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    尋根問源 多方探究——一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的探究歷程

    2016-04-06 02:20:42殷偉康,吳進(jìn)
    關(guān)鍵詞:凹凸證法解題

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    尋根問源多方探究
    ——一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的探究歷程

    江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué)(215512)殷偉康吳進(jìn)

    1問題提出

    2(b-a)≤cosπa-cosπb.(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題第13題)

    此題雖然是一道解答題,但題干精練簡(jiǎn)潔,個(gè)性鮮明,內(nèi)涵豐富,看似普通,卻越探索越感到有“味道”,越能體會(huì)到命題者的匠心獨(dú)具,不虧為一道魅力無窮的好題.筆者試從探索其解法入手,逐步揭開它“神秘”的面紗,并給出它的奇妙多解.

    2.常規(guī)方法

    對(duì)于學(xué)過導(dǎo)數(shù)的學(xué)生,此題的入手并不難,根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征,通過聯(lián)想,可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+cosπx ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.

    這個(gè)證法是參考答案給出的,筆者試從學(xué)生實(shí)際認(rèn)知和思維能力角度出發(fā)來思考問題,探究其解法.上述證明過程中的二階求導(dǎo)對(duì)部分學(xué)生來說不易理解,能否進(jìn)一步改進(jìn)證法使它能更適合一般學(xué)生的“口味”.

    x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,π)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘

    下面同證法一.

    通過對(duì)原解題方法的改進(jìn),使其更貼近學(xué)生的實(shí)際思維水平,這是因?yàn)槎A求導(dǎo)在中學(xué)階段并沒有給出相應(yīng)的實(shí)際意義,而且接觸得很少,所以一般不直接去涉及這方面內(nèi)容.

    3三角方法

    筆者在不經(jīng)意間想到,上述解題方法涉及到導(dǎo)數(shù)知識(shí),但在我市有不少高一學(xué)生也參加了這次高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,他們僅學(xué)過了蘇教版《必修一》和《必修四》,掌握的僅是函數(shù)、三角、向量等知識(shí),那么他們應(yīng)如何入手求解這個(gè)問題呢?筆者根據(jù)問題結(jié)論的外表形態(tài)與結(jié)構(gòu),聯(lián)想相關(guān)圖形(余弦函數(shù)圖像),試從三角函數(shù)圖像角度入手,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.

    圖1

    ①+②有cosπa-cosπb≥2(b-a)成立,即得證.

    證法三:直接看y=cosπx,x∈[0,1]的圖像(如圖2),如圖過點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的垂線,兩垂線相交于點(diǎn)M,利用證法二設(shè)點(diǎn)A、B,則M(a,cosπb),記M′為(0,-1),則|AM|=cosπa-cosπb,|BM|=b-a.考察y=cosπx,x∈[0,1]的圖像,根據(jù)其凹凸性知∠ABM≥∠A′B′M′, ∴tan∠ABM≥tan∠A′B′M′, 即

    圖2

    我們知道,余弦函數(shù)圖像是可由正弦函數(shù)圖像變換得來的,能否利用正弦函數(shù)來處理呢?

    圖3

    此法讓人感到:圖像清晰,方法簡(jiǎn)明,一氣呵成,妙解也!

    此結(jié)論證法較多,下面用導(dǎo)數(shù)方法證之:

    4解題反思

    章建躍先生認(rèn)為,從數(shù)學(xué)角度衡量,“好題”應(yīng)具有以下“品質(zhì)”:與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān),體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性,解題方法自然、多樣,具有自我生長(zhǎng)的能力等;從培養(yǎng)思維能力的角度,則應(yīng)有:?jiǎn)栴}是自然的,對(duì)學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)性,題意明確、不糾纏于細(xì)枝末節(jié),表述形式簡(jiǎn)潔、流暢、好懂等.按此“標(biāo)準(zhǔn)”,上述競(jìng)賽題就是一個(gè)“好題”,問題正好貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū),既有解決的可能性,又有挑戰(zhàn)性,它不僅適合不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究,而且還可以在追根溯源的過程中,加以引伸與推廣.

    反思解題過程,分析問題特征、數(shù)學(xué)關(guān)系,重新審視探究過程(上述四種證法),不難發(fā)現(xiàn)原問題的實(shí)質(zhì)就是三角函數(shù)的凹凸性. 函數(shù)f(x)的凹凸性的知識(shí)在高中教材中有其蹤跡,如蘇教版《數(shù)學(xué)·必修1》第二章第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”第55頁習(xí)題“探究·拓展”第12題,第二章第三節(jié)“對(duì)數(shù)函數(shù)”第71頁習(xí)題“探究·拓展”第12題.若能以這兩個(gè)“探究·拓展”習(xí)題作為探究問題,引導(dǎo)學(xué)生開展有效的探活動(dòng),在探究活動(dòng)中讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,可以使學(xué)生深切體驗(yàn)到新知識(shí)的產(chǎn)生、證明和應(yīng)用過程,積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展數(shù)學(xué)能力.教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī),及時(shí)對(duì)這兩個(gè)習(xí)題進(jìn)行適度拓展與延伸,誘導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步的探究,還可以適時(shí)引進(jìn)判斷函數(shù)f(x)的凹凸性的簡(jiǎn)潔方法(二階求導(dǎo)),有利于學(xué)生加深對(duì)函數(shù)f(x)的凹凸性的理解和運(yùn)用,把握函數(shù)f(x)的凹凸性的本質(zhì)規(guī)律,促進(jìn)學(xué)生思維由具體向抽象推進(jìn).這樣的教學(xué)才是有效的,使學(xué)生遇到上述相似問題就會(huì)產(chǎn)生有效聯(lián)想,通過類比,進(jìn)行合理求解.否則,不僅良好的教學(xué)素材會(huì)被輕易地“滑過”,而且很難想象學(xué)生會(huì)聯(lián)想到這一方面知識(shí)進(jìn)行有效思維.

    數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí),是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)中提煉而得出的數(shù)學(xué)觀點(diǎn).上面四種證法中的后三種證法均是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解,即由問題的結(jié)論特征,聯(lián)想到余弦函數(shù)或正弦函數(shù)圖像,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而使代數(shù)問題幾何化,使問題得到解決.筆者從“形”的角度進(jìn)行思考,抓住題目中所給的式子,觀察其結(jié)構(gòu)特征,從它們的幾何意義入手.根據(jù)問題所給信息,通過數(shù)形聯(lián)想,挖掘其幾何背景,進(jìn)行圖形表征,利用數(shù)形結(jié)合思想,得到新穎、優(yōu)美、簡(jiǎn)潔的解題方法.

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