δj=ujε，設(shè)其概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)分別為φ(Δj)和Φ(Δj)，設(shè)H(zj)為不含Δj的第j種資源的消耗量，H(zj)=uj(a-bl)。

建立以期望利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，以承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量的數(shù)學(xué)模型為:

(3)

(3)式由三項(xiàng)構(gòu)成，第一項(xiàng)表示期望收入；第二項(xiàng)表示產(chǎn)能成本；第三項(xiàng)表示產(chǎn)能不足的懲罰成本(銷售機(jī)會(huì)損失)，其中第j種資源不足是指產(chǎn)品的消耗量大于當(dāng)前產(chǎn)能：zj>xj，這時(shí)有H(zj)+Δj>xj，移項(xiàng)Δj>xj-H(zj)。那么，用積分表示為：

(3)式其余參數(shù)p為單價(jià)，c為單位生產(chǎn)成本(除產(chǎn)能成本)。X為產(chǎn)能向量，X=x1，x2，x3…xm，xj為第j種資源的產(chǎn)能。vj為第j種資源的產(chǎn)能單位成本。ωj為第j種資源的產(chǎn)能沒(méi)有滿足需求時(shí)的懲罰系數(shù)，由于需求不確定，第j種資源的產(chǎn)能有可能不能滿足需求，由此導(dǎo)致企業(yè)的銷售機(jī)會(huì)損失。一般情況，這種損失產(chǎn)生的成本比正常產(chǎn)能成本要高，例如，需求增加，現(xiàn)有產(chǎn)能不能滿足需求時(shí)，企業(yè)通過(guò)加班的方式增加產(chǎn)能，企業(yè)付出的加班費(fèi)比正常工資高。因此有，ωj>1。

2.2 模型的分析

(1)考慮只有承諾交貨時(shí)間為決策變量

對(duì)(3)式求承諾交貨時(shí)間l一階偏導(dǎo)數(shù)等于0有：

(4)

從(4)式可知，最優(yōu)承諾交貨時(shí)間滿足的等式為：滿足需求得到的單位利潤(rùn)(p-c)等于沒(méi)有滿足需求失去的單位銷售機(jī)會(huì)損失。對(duì)(4)式化簡(jiǎn)有：

(5)

其中，Φ-1(x)為Φ(x)的反函數(shù)，設(shè)l*是等式(5)關(guān)于l的解。對(duì)(3)式求承諾交貨時(shí)間l的二階偏導(dǎo)數(shù)有：

(6)

(2)考慮只有產(chǎn)能為決策變量

同理，對(duì)(3)式求產(chǎn)能xj的一階偏導(dǎo)數(shù)等于0有：

(7)

對(duì)(3)式求產(chǎn)能xj的二階偏導(dǎo)數(shù)有：

(8)

從(7)式和(8)式知，若φ[xj-H(zj)]>0，那么目標(biāo)函數(shù)存在最大值，最優(yōu)產(chǎn)能是等式(7)關(guān)于產(chǎn)能xj的解，設(shè)為xj*。

(3)同時(shí)考慮承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量

一般而言，企業(yè)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策時(shí)，已經(jīng)存在著市場(chǎng)的交貨時(shí)間，設(shè)為l(0)。在l(0)前提下，企業(yè)可以根據(jù)(7)式和(8)式確定產(chǎn)品的最優(yōu)產(chǎn)能，設(shè)為xj(0)*，這時(shí)企業(yè)得到第一次決策的最優(yōu)期望利潤(rùn)。接著，企業(yè)可以在xj(0)*前提下，根據(jù)(5)式和(6)式得到產(chǎn)品的最優(yōu)承諾交貨時(shí)間，設(shè)為l(0)*，這時(shí)企業(yè)得到了第二次決策的最優(yōu)期望利潤(rùn)。如此反復(fù)，可得到最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能。

當(dāng)然了，企業(yè)也可以根據(jù)自身已有的產(chǎn)能作為初始產(chǎn)能，然后在初始產(chǎn)能條件下決定最優(yōu)的承諾交貨時(shí)間。余下的決策過(guò)程與上述一致，略。

以上只是從企業(yè)獲得期望利潤(rùn)最大化角度，對(duì)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策。但是，交貨時(shí)間的長(zhǎng)短受生產(chǎn)過(guò)程的限制[27]。接下來(lái)，我們研究生產(chǎn)過(guò)程近似M/M/1排隊(duì)模型的承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策問(wèn)題。

3 M/M/1 模型

3.1 模型的假設(shè)

(1)生產(chǎn)過(guò)程近似M/M/1排隊(duì)模型，即單一產(chǎn)品，單一服務(wù)臺(tái)(資源)，產(chǎn)品到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，產(chǎn)品生產(chǎn)處理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，以及產(chǎn)品先來(lái)先服務(wù)的生產(chǎn)過(guò)程；

(2)產(chǎn)能為單位時(shí)間處理產(chǎn)品數(shù)，設(shè)為x；需求量為單位時(shí)間的需求。

3.2 模型的建立

Abate等[28]指出承諾交貨時(shí)間可靠性較高時(shí)，實(shí)際交貨時(shí)間小于等于承諾交貨時(shí)間的尾概率(Tail-probabilities)分布近似服從以下指數(shù)分布：

1-P{L(l,x)≤l}≈γe-ηl

(9)

其中，L(l,x)為實(shí)際交貨時(shí)間，它是關(guān)于承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能函數(shù)。P{L(l,x)≤l}為實(shí)際交貨時(shí)間小于等于承諾交貨時(shí)間的概率。γ為常項(xiàng)，η為衰減率。為了敘述方便下文統(tǒng)一用=替換≈。

對(duì)于M/M/1排隊(duì)模型，P{L(l,x)≤l}尾概率分布服從γ=1，η=x-E[D(l)]的指數(shù)分布[11,26]，即： 1-P{L(l,x)≤l}=e-{x-E[D(l)]}l。那么，承諾交貨時(shí)間可靠性限制條件表達(dá)式為：

P{L(l,x)≤l}=1-e-{x-E[D(l)]}l≥α

(10)

其中，α為承諾交貨時(shí)間可靠性，α∈(0, 1)。

那么，考慮承諾交貨時(shí)間可靠性，建立以單位時(shí)間期望利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，以承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量的M/M/1模型為：

s.t.P{L(l,x)≤l}=1-e-{x-E[D(l)]}l≥α

(11)

3.3 模型的分析

命題1 (11)式為凹規(guī)劃。

證明：因?yàn)?11)式的目標(biāo)函數(shù)海賽矩陣：

為半負(fù)定的，所以(11)式的目標(biāo)函數(shù)為凹函數(shù)。又因?yàn)?11)式中限制條件表達(dá)式e-{x-E[D(l)]}l，設(shè)之為g(l,x)，為凸函數(shù)，證明見(jiàn)附錄1。根據(jù)凹規(guī)劃的定義，(11)式為凹規(guī)劃。

命題1結(jié)論：根據(jù)(11)式為凹規(guī)劃性質(zhì)可知，最優(yōu)解滿足(11)式的拉格朗日函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)為0的條件。即最優(yōu)解是以下方程組的解:

(12)

其中，λ為拉格朗日乘子；?=1-α。

4 算例

某一家用電器生產(chǎn)企業(yè)，部分產(chǎn)品采用網(wǎng)上定制的方式銷售，其過(guò)程為：客戶通過(guò)企業(yè)網(wǎng)站定制產(chǎn)品，企業(yè)根據(jù)客戶要求生產(chǎn)，生產(chǎn)完畢后交付。其中有一產(chǎn)品A，采用網(wǎng)上定制銷售后，出現(xiàn)了產(chǎn)能不平衡和延期交貨頻繁的問(wèn)題，因此需要為其確定合適的產(chǎn)能和承諾交貨時(shí)間。

產(chǎn)品A，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知：客戶下單購(gòu)買的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，均值為500- 50l+E(ε)個(gè)/天，其中需求隨機(jī)變量ε～U(5,10)。產(chǎn)品A的生產(chǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)處理時(shí)間為1/x天。又已知每個(gè)產(chǎn)品A價(jià)格為2萬(wàn)元，生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元，產(chǎn)能成本為0.2萬(wàn)元，消耗單位作業(yè)量為0.5以及缺貨懲罰系數(shù)為1.1。(一)若忽略企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程，市場(chǎng)的交貨時(shí)間為10天，求產(chǎn)品A的最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能。(二)根據(jù)企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程，分析產(chǎn)品A承諾交貨時(shí)間可靠性的敏感性，以及當(dāng)它的承諾交貨時(shí)間可靠性要求在90%以上時(shí)，最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能為多少？

依題意，產(chǎn)品A需求隨機(jī)變量ε～U(5,10)，所以其消耗的生產(chǎn)資源△～U(2.5,5)。其余參數(shù)p=2萬(wàn)元，c=1萬(wàn)元，v=0.2萬(wàn)元，a=500個(gè)，u=0.5，b=50，w=1.1。

(一)忽略企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程

把相關(guān)數(shù)據(jù)代入(8)式得-0.088<0，所以根據(jù)(7)式得最優(yōu)產(chǎn)能x*=252.7272727-25l，把l(0)=10天=l代入得x(0)*=2.7272727個(gè)/天，這時(shí)最優(yōu)期望利潤(rùn)為6.7273萬(wàn)元。又由(6)式得-55<0，所以根據(jù)(5)式得最優(yōu)承諾交貨時(shí)間l*=9.290909091-0.04x，把x(0)*=2.7272727個(gè)/天=x代入得l(0)*=9.181818183天，這時(shí)最優(yōu)期望利潤(rùn)為25.1364萬(wàn)元。

余下的最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能可以通過(guò)遞推公式求得，遞推公式為：

(13)

其中，n=1,2,3…N。

通過(guò)(13)式和上文已計(jì)算的x(0)*與l(0)*可得最優(yōu)的承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策過(guò)程，如表1所示。

表1 最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能決策

注：根據(jù)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能的變化趨勢(shì)，最優(yōu)的決策為承諾交貨時(shí)間等于0(若決策得到的是負(fù)數(shù)，根據(jù)承諾交貨時(shí)間大于0，則把負(fù)數(shù)設(shè)為0)。

(二)不忽略企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程

由算例可知企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程為M/M/1排隊(duì)模型，所以把相關(guān)數(shù)據(jù)代入(11)式化簡(jiǎn)有：

E[∏(l,x)]=-2353.6-511l+22.24x-2.2lx-27.5l2-0.044x2

(14)

(1)產(chǎn)品A承諾交貨時(shí)間可靠性的敏感性分析

由命題1的結(jié)論可得最優(yōu)解(l*,x*,λ*)與承諾交貨時(shí)間可靠性α(?=1-α)的關(guān)系。其中l(wèi)*滿足以下一元四次方程：

22×(5l)4-1031×(5l)3-[1121×ln(1-α)]×5l-22×ln(1-α)2=0

(15)

x*為：

x*=0.227×[1112×ln(1-α)-220×ln(1-α)×l*-2750×(l*)3+25775×(l*)2]/ln(1-α)

(16)

(a)承諾交貨時(shí)間可靠性與最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能分析

對(duì)(15)式作圖可得l*和α關(guān)系，如圖1所示。從圖1可知，隨著承諾交貨時(shí)間可靠性的提高，最優(yōu)承諾交貨時(shí)間是遞增的，并且遞增得越來(lái)越快。

對(duì)(16)式作圖可得x*和α關(guān)系，如圖2所示。從圖2可知，隨著承諾交貨時(shí)間可靠性的提高，最優(yōu)產(chǎn)能是下降的，并且下降得越來(lái)越快。需指出的，隨著承諾交貨時(shí)間可靠性的提高，最優(yōu)產(chǎn)能下降的原因是承諾交貨時(shí)間可靠性提高，承諾交貨時(shí)間增加，根據(jù)需求是交貨時(shí)間線性減函數(shù)。那么，需求減少。又根據(jù)作業(yè)成本法，需求減少，則對(duì)應(yīng)的資源減少，所需的產(chǎn)能也就下降了。

(b)承諾交貨時(shí)間可靠性與最優(yōu)期望利潤(rùn)分析

把l*和x*代入(14)式得最優(yōu)期望利潤(rùn)函數(shù)E[Π(l*,x*)]與α關(guān)系，如圖3所示。隨著承諾交貨時(shí)間可靠性的提高，企業(yè)的最優(yōu)期望利潤(rùn)是下降的，并且下降得越來(lái)越快。

(2)產(chǎn)品的交貨時(shí)間可靠性在90%以上

依題意，有α=90%，把它代入(15)式和(16)式可得l*= 9.383天和x*= 38.575個(gè)/天，最優(yōu)期望利潤(rùn)為16.1404萬(wàn)元/天。

為了弄清承諾交貨時(shí)間，產(chǎn)能和期望利潤(rùn)之間的關(guān)系?，F(xiàn)設(shè)y=0.1-e-(x-1015/2+50l)l，作y，E[Π(l,x)]和l，x的關(guān)系，如圖4所示。從圖4和(14)式可知，最優(yōu)解是在曲面y與平面0相交線投影在E[Π(l,x)]表面上，再在其軌跡上找到的某一點(diǎn)使得E[Π(l,x)]值最大。

圖1 圖l*和α關(guān)系

圖2 x*和α關(guān)系

圖3 E[Π(l*,x*)]與α關(guān)系

圖4 y，E[Π(l, x)]和l，x的關(guān)系

5 結(jié)語(yǔ)

從算例可知，當(dāng)不考慮企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程時(shí)，企業(yè)最優(yōu)期望利潤(rùn)隨著決策的次數(shù)增加而增加，最終會(huì)增加至承諾交貨時(shí)間為0，企業(yè)取得最大的期望利潤(rùn)。但是承諾交貨時(shí)間為0明顯與企業(yè)的實(shí)際相違背。所以我們考慮承諾交貨時(shí)間的可靠性，結(jié)合企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程，得到了符合企業(yè)自身承諾交貨時(shí)間可靠性(承諾交貨時(shí)間可靠性在90%以上)的最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能。同時(shí)，通過(guò)算例對(duì)承諾交貨時(shí)間可靠性的敏感性分析可知：隨著承諾交貨時(shí)間可靠性的提高，最優(yōu)承諾交貨時(shí)間是遞增的，最優(yōu)產(chǎn)能和最優(yōu)期望利潤(rùn)是遞減的。

當(dāng)今企業(yè)面對(duì)不確定的市場(chǎng)需求不僅是需求時(shí)間的不確定，還會(huì)是需求數(shù)量的不確定。針對(duì)傳統(tǒng)成本會(huì)計(jì)在需求量不確定條件下不能準(zhǔn)確核算產(chǎn)能成本，本文采用作業(yè)成本法建立了承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量的期望利潤(rùn)模型。在此基礎(chǔ)上，考慮需求時(shí)間的不確定和承諾交貨時(shí)間可靠性，根據(jù)企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程，運(yùn)用排隊(duì)理論建立了承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量的M/M/1模型。通過(guò)對(duì)模型的分析證明了M/M/1模型為凹規(guī)劃，給出了最優(yōu)承諾交貨時(shí)間和最優(yōu)產(chǎn)能滿足的方程組。

本文的M/M/1模型是在假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程為M/M/1的前提下建立的。在實(shí)際當(dāng)中，企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程一般為G/G/1。根據(jù)排隊(duì)理論可知，當(dāng)承諾交貨時(shí)間可靠性較高時(shí)(一般為95%以上)[11]，M/ M/1排隊(duì)模型近似于G/G/1排隊(duì)模型。因此，本文的M/M/1模型可推廣應(yīng)用于承諾交貨時(shí)間可靠性較高生產(chǎn)過(guò)程為G/G/1的企業(yè)。

本文研究的是自由競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中的訂單生產(chǎn)式企業(yè)，價(jià)格受市場(chǎng)影響。所以把價(jià)格看作常量。但是在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中會(huì)存在著價(jià)格壟斷的企業(yè)，它們具有價(jià)格的決定權(quán)。因此，在不確定需求下，建立以企業(yè)期望利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，以價(jià)格、承諾交貨時(shí)間和產(chǎn)能為決策變量的模型將會(huì)是我們要研究的。

附錄1：g(l,x)=e-{x-E[D(l)]}l為凸函數(shù)

引理1f(x,y)是二元函數(shù)，當(dāng)f(x,y)?R2時(shí)，f(x,y)是凸函數(shù)的充要條件是[29]：

引理2 如果f和g是凸函數(shù)，且g遞增，那么h(x)=f(g(x))是凸函數(shù)。

證明：設(shè)g(l,x)=e-G(x,l),G(x,l)={x-E[D(l)]}l。

因?yàn)镋[D(l)]=a-bl+E(ε)，所以有：G(x,l)={x- [a-bl+E(ε)]}l。根據(jù)引理1得：

所以，G(x,l)為凸函數(shù)。又因?yàn)樵O(shè)x10，又因?yàn)閘>0，所以x-E[D(l)]>0。那么，x2-[a-bl2+E(ε)]>0，則有：G(x2,l2)>G(x2,l1)。又因?yàn)镚(x2,l1)-G(x1,l1)= {x2-[a-bl1+E(ε)]-{x1-[a-bl1+E(ε)]}}l1= (x2-x1)l1>0，所以G(x2,l1)>G(x1,l1)。所以，G(x,l)為增函數(shù)。又因?yàn)閑為底的負(fù)指數(shù)函數(shù)是凸函數(shù)，所以根據(jù)引理2可知g(l,x)為凸函數(shù)，至此證畢?！?/p>

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Promised Lead Time and Capacity Decision-Making Based on Demand is Uncertain

XIE Xiang-tian1，ZHANG Bi-xi2

(1.The open University of Guangdong/Guangdong Polytechnic Institute, Guangzhou 510091,China;2.School of Management,Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China)

In the market of online-customized products, demands possess uncertainty in both amount and time.In this paper, a promised lead time and capacity decision-making model is proposed by taking expected profit as the objective function with the Activity Based Costing, considering the demands are sensitivity of promised lead time and stochastic. A recursive mathematical expression of the optimal promised lead time and the optimal capacity is obtained by analyzing the model. On this basis, building up the M/M/1 model by taking the reliability of promised lead time as limiting condition with the queuing theory. It is proved that the M/M/1 model is Concave Programming, and equations of the optimal promised lead time and the optimal capacity are obtained. At last, through numerical example the optimal promised lead time and the optimal capacity are restricted by the reliability of promised lead time, and with the improvement of the reliability of promised lead time, the optimal promised lead time is increasing; the optimal capacity and the optimal expected profit are decreasing. The research shows that the optimal promised lead time and the optimal capacity are got through combining with the reliability of the promised lead time, which can improve the utilization rate of capacity and the accuracy of lead time.

uncertain demand; capacity; promised lead time; M/M/1

1003-207(2016)11-0073-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.11.009

2015-03-13；

2015-08-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71271060，70971026)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(S2012010009278，2014A030310285)；廣東理工職業(yè)學(xué)院資助項(xiàng)目(1610)

謝祥添(1981-)，男(漢族)，廣東清遠(yuǎn)人，廣東開放大學(xué)講師，博士生，研究方向：管理科學(xué)與工程，E-mail:122627748@qq.com.

C934

A