能否用一元二次方程根的分布判定直線與圓的位置關(guān)系

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能否用一元二次方程根的分布判定直線與圓的位置關(guān)系

湖北省監(jiān)利中學(xué)(433300)雷雨田

1提出問題

一道傳統(tǒng)題，常見解法有數(shù)形結(jié)合，三角代換和導(dǎo)數(shù)法，當(dāng)然也容易想到轉(zhuǎn)化為一元二次方程來考慮.

思路2題意轉(zhuǎn)化為f(x)=0在x∈[-4,4]上有兩個(gè)不等實(shí)根，于是

以上是解答時(shí)常見的轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩種思路，特別是思路2，貌似考慮了x∈[-4,4]的限制，為何與思路1的結(jié)果還是一模一樣，是巧合？還是利用一元二次方程根的分布方法判定直線與圓的位置關(guān)系根本無效?

聯(lián)想到學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)》必修2(人民教育出版社)P127頁時(shí)的困惑：

P127頁第4.2.1節(jié)例1已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關(guān)系.

解：由直線與圓的方程，得

在這個(gè)例題的學(xué)習(xí)時(shí)，就有這樣的困惑：由圓C:x2+(y-1)2=5知，問題應(yīng)當(dāng)還要加上x∈

2分析問題

思路2考慮f(x)=(k2+1)x2+2kmx+m2-r2=0在x∈[-r,r]上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根:

看來真不是巧合，直線與圓的位置關(guān)系判定，不需要考慮x∈[-r,r]的限定，不需要用一元二次方程根的分布，只要△>0，直線與圓相交；△=0直線與圓相切；△<0直線與圓相離.

這兩個(gè)解法正好解答了前面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)《必修》2教材P127頁的困惑.

那么是否說例題也不需要用根的分布方法來解決了嗎？

再回到原來的例題：

3解決問題

綜上所述，解法一回答了怎樣利用一元二次方程根的分布解直線與圓，直線與半圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.

而解法二、三、四的實(shí)質(zhì)都是將方程根的個(gè)數(shù)問題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，其中解法二在處理直線與半圓的交點(diǎn)時(shí)更常見.

4高考鏈接

圖1