一道高考試題結論的引申與探究

?

一道高考試題結論的引申與探究

湖南省瀏陽市第一中學1309班(410300)羅邯

1.考題再現(xiàn)

2014年四川省高考數(shù)學卷理科第20題

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

(ⅰ)證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標原點)；

對于第(1)問,易求得橢圓C的標準方程為

2.引申與探究

圖1

(1)若y0=0,則線段PQ垂直于x軸,顯然OT平分線段PQ.

綜合(1)、(2)可得結論成立．

顯然,若x0=c(或-c),則定點F和定直線l分別是橢圓的焦點和準線.

上述結論能否類比到雙曲線上呢?答案是肯定的.于是就有如下的結論:

圖2

證明方法與結論1的類似,本文不再贅述．

同樣，若x0=c(或-c),則定點F和定直線l分別是雙曲線的焦點和準線．

橢圓和雙曲線稱為有心圓錐曲線，而拋物線則稱為無心圓錐曲線．經(jīng)過研究，對于拋物線有如下的結論：

結論3如圖3，已知拋物線y2=2px，F(xiàn)(x0,0)是x軸上一定點，直線l:x=x0-p是相應于定點F的定直線，T為直線l上任意一點，過定點F作TF的垂線交拋物線于P、Q兩點，則過點T且與y軸垂直的直線平分線段PQ．

圖3

證明：設T(x0-p,t)，

(1)若t=0，則線段PQ的中點即為F，結論顯然成立．

綜合(1)、(2)可得結論成立．

在解決一個問題后，思考此問題相應的逆命題是否成立．通過探究可以得出如下結論．

證明:因為M與定點F不重合,所以弦PQ所在直線的斜率存在且不為零(因x0≠0).

設PQ:y=k(x-x0)(k≠0),

結論6設M是拋物線y2=2px的過定點F(x0,0)的弦PQ的中點,且M與定點F不重合,則過M和y軸垂直的直線與過點F垂直于弦PQ的直線的交點落在定直線l:x=x0-p上.

結論5和結論6的證明過程與結論4的證明過程類似,在此不再再贅述.

(注：本文得到朱保倉老師指導，特此致謝！)