初三復(fù)習(xí)中的線段中點問題

白新慧

線段中點是幾何圖形中的一個特殊點，與線段中點有關(guān)的圖形問題是初中數(shù)學(xué)的重要題型，也是各地中考試卷中的高頻考點.與線段中點有關(guān)的結(jié)論很多，比如等腰三角形三線合一、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、三角形中位線定理、平行四邊形兩條對角線的交點平分兩條對角線，圓的垂徑定理及其推論等.在初三總復(fù)習(xí)的教學(xué)過程中教師應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學(xué)生運用中點巧妙靈活地解決問題呢？

1梳理與中點有關(guān)的知識，使中點知識體系化

把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段的中點，這是線段中點的定義，由線段的中點我可以得到線段之間的和差倍分關(guān)系.三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線，三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，對于等腰三角形有其特有的性質(zhì)，遇到底邊上的中點，想到三線合一，對于直角三角形遇到斜邊上的中點常想到“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”這一重要性質(zhì)，三角形中遇到兩邊的中點時，常常想到三角形的中位線定理，平行四邊形中，兩條對角線的交點平分兩條對角線，圓中遇到弦的中點，常聯(lián)想“垂徑定理及其推論”等知識.但學(xué)生怎樣通過中考前的總復(fù)習(xí)把這些知識系統(tǒng)化，形成自己頭腦中的知識體系呢？教師在課堂上就要有意識地通過讓學(xué)生做一些相關(guān)題目體會這些知識與方法，熟悉解題策略，在解題訓(xùn)練中掌握基本圖形，不斷地總結(jié)提煉并靈活運用.教師依托不同類型的題目和典型例題，借助問題串，幫助學(xué)生學(xué)會解決問題的方法，在幫助學(xué)生體會方法的過程中逐漸地形成解題經(jīng)驗，在比較復(fù)雜的圖形中會靈活的運用中點的知識解決問題，再通過學(xué)生自主梳理知識，構(gòu)建自己的知識網(wǎng)絡(luò)圖，使知識體系化.線段中點知識網(wǎng)絡(luò)圖

2借助與中點有關(guān)的題目，學(xué)會運用中點的方法

2.1借助已有知識，直接運用中點解決問題

例1（2013北京）如圖1，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為.圖1

分析題目以矩形為背景，含有直角三角形，有矩形對角線即直角三角形斜邊中點，可知OB=12AC，M為AD中點，想到兩中點得到三角形的中位線，OM=12CD，進而解決問題.

2.2利用中點，結(jié)合幾何圖形，添加合適的輔助線

（1）題目中有中點，有時需要倍長中線

例2如圖2，在△ABC中，AD為BC邊上的中線.求證：AB+AC>2AD.

分析延長AD至點E，使DE=AD，連接CE.易證△ABD≌△ECD.所以AB=EC.

在△ACE中，因為AC+EC>AE=2AD，所以AB+AC>2AD.當然此題也可以連接BE，證明△ADC≌△EDB.

（2）挖掘題目中的隱含條件，發(fā)現(xiàn)中點，并運用中點

例3（2013烏魯木齊）如圖3，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為.圖2圖3

分析AE是角平分線，CF⊥AE于F，當角分線遇上垂直往往要構(gòu)造等腰三角形，因此延長CF交AB于G，所以△AGC為等腰三角形，由三線合一可知，F(xiàn)為CG的中點，已知AD是中線，可知D為BC邊中點，DF為△CGB的中位線，DF=12BG，DF=12（5-2）=32.

（3）多種方法構(gòu)造中心對稱圖形或構(gòu)造中位線解決問題

例4如圖4，在△ABC中，D是AB的中點，AC⊥CD，tan∠BCD=13，求∠A的正切值.

分析本題由于要利用tan∠BCD，所以要構(gòu)造與∠BCD有關(guān)的直角，由于平行線

有轉(zhuǎn)移角的功能，考慮到D是AB的中點，因此可以利用中位線或構(gòu)造中心對稱圖形，把∠BCD轉(zhuǎn)移到直角三角形中，或把直角移到∠BCD所在的三角形中來（圖5～圖9）.

綜合運用中點，提升解題能力

3.1利用中點，構(gòu)造全等三角形，解決線段之間的數(shù)量關(guān)系

題目中有平行線和線段中點時，可以構(gòu)造三角形全等，得到“八字形”全等的基本對稱圖形，進而利用對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，再利用特殊三角形的其他性質(zhì)，進行線段之間數(shù)量關(guān)系的計算和證明.

例5已知：如圖10，在△ACB和△AED中，點E在AC上，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，連結(jié)BD，取BD的中點F，連結(jié)CE、FE.請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系.圖10圖11

分析要研究CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系，就要結(jié)合△ACB和△AED均為等腰直角三角形，把CE與FE放在特殊三角形中來解，DE∥BC，F(xiàn)為BD的中點，有平行有中點，就要想到延長EF交CB于點G，構(gòu)造如圖11的“八字形”全等的基本圖形，得到△DEF≌△BGF，所以EF=FG，進而在等腰直角△ECG中，得到CE=22EG，EF=12EG，CE=2EF.

例6如圖12，四邊形ABCD和ECHF都是正方形，連接AF，M是AF中點，連接DM和EM.點B、C、H在一條直線上.求證：DM=EM.圖12圖13

分析要證明DM=EM，結(jié)合四邊形ABCD和ECHF都是正方形，M是AF中點，就要想到延長DM交EF于點G，構(gòu)造如圖13的“八字形”全等的基本圖形，得到△ADM≌△FGM，所以DM=GM，而Rt△EDG中，M為DG中點，EM=12DG=DM.

3.2借助中點，利用特殊三角形的性質(zhì)，解決線段之間的位置關(guān)系

例7如圖14，在△ABC中，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，D是BC邊上的中點，連接EF，點H是EF的中點，求證：DH⊥EF.圖14圖15

分析△ABC中，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，兩條高提供了共用一條斜邊的兩個Rt△BCF和Rt△BCE，如圖15，由于D是BC邊上的中點，所以連接FD和ED，得到，F(xiàn)D=ED=12BC，進而得到等腰△DFE，加上點H是EF的中點，利用等腰三角形的三線合一性，證得DH⊥EF.

3.3在圖形變換中利用中點解決線段之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系

例8如圖16，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連結(jié)PG，PC.若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及PGPC的值.（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及PGPC的值；

（2）將圖16中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖17）.你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.

分析（1）圖16中線段DF的兩端存在平行線，P是線段DF的中點，容易想到前

面提到的做法，延長GP交CD于點H，如圖18，易證△DHP≌△FGP.進而得到

DH=GF=BG，PH=PG，CH=CG，△CHG為等腰三角形，由三線合一可知PG⊥PC，PG[]PC[SX）]=3

（2）結(jié)論不變，如圖19，同樣可以證得△CHG為等腰三角形，∠HCG=120°，

得到結(jié)論.

中點在幾何題目中出現(xiàn)的頻率比較高，如果掌握了與中點有關(guān)的知識與方法，解決起問題來會事半功倍，所以我們要幫助學(xué)生建立起與中點有關(guān)的知識體系，更好地提高分析、解決問題的能力，可以大大提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗成功的快樂.