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    提高“高等代數(shù)”教學質量的幾點措施

    2016-03-04 17:41:44辛大偉田雪
    吉林省教育學院學報 2015年10期
    關鍵詞:高等代數(shù)教學內(nèi)容教學模式

    辛大偉 田雪

    摘要:本文從改革教學模式、教學內(nèi)容和教學評價體系等方面,給出了提高高等代數(shù)教學質量的幾點措施:我們在高等代數(shù)的部分章節(jié)的教學中嘗試運用了新的教學模式——問題教學模式;將解析幾何融入到高等代數(shù)代數(shù)中,加入高等代數(shù)的背景與應用的介紹;加強數(shù)學軟件在高等代數(shù)課程教學中的作用;嘗試改革考評體系。

    關鍵詞:高等代數(shù);教學模式;教學內(nèi)容

    中圖分類號:O151文獻標識碼:A文章編號:1671—1580(2015)10—0067—03

    高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)的三大專業(yè)基礎課之一,對后繼課程的學習起著至關重要的作用。然而,從我院近幾年的考試成績和考研情況看,高等代數(shù)課程的教學效果并不是很好。原因是多方面的,例如,由于我校是地方高師院校,地理位置不佳,生源質量肯定會有所影響;由于實行績效工資,對科研考評的比重加大,教學只需完成額定工作量即可,一定程度影響了教師的教學積極性;高等代數(shù)理論性強,定理多、定義多,令人感到枯燥乏味;學生的學習積極性不高,自學能力差,課前不預習,課后不復習,不愿意做習題。基于上述原因,我們在高等代數(shù)教學過程中,做了一些探索,力求提高高等代數(shù)的教學質量。

    一、改革傳統(tǒng)的教學模式

    傳統(tǒng)的高等代數(shù)教學是以教師講授為主,學生被動學習,參與性不強,進而導致學生學習積極性不高,學習效果不理想。為了改變這一局面,我們在高等代數(shù)部分章節(jié)的教學中嘗試運用了新的教學模式——問題教學模式。該模式首先由教師布置任務,提出問題,然后讓學生討論,尋求問題的答案。在這個過程中培養(yǎng)了學生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,也使學生在問題解決中感受到學習的樂趣。

    下面以行列式的定義教學為例介紹問題教學模式。行列式的概念比較抽象,對于剛進入大學的文科生來說,難度可想而知。在處理這個問題上,我們先來介紹行列式的起源,從解二元一次方程組入手,給出一個二元一次方程組:

    a11x1+a12x2=b1

    a21x1+a22x2=b2

    先讓學生用中學所學的消元法求出解:

    x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21

    x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21

    之后觀察解,提示學生引入行列式的本來目的就是為了解n 元一次方程組,當n充分大以后,再用這個方法來解,難度相當大,為此定義二階行列式:

    a11a12

    a21a22=a11a22-a12a21.

    同理,從解三元一次方程組入手,定義三階行列式:

    a11a12a13

    a21a22a23

    a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32.

    接下來引導學生觀察二階和三階行列式的定義,從中找出規(guī)律,問二階行列式有多少項?每一項幾個元素乘積?這些元素的取法滿足什么規(guī)律?三階行列式呢?經(jīng)過討論,學生得出結果,二階行列式有2!項,每一項2個元素乘積,三階行列式有3!項,每一項3個元素的乘積,這些元素均取自不同的行、不同的列。再問學生,怎么定義n 階行列式呢?經(jīng)學生討論后,得出結論,n 階行列式有n!項?每一項有n個元素,且這n個元素取自不同行不同列。那么每一項取正號還是負號呢?學生肯定很想知道,這時告訴他們,這需要學習排列的知識。顯而易見,學生的學習積極性被調(diào)動起來了,對知識有著某種渴望。

    再以線性變換的對角化為例來談一下問題教學模式。先給出線性變換可對角化的定義,設φ是數(shù)域K上n維線性空間V的一個線性變換,如果存在V中的一組基,使φ的矩陣為對角形,就稱φ可對角化。再問學生:為什么研究線性變換的對角化呢?給定一組基后,線性變換和矩陣一一對應,線性變換構成的線性空間和矩陣構成的線性空間同構,因此可以用矩陣來研究線性變換。問題是給定一個線性變換后,如何恰當?shù)剡x擇一組基,使某個矩陣和它對應。當然我們希望和線性變換對應的矩陣越簡單越好。經(jīng)過前面的學習,大家會發(fā)現(xiàn)對角矩陣是足夠簡單的。自然地,我們考慮如何選取一組恰當?shù)幕?,使線性變換和對角矩陣建立起對應關系。這就是研究矩陣對角化的理由。繼續(xù)提問,是否每個線性變換都可以對角化呢?能否舉例?可以對角化的線性變換要滿足什么條件呢?回答。那么怎么對角化呢?不能夠對角化的矩陣怎么辦?準對角化。

    二、改革教學內(nèi)容

    1.將解析幾何融入到高等代數(shù)教學中

    高等代數(shù)中有些概念、結論很抽象,對于初學者來講是個很大的障礙,如向量組線性相關、向量組等價等。如果將解析幾何與高等代數(shù)相結合,那么幾何將給代數(shù)提供了直觀模型,同時代數(shù)也給幾何提供了研究方法。其中有關向量的內(nèi)容、直線、平面,和線性代數(shù)結合是很自然的,對代數(shù)與幾何的融匯,相互影響是有利的。例如,三維向量組α1,α2,α3 線性相關,不妨假設α1 可以由α2,α3線性表出,從幾何角度看,實質就是α1在α2,α3所確定的平面上。又如幾何中的二次曲線與二次曲面的分類,實際上就是實二次型的分類的幾何背景。

    2.加入高等代數(shù)的背景與應用的介紹

    上好第一堂課非常重要。加入高等代數(shù)的背景介紹,能激發(fā)學生的學習興趣。實踐中,我們在高等代數(shù)的第一節(jié)課先來介紹代數(shù)學的發(fā)展史,使學生對高等代數(shù)有一個粗略的認識。我們是這樣介紹的:18世紀前的代數(shù)學主要研究中學階段所學的初等代數(shù)。18世紀~19世紀關心的是怎么解方程。方程有兩類:

    一類是一個未知數(shù)的2次、3次等的高次方程,如:

    anxn+…+a0=0

    關心的問題是找根式解。根式解是指用加減乘除開方及系數(shù)來表的解。一元2次、3次、4次方程都有根式解。1824年,Abel證明了一元5次及5次以上的方程無根式解。1830年,Galois 給出方程能否根式求解的判別方法。至此方程求解告一段落。

    另一類方程是多變量的、次數(shù)為1的線性方程組。中學學過2、3個變量的,這門課學習一般情況,n 個變量的。在研究過程中產(chǎn)生了一些新的概念,如行列式、矩陣(重要的數(shù)學分支,應用廣)、向量空間等。1930年,范德瓦爾登的著作《代數(shù)學》是劃時代的,是代數(shù)發(fā)展的里程碑。從這以后代數(shù)學研究的是代數(shù)運算系統(tǒng),如群環(huán)域。研究對象不僅僅是數(shù)了,很抽象,當然也有稍微具體點的,如置換,矩陣等,主要研究它們的運算性質。

    為了進一步調(diào)動學生的積極性,筆者幫助學生解決了下面兩個問題:高等代數(shù)有什么用? 為什么要學習高等代數(shù)?理由有如下幾點:

    (1)我校已實行學分制,高等代數(shù)共兩個學期,8.5個學分,為了能拿到學位,必須學好高等代數(shù),得到這個學分。

    (2)作為師范專業(yè)的學生,畢業(yè)后絕大部分同學去做中學教師,而高等代數(shù)對于中學數(shù)學有指導作用,比如多項式的因式分解理論。

    (3)我們學院考研氛圍濃厚,每年都有20%左右的學生考取研究生,只要你考數(shù)學專業(yè),初試基本上都是要考高等代數(shù)的。

    (4)高等代數(shù)在物理、化學、生物、計算機、經(jīng)濟學等學科中都有著廣泛的應用,如果要在這些行業(yè)中生存,學好高等代數(shù)是必須的。

    3.加強數(shù)學軟件在高等代數(shù)課程教學中的作用

    高等代數(shù)課程應該注重與數(shù)學軟件的結合。在高等代數(shù)教學中增加數(shù)學軟件使用的實驗課很有必要,特別是不完全按軟件手冊的方式介紹Matlab的各種用途,軟件使用的介紹最好力求簡單,不必講得太多、太繁,最好圍繞高等代數(shù)課程的教學內(nèi)容來介紹如何使用Matlab。這有助于讓學生學會如何應用數(shù)學軟件以及用高等代數(shù)知識解決實際問題,同時通過對一些具體問題的計算,也能幫助學生理解一些抽象的代數(shù)概念,拓寬學生的視野和培養(yǎng)學生應用代數(shù)知識解決實際問題的能力。線性方程組是高等代數(shù)的主要研究對象,但是高等代數(shù)中主要是討論線性方程組有解的情況下解的結構。事實上,無解的線性方程組可以有最小二乘解(最優(yōu)的近似解),這在實際問題中會經(jīng)常遇到的, 例如由實驗數(shù)據(jù)建立起來的方程組很可能無解。Matlab函數(shù)庫中已有最小二乘解的算法。因此,我們在實際教學中就介紹了如何利用Matlab求解線性方程組的最小二乘解。這樣,既完備了線性方程組各種情況的處理方法,也對實用有利。

    三、改革考試評價體系

    高等代數(shù)課目前采用平時成績+期末考試成績的考評機制,但在實施中存在許多問題。主要體現(xiàn)在平時成績的評定上。設置平時成績的目的,是為了起到督促學生學習的目的,但實際上,平時成績主要根據(jù)出勤和作業(yè)來給分,這很難能達到目的,比如作業(yè)這一塊,現(xiàn)在市面上教輔資料非常多,網(wǎng)上也很容易就能獲得電子版的習題解答,好多同學為了應付老師,直接引用。

    鑒于此,我們將嘗試改進考評體系。對于平時成績這一塊,不能像以往只是根據(jù)出勤和作業(yè)來給分,將引入隨堂測驗和小論文。具體操作上,可以在每周的最后一次課,留一點時間,布置幾個題目,考察學生這一周的學習情況,這種方式雖說會占用課堂教學時間,但是能真實反映學生對知識的掌握程度,有助于教師根據(jù)學生對知識的掌握情況做相應的調(diào)整。同時,也要在每章結束后,布置一個小論文,讓學生可以查閱資料,與他人合作完成,如講完矩陣這一章后,可以布置可逆矩陣的判定與性質這樣的題目;學完二次型之后,布置二次型化標準形的意義與方法等。這將充分調(diào)動學生的學習積極性,激發(fā)學習興趣。

    期末考試應嚴格按照教學大綱執(zhí)行,題目要覆蓋大多數(shù)知識點,題型要多樣化,難度要適中,不能一味地考慮及格率,最好實行教考分離。

    [參考文獻]

    [1]北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)(第四版)[M].北京: 高等教育出版社,2013.

    [2]石永芳.以興趣培養(yǎng)為主線提高高等代數(shù)教學質量[J].牡丹江師范學院學報,2010(01).

    [3]黃述亮.提高高等代數(shù)教學質量研究[J].滁州學院學報,2011(02).

    [4]劉桂榮,閆衛(wèi)平.提高高等代數(shù)教學質量的策略探討[J].教育理論與實踐,2012(30).

    [5]張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)(第四版)[M].北京: 高等教育出版社, 1999.

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