活用數(shù)形結合 感悟數(shù)學思想

鐘圓照

[摘 要]數(shù)形結合是數(shù)學思想、數(shù)學研究、數(shù)學教與學的基本方式，是促進學生抽象思維與形象思維互助互補的有效途徑。教學中教師要把握好數(shù)形結合的思想方法，滲透到課堂教學中，讓學生養(yǎng)成良好的學習習慣和提升學生的數(shù)學思維品質(zhì)。

[關鍵詞]數(shù)形結合 滲透 運用 數(shù)學素養(yǎng)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-058

數(shù)與形是數(shù)學研究的兩個基本對象，“數(shù)”構成了數(shù)學的抽象化符號語言，“形”構成了數(shù)學的直觀化圖形語言。從形的角度刻畫數(shù)，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，借助“形”生動直觀地認識“數(shù)”，從數(shù)的獨特組合結構，在形成表象的基礎上進行聯(lián)想和想象，從而精確規(guī)范地闡明“形”的屬性。數(shù)形結合時，其實質(zhì)就是將數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象和諧統(tǒng)一，將抽象思維和形象思維結合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉化，化難為易，抽象的問題具體化，從而使問題得以巧妙地解決。那么，教師要怎樣才能把握數(shù)形結合思想方法的實質(zhì)，充分滲透到課堂教學中并且讓學生養(yǎng)成用數(shù)形結合思想解題的習慣呢？

一、適時滲透，充分體驗

一般說來，數(shù)形結合包括兩種情況：一是“以形助數(shù)”，如畫數(shù)軸、線段圖分析等，它有助于學生理清數(shù)量關系、增強數(shù)感，達到降低問題難度的目的；二是“以數(shù)解形”，如特殊值法、向量法等，它有助于學生突破具體圖形的束縛，往往能讓學生迅速地找到問題的答案。當然，很多數(shù)學問題需要“形”與“數(shù)”的不斷轉換、有機結合，從而讓學生把握問題本質(zhì)，深入地理解問題。

1.數(shù)學概念的建立借助“形”的直觀

數(shù)軸將抽象的“數(shù)”形象直觀化，學生運用數(shù)軸能快速有效地理解數(shù)的順序、大小、數(shù)列規(guī)律等?！凹臃ā本褪窃跀?shù)軸上找到一個加數(shù)的位置，再向右平移另一個加數(shù)的單位長度；“減法”就是在數(shù)軸上先找到被減數(shù)的位置，然后再向左平移若干個單位；“乘法”就是在數(shù)軸上幾個幾個地向右數(shù)，或者把一條線段拉長幾倍；“除法”就是在數(shù)軸上先找到“被除數(shù)”，然后向左幾個幾個地數(shù)，如果恰好數(shù)到“0”，則就是“除盡”，數(shù)了幾次，商就是幾，當不能恰好數(shù)到“0”時，就產(chǎn)生了余數(shù)。

2.數(shù)學性質(zhì)的探索依賴“形”的操作

數(shù)軸是數(shù)形結合最常用的工具，學生根據(jù)數(shù)軸上的點與數(shù)的一一對應關系，能更加深入地理解數(shù)的性質(zhì)。例如，在教學“小數(shù)的性質(zhì)”時，我要求學生分別用一位小數(shù)和兩位小數(shù)表示數(shù)軸上的同一個點，讓他們借助數(shù)軸能更直觀地理解小數(shù)的性質(zhì)，進而啟發(fā)學生從“數(shù)”和“形”這兩個角度加深對小數(shù)性質(zhì)的理解，更加透徹地理解數(shù)學知識。

3.數(shù)學規(guī)則的形成需要“形”的支撐

在教學相關的計算題時，運用“數(shù)形結合”思想，學生能深入地感悟和理解計算過程。

例如，在教學“分數(shù)乘分數(shù)”時，我先讓學生將一張正方形紙的一半涂上顏色，然后在涂色部分的一半畫上斜線，然后提問：“涂色部分表示一張紙的，畫斜線的部分占的幾分之幾？你能看圖并列算式寫出結果嗎？”學生通過觀察圖形，順利地寫出了算式。為了讓學生更好地理解分數(shù)乘分數(shù)的性質(zhì)，于是我提供算式，讓學生根據(jù)提供的乘法算式在正方形圖中用斜線表示出計算結果，并寫出答案。這時，我再次提問：“結合圖形說說算式是怎樣計算得出結果的？你發(fā)現(xiàn)積的分子、分母與兩個因數(shù)的分子、分母有什么聯(lián)系？”學生由特殊到常規(guī)，得出結論，并且他們能通過自主舉例，畫圖驗證其他的乘法算式也能適用得出的結論。通過學習，學生很快就掌握了分數(shù)乘以分數(shù)的計算法則，大大降低了計算題出錯的概率。

教師運用“數(shù)形結合”的教學方法，使學生對計算方法有直觀的體驗，能深入理解計算原理，有效地突破教學難點。

4.解題思路的獲得來自“形”的幫助

借助圖形解題的最大優(yōu)勢是將抽象問題形象化，將數(shù)字信息反映在圖形上，直觀地表現(xiàn)數(shù)量關系，從而獲得解題思路。

例如，“求+++的和”這樣一道復雜的分數(shù)連加計算題。學生通常是用“通分”進行計算，伴隨著加數(shù)的增加，學生會因為“通分比較復雜”，而減少對數(shù)學學習的興趣。因此，我啟發(fā)學生把算式轉化成圖形，在一個正方形中把所有加數(shù)所代表的區(qū)域都涂上顏色，而全部加數(shù)的和就是用整個正方形的面積減去空白部分的面積（即1-）。這樣簡便而直觀的教學方法，凸顯了數(shù)學的本質(zhì)特征，提高了學生的思維能力。

教師在教學過程中，要適時的滲透“數(shù)形結合”的思想，讓學生體會到使用“數(shù)形結合”的方法解題更簡便直觀，有利于學生今后的學習和發(fā)展學生的思維。

二、針對訓練，靈活運用

當學生學會一種數(shù)學方法時，需要不斷地運用，積累經(jīng)驗，體會其中的數(shù)學思想，從而靈活運用。因此，教師在教學中，在滲透數(shù)學思想時，應該讓學生正確地運用其去解題。

例如，在解決“求1+3+5+7+9的和”的問題時，我讓學生聯(lián)系方格圖思考，將算式轉化成數(shù)正方形方格數(shù)，從而得到：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52。此外，學生還發(fā)現(xiàn)：當加數(shù)的個數(shù)較多時，畫圖的分析方法不夠簡便，圖形只是提供了一個思考的方向，想要解決此類問題，還需要再回到算式中。學生經(jīng)思考后發(fā)現(xiàn)規(guī)律：有幾個加數(shù)，結果就是幾的平方。從而學生在真正意義上解決了問題。

數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法的概括。教學中，教師要進行系統(tǒng)、反復、有針對性的有效練習，在數(shù)學問題的探究發(fā)現(xiàn)過程中，精心挖掘數(shù)學的思想方法，使學生真正理解并掌握后才能做到靈活運用。

三、加強反思，積累經(jīng)驗

學習不僅能幫助學生解決問題，還能促使學生將已有的知識重新整合，新舊知識融會貫通，形成更為合理的認知結構。在解題之后，一方面要通過解題和反思活動，總結歸納出解題方法，并提煉上升到思想高度；另一方面在解題活動中，應充分發(fā)揮數(shù)學思想對解題的定向、聯(lián)想和轉化作用，突出它對解題的指導作用。

例如，在教學“畫圖解決問題”之后，我向學生提問：“回顧解決問題的過程，你有什么體會？”學生認識到畫線段圖能使數(shù)量關系直觀、清楚，容易找到解決問題的方法。接著我進一步追問道：“在以前的學習中，我們曾經(jīng)運用畫圖的策略解決過哪些問題？”學生的思維大門頓時被打開，“比如畫一畫、圈一圈認識了倍數(shù)”“還有解決問題時，經(jīng)常會畫線段圖或示意圖表示題中的條件和問題”“再比如探索周期規(guī)律時，畫圖表示排列順序，找出規(guī)律”。學生深刻體會到“數(shù)形結合”就在平時的學習中，它對解決問題有著重要的作用。

學生通過反思，積累了學習經(jīng)驗，加深了對數(shù)學知識的理解。教師引導學生進一步的思考、探究，洞悉數(shù)與形間的內(nèi)在聯(lián)系，完善學生的知識體系，提升他們的知識遷移能力。

數(shù)形結合是數(shù)學思考、數(shù)學研究、數(shù)學應用、數(shù)學教與學的基本方式，是促進抽象思維與形象思維互助互補、和諧發(fā)展的有效途徑。教師要充分挖掘教材中的內(nèi)容，根據(jù)知識本身的特點以及學生的心智發(fā)展水平，確定具體而又恰當?shù)臐B透方法和策略，將數(shù)形結合的方法滲透到教學中，提高他們學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)他們解決問題的能力和敏銳的洞察力，養(yǎng)成良好的學習習慣和提升數(shù)學思維品質(zhì)。

（責編 莫秋鴻）