正三角形性質(zhì)補(bǔ)遺

楊云奎

如圖1，△ABC為正三角形，P為其內(nèi)部任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向三角形的三邊作垂線，垂足分別是D、E、F，連接PA、PB、PC.

文[1]通過研究得出：

（1）AF+BD+CE=FB+DC+EA；

（2）正△ABC被分成了6個(gè)直角三角形，這6個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓

半徑依次記為r1、r2、r3、r4、r5、r6，則r1+r3+r5=r2+r4+r6.

筆者在文[1]研究的基礎(chǔ)上又發(fā)現(xiàn)了三條新的結(jié)論，權(quán)作補(bǔ)遺.

性質(zhì)1AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2；

性質(zhì)2四邊形AEPF、四邊形BFPD與四邊形CDPE都是圓內(nèi)接四邊形，且四邊形外接圓圓心恰是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；

性質(zhì)3記△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面積分別為S1、S2、S3、S4、S5、S6，則S1+S3+S5=S2+S4+S6.

證明1.如圖1，因PD、PE、PF分別垂直于BC、CA、AB，所以△AFP、△FBP、△BDP、△DCP、△CEP、△EAP都是直角三角形.

由勾股定理：AF2+BD2+CE2=（PA2-PF2）+（PB2-PD2）+（PC2-PE2）

=（PA2+PB2+PC2）-（PD2+PE2+PF2），①

FB2+DC2+EA2=（PB2-PF2）+（PC2-PD2）+（PA2-PE2）

=（PA2+PB2+PC2）-（PD2+PE2+PF2），②

比較①、②兩式，即得：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2.圖2

2.如圖2，取PA的中點(diǎn)記為O1，因PE、PF分別垂直于CA、AB，

所以△AFP與△AEP是直角三角形.于是有O1A=O1P=O1E=O1F.

故點(diǎn)A、E、P、F四點(diǎn)在以O(shè)1為圓心，O1A長為半徑的圓上.即四邊形AEPF內(nèi)接于⊙O1.

取PB、PC的中點(diǎn)O2、O3，類似地可以證得：四邊形BFPD內(nèi)接于⊙O2，四邊形CDPE內(nèi)接于⊙O3.

因O1、O2、O3分別是PA、PB、PC中點(diǎn)，所以O(shè)1O2、O2O3、O3O1分別是△PAB、△PBC、△PCA的中位線，所以有O1O2=12AB，O2O3=12BC，O3O1=12CA，因△ABC是正三角形，所以AB=BC=CA，從而O1O2=O2O3=O3O1，所以△O1O2O3是正三角形.圖3

3.如圖3，過點(diǎn)P分別作AB、BC、AC的平行線，與△ABC三邊AB、BC、CA交點(diǎn)是R、M、Q、S、N、T.

記△PBQ的面積為S11，△PQD的面積為S12，△PDS的面積為S21，△PSC的面積為S22，△PCN的面積為S31，△PNE的面積為S32，△PET的面積為S41，△PTA

的面積為S42，△PAR的面積為S51，△PRF的面積為S52，△PFM

的面積為S61，△PMB的面積為S62.

顯然：S1=S11+S12，S2=S21+S22，S3=S31+S32，

S4=S41+S42，S5=S51+S52，S6=S61+S62.

由MN∥BC，QT∥AB，RS∥AC知：四邊形MBQP、NPSC、ARPT

都是平行四邊形，因平行四邊形的對角線平分其面積，于是有：S11=S62，S31=S22，S51=S42.

因△ABC是正三角形且MN∥BC，QT∥AB，RS∥AC易得：△PQS、△PNT、△PRM都是正三角形，而PD、PE、PF分別是正三角形△PQS、△PNT、△PRM的高，所以PD、PE、PF分別等分△PQS、△PNT、△PRM的面積.即：S12=S21，S32=S41，S52=S61.

從而S11+S12+S31+S32+S51+S52=S62+S21+S22+S41+S42+S61.

也就是：S1+S3+S5=S2+S4+S6.

參考文獻(xiàn)

[1]呂偉波.正三角形的兩個(gè)有趣性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（6）：40.