利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式

河北樂(lè)亭第一中學(xué) 邵敬毅

利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式

河北樂(lè)亭第一中學(xué) 邵敬毅

導(dǎo)致 不等式 構(gòu)造函數(shù)

不等式的證明有多種方法，以下是我在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)掌握的一種證明不等式的新方法——構(gòu)造函數(shù)法.應(yīng)用這種方法證明不等式需要仔細(xì)觀察定義域，找準(zhǔn)關(guān)系，看清條件，分析特征，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求最值、極值等.該類(lèi)題目可以考查我們對(duì)于函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，可謂全面而細(xì)致，巧妙而成形.

一、構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），證明F（x）≥0

當(dāng) x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）>0，函數(shù)F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

∴g（x）>f（x）.

∴在（1，+∞）上，f（x）的圖像在g（x）的圖像下方．

解題心得：要證明F（x）≥0，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（x）-f（x），從而將不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)證明[F（x）]最小值≥0，使問(wèn)題得以解決.

二、作差后局部構(gòu)造函數(shù)

(1)求l的方程；

（2）證明：除切點(diǎn)（1，0）外，曲線C在直線l的下方．

∴直線l的方程為y=x-1.

∴當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí)，g'（x）>0，g（x）單調(diào)遞增．

∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有最小值g（1）=0，

∴g（x）≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)).

∴除切點(diǎn)（1，0）外，曲線C在直線l的下方．

解題心得：通過(guò)局部構(gòu)造函數(shù)，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，步步為營(yíng)，各個(gè)擊破，最終使問(wèn)題得以解決.

三、取對(duì)數(shù)后構(gòu)造函數(shù)

例3已知函數(shù)f（x）=x-(x+1)ln(x+1)

求：(1)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)n>m>0時(shí)，（1+n）m<（1+m）n．

解：(1)f'（x）

令f'（x）>0得：-1

令f'（x）<0得：x>0，

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．

(2)要證（1+n）m<（1+m）n，

由(1)知：

f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x>0時(shí)，f（x）

即：x-（1+x）ln（1+x）<0.

∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

∵n>m>0， ∴g（n）

從而有：（1+n）m<（1+m）n．

解題心得：通過(guò)對(duì)要證不等式（1+n）m<（1+m）n的分析，通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)，可以使表達(dá)式的函數(shù)特征更加明顯，從而實(shí)現(xiàn)從不等式證明到判斷函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)化.

四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

例 4 已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足xf'（x）+f（x）≤0.對(duì)任意正數(shù)a，b，若a

A.af（b）≤bf（a）

B.bf（a）≤af（b）

C.af（a）≤bf（b）

D.bf（b）≤af（a）

解：xf'（x）+f（x）≤0圯[xf（x）]'≤0，

∴ 函數(shù)F（x）=xf（x）在（0，+∞）上為常函數(shù)或單調(diào)遞減．

又∵0

∴af（a）≥bf（b）>0，①

∴af（b）≤bf（a），故選A．

解題心得：由函數(shù)在某區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)判斷可判斷原函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，由此可聯(lián)想到[xf（x）]'=xf'（x）+f（x），使問(wèn)題得到初步的解決，此外，本題還綜合考查了不等式的性質(zhì).