精彩演繹完美追求

王修燕　李明方

【摘要】如何應(yīng)用具體圖形在轉(zhuǎn)化等思想方法的引領(lǐng)下，上好圓錐的應(yīng)用題，是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題.結(jié)合同課異構(gòu)的課例，從“課例引入”、“解法探究”、“課例變式”、“小結(jié)與反思”4個(gè)方面進(jìn)行研究與探討，認(rèn)為在課堂教學(xué)中，應(yīng)把基本的數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)、技能融于一體，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)和技能的同時(shí)，領(lǐng)悟到一定的解題思路和思想方法，從而真正提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】同課異構(gòu)；圓錐應(yīng)用題；冰淇淋圓筒

2015年10月22日贛榆區(qū)教研室在我校舉行了青藍(lán)工程數(shù)學(xué)活動(dòng)，六位老師上了一節(jié)同課異構(gòu)的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，教師的精彩演繹，同學(xué)的完美追求給我們聽(tīng)課老師留下了極其深刻的印象，現(xiàn)以課本習(xí)題為例說(shuō)明如下：圖1圖2

蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）“59圓錐的側(cè)面積和全面積”中，教材設(shè)計(jì)了一個(gè)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”——制作冰淇淋紙筒（如圖1）.教材要求制作一個(gè)母線(xiàn)長(zhǎng)為12cm，底面圓的半徑為4cm的圓錐形冰淇淋紙筒.

通過(guò)計(jì)算很容易得到展開(kāi)后的扇形的弧長(zhǎng)為8π（cm），圓心角為120°，面積為48π（cm2）

對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)方案應(yīng)該多種多樣，不拘一格。我有幸聽(tīng)了幾節(jié)同課異構(gòu)的研討課，所以有機(jī)會(huì)對(duì)本題做較多的思考，尤其對(duì)學(xué)生解答中的豐富的

解題思路有了較多的了解，從而引發(fā)對(duì)平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作進(jìn)行了回顧和反思.

鑒于此題背景源于課本，植根于課堂，故本文就這個(gè)問(wèn)題再做一番探討，以便就教于同行.

從節(jié)約原材料角度考慮，我們可以用一個(gè)半徑為12cm的圓紙做原材料，在每一個(gè)圓紙上可以截出3個(gè)全等的扇形，從而制作3個(gè)冰淇淋紙筒，這種方案無(wú)疑是最便捷，也是最省料的（原材料利用率為100%）.（這里我們暫不考慮粘貼部分的用料和其它因素，下同）.

但我們發(fā)現(xiàn)要制作這樣的材料所需要的花費(fèi)也應(yīng)該是相當(dāng)可觀(guān)的，其實(shí)原材料利用率也并非為100%。

如果原材料都是圓形角料（每一個(gè)原材料只能截出一個(gè)圖2中的扇形），如圖3，那么以弦AC為直徑作⊙E，不難求出該圓形角料的半徑至少為AE=63cm，面積為108πcm2.這種方案原材料利用率為48π108π≈44%.

當(dāng)然，上面解決問(wèn)題的方法雖然簡(jiǎn)潔明了，但不一定符合命題者設(shè)計(jì)的思路.筆者認(rèn)為，作為教師的話(huà)，倒是覺(jué)得是非常有必要去研究的.教師站的高，看的遠(yuǎn)，才能把握好教學(xué)的分寸.

如圖4，我們?cè)陂L(zhǎng)方形原材料中對(duì)稱(chēng)地制出一個(gè)扇形，扇形的圓心O在長(zhǎng)方形一邊AD的中點(diǎn)，弧與長(zhǎng)方形的另一邊相切于中點(diǎn)E，則寬AB=OE=12cm，長(zhǎng)AD=2·OA=123≈20（cm），這種方案原材料利用率大約為63%.

如圖5，我們將扇形的半徑OD放在長(zhǎng)方形的一邊AD上，弧與長(zhǎng)方形的另兩邊分別相切于點(diǎn)D、E，則寬AB=OE=12cm，OA=12OF=6cm，所以長(zhǎng)AD=18cm.因此，將原材料切成長(zhǎng)18cm、寬12cm的長(zhǎng)方形，其面積為18×12=216（cm2）.這種方案原材料利用率大約為70%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于如圖4的方案.

我們知道，平面可以由許多全等的四邊形鑲嵌而成，因此，我們可以考慮將原材料改選為如圖7所示的四邊形原材料（其中AE、BE都是⊙O的切線(xiàn)，OA=12cm，AE=123cm），S四邊形OAEB=12×123=1443（cm2），此時(shí)原材料利用率為大約60%.

在實(shí)際加工原材料時(shí)，我們可以采用“套制”的方法提高原材料利用率，譬如按圖8的方式先套制出圖7中的“半成品”材料，這樣可大大提高原材料利用率（可達(dá)80%）.

拓展

我們假設(shè)在上述制作過(guò)程中的余料上再截出一個(gè)圓形材料，使這個(gè)圓形材料恰好能作為冰淇淋紙筒的封蓋，又該如何操作呢？

如圖9，在3塊余料中，我們不難知道，在Rt△AOF中所截出的內(nèi)切圓最大.在Rt△AOF中，AO=6，AF=63，OF=12，其內(nèi)切圓的半徑為r=6+63-122<4（cm），因此，在圖5的余料中，無(wú)法再截出一個(gè)恰好能作為冰淇淋紙筒封蓋的圓形材料.

我們不妨保持寬CD不變，而增加原材料的長(zhǎng)度，假設(shè)從余料中恰好能截出一個(gè)作為冰淇淋紙筒封蓋的圓形材料，如圖10，連結(jié)OO′、OK′、HO′、GO′（O′為圓形材料的圓心，K、H、G都是切點(diǎn)），因?yàn)镵A=GO′=4，OK=43，所以長(zhǎng)方形原材料的長(zhǎng)AD=12+43+4=（16+43）（cm）.這時(shí)原材料利用率=48π+π-4212-（16+43）≈73%.

從上面的過(guò)程來(lái)看，解決這個(gè)問(wèn)題不僅需要用到直角三角形以及與圓相切性質(zhì)這一數(shù)學(xué)核心知識(shí)，更需要學(xué)生有較強(qiáng)的洞察力，甚至耐心和細(xì)心.自然，平時(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)在這兒起著至關(guān)重要的“支點(diǎn)”作用.