數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究

何金明 楊柳

摘 要 當(dāng)前，實(shí)際教學(xué)與理論研究中，對中學(xué)數(shù)學(xué)例題教學(xué)功能沒有全面的認(rèn)識，數(shù)學(xué)例題教學(xué)方法與教學(xué)要求認(rèn)識存在偏差。數(shù)學(xué)例題教學(xué)的最終目的是讓學(xué)生學(xué)會思考，因此，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，要加強(qiáng)學(xué)生“心理品質(zhì)”、“思維品質(zhì)”的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 例題 心理品質(zhì) 思維品質(zhì) “引導(dǎo)性”問題

數(shù)學(xué)例題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)知識的掌握、數(shù)學(xué)能力的提高、數(shù)學(xué)思想方法的養(yǎng)成、學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)都需要數(shù)學(xué)例題的教學(xué)去實(shí)現(xiàn)，“通過例題教學(xué)，要達(dá)到掌握雙基、傳授方法、揭示規(guī)律、啟發(fā)思想、培養(yǎng)能力的目的”。[1]因此，數(shù)學(xué)例題教學(xué)是決定數(shù)學(xué)教學(xué)效果的關(guān)鍵之一。

一、數(shù)學(xué)例題教學(xué)存在的問題

1.對數(shù)學(xué)例題教學(xué)功能沒有全面的認(rèn)識

《談新課標(biāo)下高一數(shù)學(xué)差生的原因及培養(yǎng)策略》一文，作者對某地高一年級學(xué)生做了調(diào)查，分析發(fā)現(xiàn)：“70%的學(xué)生數(shù)學(xué)成績差，不理想，學(xué)習(xí)困難吃力；20%學(xué)生成績屬于中等水平；10%的學(xué)生數(shù)學(xué)成績較好?！盵2]我們不妨把這70%的數(shù)學(xué)成績差的學(xué)生稱為“學(xué)差生”，“學(xué)差生”的比例很高，這不禁讓人深思，新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)教育存在哪些問題？數(shù)學(xué)“學(xué)差生”的產(chǎn)生，有智力的與非智力的因素。通過對有關(guān)研究數(shù)學(xué)“學(xué)差生”文獻(xiàn)資料的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，為解決學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，老師們想了很多方法和措施，這些方法和措施的實(shí)施，共同的作用就是加大了學(xué)生的學(xué)習(xí)強(qiáng)度。比如有研究者認(rèn)為：“數(shù)學(xué)課教師要在新課程理念指導(dǎo)下科學(xué)設(shè)置例題，精講多練，逐步培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力”。[3]而從改進(jìn)例題教學(xué)的角度去解決數(shù)學(xué)“學(xué)差生”問題的研究不多。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)例題教學(xué)的過程，既是“掌握雙基、傳授方法、揭示規(guī)律、啟發(fā)思想、培養(yǎng)能力”的過程，又是學(xué)生“思維品質(zhì)、心理品質(zhì)”的培養(yǎng)過程。解決數(shù)學(xué)問題的過程中，不僅需要良好的“思維能力”，也需要“不怕困難、勇于探索”的精神，需要“沉著冷靜、細(xì)致周密”的處事風(fēng)格等“心理品質(zhì)”。也就是說，例題教學(xué)除了具有“掌握雙基、傳授方法、揭示規(guī)律、啟發(fā)思想、培養(yǎng)能力”的功能之外，還應(yīng)該具有培養(yǎng)學(xué)生“心理品質(zhì)”的功能。這可以說是過去我們對數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)空白，需要教師去探索、去發(fā)掘。

2.數(shù)學(xué)例題教學(xué)方法認(rèn)識偏差

在實(shí)際教學(xué)工作中，對于數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，很多教師教學(xué)目的單純，就是以解決例題所涉及的問題為目的。因而也就不會花時(shí)間和精力去分析例題、研究例題對于學(xué)生的其他教育功能。“不少教師照本宣科，其枯燥乏味讓學(xué)生大倒胃口，失去學(xué)習(xí)的興趣和熱情?！盵4]我們常?？吹剑诶}教學(xué)中，有很多老師要求學(xué)生記住一類問題的解法，數(shù)學(xué)題目解法類型化。大多數(shù)學(xué)生則只是模仿老師的解題思路與方法，例題教學(xué)對于他們來說就是一種“模仿”學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果、實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目的的方法就是做大量的練習(xí)，學(xué)習(xí)方法簡單地成為了“題海戰(zhàn)術(shù)”，因而造成“一聽就懂，一做就錯(cuò)”[5]的學(xué)習(xí)怪圈。學(xué)生的學(xué)習(xí)，都要依賴于多講、多練、多輔導(dǎo)，節(jié)假日、雙休日要補(bǔ)課就不足為奇了。

波利亞認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是讓學(xué)生學(xué)會思考，數(shù)學(xué)例題教學(xué)也是這樣。實(shí)際上，問題是千變?nèi)f化的，只有培養(yǎng)學(xué)生有良好的心理品質(zhì)，有較強(qiáng)的思維能力，才能使學(xué)生具備靈活解決問題的能力?！叭说恼_思想是從哪里來的？是從天上掉下來的嗎？不是。是自己頭腦里固有的嗎？不是。人的正確思想，只能從社會實(shí)踐中來，只能從生產(chǎn)斗爭、階級斗爭和科學(xué)實(shí)驗(yàn)這三項(xiàng)實(shí)踐中來”。任何數(shù)學(xué)例題的解決都有其知識經(jīng)驗(yàn)的、思想方法的根源。因此，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)方法上，不是老師教學(xué)生解題，應(yīng)該是老師組織、指導(dǎo)學(xué)生分析問題，師生一道探究問題的解決策略，尋找例題的解決方法。

3.數(shù)學(xué)例題教學(xué)要求認(rèn)識偏差

“懂了嗎？”我們常常聽到老師上課時(shí)會向?qū)W生發(fā)出這樣的提問，尤其低年級更是如此。對于數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，很多老師和學(xué)生也是把“聽懂了”作為例題教學(xué)任務(wù)是否完成、教學(xué)目的是否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)志?！皩}學(xué)習(xí)的重要性，學(xué)生必須明確一點(diǎn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有‘差不多’已經(jīng)懂了的概念，而只有懂與不懂兩個(gè)層次。”[5]尤其是“學(xué)差生”，他們往往把“聽懂了”作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界，“聽懂了”他就滿足了。什么叫“聽懂了？”“懂”即“了解”、“明白”之意。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，“懂了”不是數(shù)學(xué)例題教學(xué)的終極目的，“懂了”不應(yīng)該是我們最終要達(dá)到的數(shù)學(xué)例題教學(xué)效果。從思維水平上分析，“了解”、“明白”只是學(xué)生對教師例題解法的認(rèn)同與接受。而不是在教學(xué)互動中掌握了解題的思想方法，形成了自己的分析問題的思維結(jié)構(gòu)。對于例題教學(xué)的目的要求，應(yīng)該達(dá)到的教學(xué)效果，目前沒有確定的標(biāo)準(zhǔn)，但數(shù)學(xué)家波利亞的“怎樣解題”表為我們指明了方向。根據(jù)波利亞的“怎樣解題”表，學(xué)生的數(shù)學(xué)例題學(xué)習(xí)就不止于“懂與不懂”兩個(gè)層次了。

二、數(shù)學(xué)例題教學(xué)中心理品質(zhì)的養(yǎng)成

許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失敗的主要原因在于其心理品質(zhì)，許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)良好也可歸功于其良好的心理品質(zhì)。學(xué)生的心理品質(zhì)對能否有效解題影響很大?！皵?shù)學(xué)差生的行為受到來自自我（self）的影響。他們對自我的認(rèn)識是消極的、偏執(zhí)的、頑固的，對未來的自我是不懷希望的”[6]。

以“意志”為例，很多數(shù)學(xué)“學(xué)差生”不是因?yàn)橹橇Φ拖拢且庵酒焚|(zhì)薄弱，自制力差，缺乏毅力和恒心，缺乏戰(zhàn)勝困難的勇氣和鍥而不舍的精神，不能長期堅(jiān)持勤奮刻苦的學(xué)習(xí)狀態(tài)，一遇到困難就裹足不前、垂頭喪氣，甚至自暴自棄。由于各種因素，我國當(dāng)代青少年特別是獨(dú)生子女，意志品質(zhì)薄弱者占有很大的比例。愛因斯坦告誡人們：“優(yōu)秀的性格和鋼鐵般的意志，比智慧和博學(xué)更為重要”?！皩τ谇嗌倌攴e極心理品質(zhì)發(fā)展而言，……如果我們能在學(xué)校心理健康課堂或?qū)W科教育課堂以及其他活動中對于適合其年齡階段的積極心理品質(zhì)進(jìn)行全方位培養(yǎng)，學(xué)生積極心理品質(zhì)的發(fā)展就能獲得最有效的促進(jìn)?！盵7]

對于不同的學(xué)生，他的心理品質(zhì)在他的解題過程中都能體現(xiàn)出來。有的沉著冷靜、有的浮燥冒進(jìn)、有的粗心大意、有的細(xì)致周密、有的自信勇敢、有的消沉懦弱等。因此，在例題教學(xué)中，教師可以通過學(xué)生的解題嘗試，發(fā)現(xiàn)其心理品質(zhì)方面存在的問題，要向?qū)W生指正，說明這些心理品質(zhì)欠缺對其學(xué)習(xí)、成長的危害，并給予正確的導(dǎo)向。從而幫助學(xué)生改善其不良心理品質(zhì)，發(fā)展、培養(yǎng)良好的心理品質(zhì)。應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識到，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)能力的過程，而且是檢驗(yàn)人的心理品質(zhì)，促進(jìn)心理發(fā)展的過程，作為學(xué)生，要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有意識、有目的地健全自己的心理品質(zhì)。

三、數(shù)學(xué)例題教學(xué)中思維品質(zhì)的養(yǎng)成

關(guān)于數(shù)學(xué)思維的積極性活動，人們共同的看法是它決定于思維品質(zhì)?！皵?shù)學(xué)思維品質(zhì)”[9]實(shí)質(zhì)就是人的數(shù)學(xué)思維的個(gè)性特征，它體現(xiàn)了每個(gè)個(gè)體思維水平、智力與能力的差異，是衡量數(shù)學(xué)思維優(yōu)劣、判斷數(shù)學(xué)能力高低的主要指標(biāo)。它包括思維的目的性、思維的深刻性、思維的靈活性、思維的批判性、思維的獨(dú)創(chuàng)性、思維的條理性、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和思維的廣闊性等。學(xué)生思維能力的高低主要就體現(xiàn)在思維品質(zhì)的差異上。

多年來，國內(nèi)外許多先進(jìn)的教學(xué)方法與經(jīng)驗(yàn)表明，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展其數(shù)學(xué)能力的突破點(diǎn)和有效的途徑。所以，在數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)上，往往要抓住數(shù)學(xué)思維品質(zhì)這個(gè)突破口，而數(shù)學(xué)例題教學(xué)則是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)養(yǎng)成的主要平臺。在例題教學(xué)時(shí)，重視對分析問題、解決問題過程中的思維品質(zhì)的培養(yǎng)，讓學(xué)生在體驗(yàn)思維品質(zhì)的過程中養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，既是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的短板，更是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果的突破口。

四、數(shù)學(xué)例題教學(xué)分析舉例

一般情況下，這個(gè)例題的教學(xué)就結(jié)束了。但如果是這樣，作業(yè)布置下去，就會發(fā)現(xiàn)，會有絕大多數(shù)學(xué)生采用第一種解法。而這個(gè)例題是在學(xué)習(xí)“三角函數(shù)的基本關(guān)系”時(shí)為鞏固新知識、運(yùn)用新知識的一道例題。學(xué)生為什么會選擇解法一，原因很簡單，就是解法一相對容易，解法二相對較難。因此，教師接下來還應(yīng)該與學(xué)生一起比較兩種解法，既肯定他們沒有忘記舊知識，得出解法一，又強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)上為獲得新知識、培養(yǎng)新能力，要不怕困難，要有迎難而上的進(jìn)取精神。一開始老師的三個(gè)提問，用到的都是第一人稱“我們”，老師把自己與學(xué)生擺在同樣的角色位置，學(xué)生和老師都是探索的主體，這樣有助于學(xué)生主動性的發(fā)揮。三個(gè)問題都是引導(dǎo)性問題，引導(dǎo)學(xué)生思考的方向、目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生怎樣思考與分析研究，問題（1）是常見的，多數(shù)學(xué)生也能這樣思考；問題（2）的提出，啟發(fā)了學(xué)生的思維，使其思維指向廣闊的知識經(jīng)驗(yàn)；問題（3）則使學(xué)生思維有明確的目的。三個(gè)問題聯(lián)結(jié)起來，形成解決問題的系統(tǒng)思路，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和系統(tǒng)性，是必不可少的。

例2 求函數(shù)y=的最大值和最小值。

如果沒有相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，或沒有得到思維品質(zhì)的培養(yǎng)，學(xué)生一開始看到此題，真的一頭霧水，不知所措。因此，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生觀察分析：首先這是求函數(shù)最值的問題，不同類型函數(shù)的最值問題有不同的解決方法，師生共同回顧有關(guān)函數(shù)的最值問題，這就使得學(xué)生的思維得到廣闊的展開。其次，可以從本題函數(shù)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、變形上設(shè)計(jì)“引導(dǎo)性”問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：從內(nèi)容上，有正弦、余弦，要討論函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)該考慮弦化切；從函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式上，可以類比兩點(diǎn)連線的斜率公式；從函數(shù)變形上，可以考慮對函數(shù)式作適當(dāng)變形，從而轉(zhuǎn)化成asinx+bcosx的形式，這就是大家熟悉的了。老師在教學(xué)過程中，設(shè)計(jì)的“引導(dǎo)性”問題，要點(diǎn)到為止，啟而不發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去觀察、分析問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性等思維品質(zhì)。

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【責(zé)任編輯 郭振玲】