高等代數(shù)教學(xué)的幾點思考

張新建

摘 要： 本文針對高等代數(shù)課程概念多、內(nèi)容抽象等特點，探討提高本學(xué)科的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率的方法.

關(guān)鍵詞： 高等代數(shù) 線性相關(guān) 多項式

高等代數(shù)作為初等代數(shù)的發(fā)展和提高，是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課，它所介紹的理論、方法廣泛應(yīng)用于各個學(xué)科與實際問題中，其內(nèi)容較多地體現(xiàn)著數(shù)學(xué)中嚴(yán)密的邏輯推理方法和計算方法，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力等方面發(fā)揮著非常重要的作用.但由于高等代數(shù)課程概念多，內(nèi)容抽象，思維方式獨特，與初等數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣差距較大，剛?cè)雽W(xué)的新生常常不能適應(yīng)，而且一般的教材中例題較少，初學(xué)者常常感到困難，如何提高教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，成為師生共同探討的問題.下面我就幾年來高等代數(shù)的教學(xué)談?wù)勼w會.

1.教師應(yīng)發(fā)揮緒論課的重要性

現(xiàn)在的理科生在高中階段已經(jīng)接觸了高等代數(shù)的部分內(nèi)容，比如二階行列式和二階矩陣，聯(lián)系學(xué)生已學(xué)知識，教師在高等代數(shù)緒論課上介紹行列式和矩陣產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生明白高等代數(shù)要解決的問題及其主要的思想方法.初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面研究二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可轉(zhuǎn)化為二次的方程組.沿著這兩個方向繼續(xù)發(fā)展，討論任意多個未知數(shù)的一次方程組（即線性方程組）的同時還研究次數(shù)更高的一元方程，發(fā)展到這個階段，就叫做高等代數(shù).行列式和矩陣也是在解線性方程組時引入的工具；在緒論課上，教師要向?qū)W生介紹高等代數(shù)這門課程的性質(zhì)與后續(xù)課程的關(guān)系，指出高等代數(shù)是有志從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生將來勝任中學(xué)主干學(xué)科——代數(shù)課教學(xué)的理論基礎(chǔ)和指導(dǎo)，也是學(xué)生將來參加研究生考試的必考科目.從而使學(xué)生認(rèn)識到：學(xué)好高等代數(shù)是將來工作和深造的需要，這樣可以使學(xué)生萌發(fā)對高等代數(shù)的初級興趣，進(jìn)而為提高教學(xué)質(zhì)量打下基礎(chǔ).

2.對于抽象概念的教學(xué)，做到深入淺出

線性代數(shù)是高等代數(shù)中的重點內(nèi)容之一，而“線性”這個數(shù)學(xué)名詞在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中從未出現(xiàn)，學(xué)生剛進(jìn)入大學(xué)，對這一詞匯的具體內(nèi)容知之甚少.所以在學(xué)習(xí)之前，學(xué)生必須對什么是“線性”有所了解.首先以線性方程組為例讓學(xué)生對線性這個詞有初步印象，然后從線性運算、線性空間等概念提煉出“線性”的特點，加深學(xué)生對“線性”的印象.線性相關(guān)性是高等代數(shù)的重點和難點，所涉及的內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組，并為向量組的極大無關(guān)組及向量組的基和維數(shù)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系奠定了基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)線性空間、線性變換和歐氏空間的一個重要工具.此部分的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說內(nèi)容抽象，是一個難點.根據(jù)以前的講授經(jīng)驗，很多同學(xué)對于線性相關(guān)性概念中的不全為0理解不清晰，常常與線性組合的概念混淆.事實上，將這兩個概念與齊次和非齊次方程組聯(lián)系，如齊次線性方程組

3.教師充分備課，使課堂教學(xué)生動有趣

針對每次課的特點，選取合適的教學(xué)方法，在講授抽象概念時適時引入此概念的研究背景，同時穿插一些名家的數(shù)學(xué)小故事.很多同學(xué)認(rèn)為理論內(nèi)容在實際中沒有多大應(yīng)用，因此偶爾引入數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中有很多應(yīng)用.例如，在學(xué)習(xí)了矩陣和線性方程組的有關(guān)知識后可以引入簡單供求模型、簡單國民收入模型等線性經(jīng)濟(jì)模型，讓學(xué)生接觸一些簡單的實際問題，樹立理論聯(lián)系實際的思想和初步分析解決實際問題的能力，而且讓他們切實體會到學(xué)習(xí)高等代數(shù)是有用的，可培養(yǎng)他們在以后的學(xué)習(xí)和工作中主動應(yīng)用數(shù)學(xué)工具分析和解決專業(yè)中實際問題的意識和能力.

4.在課堂中讓學(xué)生充分參與

多年的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)通常以講授為主，忽視了學(xué)生的主動參與性.鑒于此，教師在講解高等代數(shù)中的概念時，一定要著重揭示其含義和實質(zhì)，注重聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實際，使學(xué)生掌握基本的系統(tǒng)的高等代數(shù)知識和高等代數(shù)方法，從而提高學(xué)生對高等代數(shù)知識的理解.對于相關(guān)定理和結(jié)論，建議學(xué)生多方面考慮，帶著問題學(xué)習(xí).例如多項式中兩個最大公因式的存在性定理：對于任意的，在中一定存在一個最大公因式，且可表示成的一個組合，講授此定理時，建議學(xué)生考慮此定理的逆命題是否成立？若不成立，需要加什么條件才可以成立？

比如在講授可逆矩陣的定義的時候，因為學(xué)生中學(xué)里學(xué)過此定義：若方陣，則稱可逆，又因為矩陣的乘法一般不滿足交換律，建議學(xué)生考慮要是這個定義中去掉一半，只有或者，能不能得到可逆呢？再例如矩陣的乘法一般不滿足交換律，建議學(xué)生探討在什么情況下的矩陣是可交換的？幫助學(xué)生設(shè)問，建議學(xué)生在自己學(xué)習(xí)的時候類似考慮問題，讓學(xué)生主動參與到學(xué)習(xí)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，只有充分調(diào)動學(xué)生的積極性和主動參與性，才能從根本上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

當(dāng)然，提高高等代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率的方法很多，以上只是一些粗淺的做法，教和學(xué)如何適應(yīng)新時期的要求與時俱進(jìn)，有待教師和學(xué)生不斷探索和改進(jìn).

參考文獻(xiàn)：

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基金項目：國家自然科學(xué)基金（GrantN.11501235），江蘇省自然科學(xué)基金（No.BK20140451），江蘇省博士后基金（No.1302068C）.