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    矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型在量子力學(xué)中的應(yīng)用

    2016-03-04 18:06:01李群
    關(guān)鍵詞:應(yīng)用

    李群

    摘要:矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣論中的一種重要形式。不僅可以解決很多線性代數(shù)中的問(wèn)題,也可以解決物理中的一些問(wèn)題。本文以矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型為研究對(duì)象,通過(guò)舉例的方式,探討了矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型在量子力學(xué)中的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:矩陣;等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型;量子力學(xué);應(yīng)用

    中圖分類號(hào):O15文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1671—1580(2015)10—0150—02

    一、引言

    矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣論中的一種既特殊又重要的形式,它可以解決代數(shù)中的許多問(wèn)題,例如利用矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)研究矩陣的一些性質(zhì),廣義逆矩陣等等。本文是把量子力學(xué)和代數(shù)中的矩陣聯(lián)系起來(lái),把矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型應(yīng)用在物理學(xué)的量子力學(xué)中。

    矩陣A和B是等價(jià)的,如果矩陣B可以由A經(jīng)過(guò)一系列初等變換得到,同樣也可以這樣表達(dá):兩個(gè)n×m矩陣,A,B若存在m階可逆矩陣P,n階可逆矩陣Q,使得PAQ=B,則稱這兩個(gè)矩陣,A,B是等價(jià)的。

    矩陣Ir0

    00為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是這樣定義的:A是一個(gè)m×n矩陣,并且A的秩為r,則A等價(jià)于矩陣Ir0

    00.

    二、在物理中關(guān)于量子力學(xué)的應(yīng)用

    標(biāo)準(zhǔn)形矩陣在量子力學(xué)中的應(yīng)用,這是物理學(xué)中比較重要的一個(gè)應(yīng)用。

    等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形在量子力學(xué)中主要應(yīng)用在線偏振器的表示和密度矩陣的求解中。

    在力學(xué)中, 線偏振器是這樣定義的,由入射自然光得到偏振光的器件稱為線偏振器,當(dāng)透振沿X軸的方向時(shí),瓊斯矩陣可以很容易得到為10

    00, 根據(jù)上面的定義,我們可以知道它是等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。當(dāng)入射光E連續(xù)通過(guò)兩個(gè)或兩個(gè)以上偏振器時(shí),輸出光是它們的疊加,輸出的光可表示為E=MnMn-1…M1E.M1,M2…Mn 為依次通過(guò)的各偏振器的瓊斯矩陣,那么很容易看出偏正態(tài)變?yōu)楹?jiǎn)單的矩陣運(yùn)算,又回歸到數(shù)學(xué)的運(yùn)算之中了。

    例1設(shè)有一條偏線振光滿足振幅為A,并且振動(dòng)方向是X軸,先通過(guò)一透振方向與X軸方向的偏振片,再通過(guò)一塊沿軸X方向45度方向放置的方解石λ4片,求出光偏正態(tài)和強(qiáng)度。

    對(duì)于上式進(jìn)行分析,不難得出輸出光的x,y分量偏振幅均為A2,這兩個(gè)振動(dòng)相位差為π2,很容易看出,出射光和左旋圓偏正光的形式是一樣的,那么它就為左旋圓偏正光,I=(A2)為出射光的強(qiáng)度,入射光線的強(qiáng)度為π2.

    例2 量子態(tài)|φ>相應(yīng)的密度矩陣的矩陣元Pn′n出現(xiàn)(不為0時(shí)),量子態(tài)|φ>必含有|n>和|n′>態(tài),Pn′n的值與|n>和|n′>態(tài)在態(tài)|φ>中出現(xiàn)的幾率和相位都有關(guān),如|φ>就是F的某一個(gè)本征態(tài)|k>,則Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一個(gè)對(duì)角矩陣,而且對(duì)角元中只有一個(gè)元素ρkk′不為0,且ρkk′=1,求電子自旋σx=±1的本征態(tài)在pauli表象(σZ表象)中的密度矩陣,進(jìn)而求它在σx表象中的密度矩陣。

    [參考文獻(xiàn)]

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