以拐點(diǎn)偏移為背景的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題命制*——兼談試題處理策略

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以拐點(diǎn)偏移為背景的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題命制*
——兼談試題處理策略

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)(363123)田富德陳小燕

文[1]對極值點(diǎn)偏移問題提出了巧妙的處理策略，輕松解決了一類高考題、省市質(zhì)檢題的壓軸題，體現(xiàn)了教學(xué)中注重通性通法的解題策略，這是文[1]的一大亮點(diǎn).筆者將分析法解題思想滲透于本文的自編試題之中.受到文[1]的啟發(fā)，極值點(diǎn)偏移問題的處理策略基于軸對稱思想進(jìn)行構(gòu)造差函數(shù)，進(jìn)而逆用單調(diào)性解題.那么我們是否可以基于中心對稱思想進(jìn)行構(gòu)造差函數(shù)處理新的一類試題呢？本文嘗試以拐點(diǎn)偏移函數(shù)為背景命制新的一類函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題，并給出相應(yīng)的解題策略.

1背景函數(shù)

1.1以常見不等式“ex≥x+1”為背景命制試題

(Ⅰ)求函數(shù)f′(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>g(x)；

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)+f(x2)=0，證明：x1+x2<0.

解：(Ⅰ)f′(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減；在(0,+∞)上單調(diào)遞增.f′(0)=0為f′(x)極小值，無極大值.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，f′(x)≥0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(0)=0.因?yàn)閤1≠x2，不妨設(shè)x10，要證x1+x2<0，即證x1<-x2.因?yàn)閒(x)單調(diào)遞增，故只需證-f(x2)=f(x1)0，因?yàn)閤2>0，由(Ⅱ)知上不等式成立，從而x1+x2<0成立.

1.2以常見不等式“l(fā)nx≤x-1”為背景命制試題

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)證明：當(dāng)x1≠x2，且f(x1)+f(x2)=0時(shí)，x1+x2>2.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2lnx-4x，函數(shù)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程；

(Ⅱ)證明：當(dāng)x1≠x2，且f(x1)+f(x2)=-6時(shí)，f′(x1+x2)>1.

令F(x)=f(x)+f(2-x)=x2+2lnx-4x+(2-x)2+2ln(2-x)-4(2-x),x∈[1,+∞),化簡得F(x)=2[x2-2x-2+lnx+ln(2-x)].

所以(*)式成立，即有f′(x1+x2)>1成立.

(Ⅱ)設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)的圖像上不同的兩點(diǎn)，且滿足f(x1)+f(x2)=0，線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，證明：ax0>1.

2命題策略

本文以拐點(diǎn)偏移問題為背景命制一類函數(shù)導(dǎo)數(shù)的試題，根據(jù)拐點(diǎn)的定義，我們要保證函數(shù)二階導(dǎo)有零點(diǎn)，同時(shí)還要求一階導(dǎo)恒大于等于零(或小于等于零)，以保證原函數(shù)具有單調(diào)性.故我們首先由熟知的不等式構(gòu)造相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)，再對函數(shù)上下平移或左右平移，來調(diào)整拐點(diǎn)的位置，以控制試題的難度.

弄清問題的本質(zhì)，解題則勢如破竹，而對原問題進(jìn)行改編、新編也易如反掌.中學(xué)數(shù)學(xué)教師要有良好的解題基本功，才能更好的服務(wù)課堂教學(xué).堅(jiān)持做題，是命題的基礎(chǔ)，對試題命題研究，可以站在解題的至高點(diǎn)上，得出解題的一般規(guī)律，以促進(jìn)數(shù)學(xué)特長生的培養(yǎng).解題與命題和數(shù)學(xué)特長生培養(yǎng)相長，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視解題研究和命題研究.

3解題策略

無論是極值點(diǎn)偏移問題，還是拐點(diǎn)偏移問題，均是已知f(x1)與f(x2)關(guān)系，證明與x1,x2有關(guān)的不等式.其本質(zhì)上是證明雙變量不等式問題，而先由條件消元再構(gòu)造函數(shù)是解決雙變量問題的有效途徑之一.在條件為雙變量的函數(shù)方程時(shí)，要由條件將變量x1用另一個(gè)變量x2表示幾乎不可能，故將所證不等式逆用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為與f(x1)、f(x2)有關(guān)的不等式是一個(gè)有效策略，再結(jié)合條件代入消元，構(gòu)造函數(shù)即可.

文[1]對極值點(diǎn)偏移問題，給出了巧妙的解題策略，并歸納出規(guī)范的解題策略，給出了嚴(yán)格的解題步驟，給學(xué)生解題指明了方向.

在高考創(chuàng)新試題層出不窮的大環(huán)境下，學(xué)生首先要掌握基本的知識方法和解題策略，對新題、難題的突破，筆者更支持在掌握雙基的前提下，淡化特殊技巧、重視思想方法、去模式化的解題策略，以不變應(yīng)萬變，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.筆者在本文自編例題的最后一問的解答均保留了分析法的解題規(guī)范，個(gè)人認(rèn)為這樣可以讓解法顯得更流暢一些，也更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.分析法解題，可以有效建立起問題已知與求解之間的橋梁，利用熟知的知識方法去解決各類未知的創(chuàng)新試題，也是培養(yǎng)學(xué)生解題思維的廣闊性、逆向性等的重要途徑之一.分析法解題，體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

4你來試試

(Ⅰ)探求函數(shù)g(x)=f(x)+m-x2在區(qū)間(0,+∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(Ⅱ)證明：當(dāng)x1≠x2，且f(x1)+f(x2)=0時(shí)，x1+x2>2.

參考文獻(xiàn)

[1]邢友寶.極值點(diǎn)偏移問題的處理策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.上旬，2014(7)：19-22.

*本文系2015年度漳州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀與優(yōu)化》階段性研究成果.