數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生發(fā)展思維的探索和挖潛
——談抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)周期性

（甘肅省天水市武山縣鴛鴦初級(jí)中學(xué)，甘肅 武山 741315）

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而抽象函數(shù)因其解析式的不具體而成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，但因其又能很好地考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解與抽象思維能力，因而在進(jìn)幾年的高考和各類競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)抽象函數(shù)方面的題目，本文就抽象函數(shù)的周期存在條件作一點(diǎn)探討，從而得出一種簡(jiǎn)捷的求抽象函數(shù)周期的方法，以期能在這方面給大家一點(diǎn)啟示。

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)成立，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，并且周期為T。

定理1.對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)a，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一值時(shí)，都有下列條件之一成立時(shí)，那么f(x)是周期函數(shù)，并且周期為 2a，即：

條件 1：f(x+a)=-f(x)

條件 2：f(x+a)=f(x-a)

條件 3：f(a+x)=f(a-x)且 f(x)是偶函數(shù)

條件 4

證明：①由條件1及已知，對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x+a)=-f(x)

所以f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)即f(x+2a)=f(x)

所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2a

②由條件2及已知，對(duì)函數(shù)f(x)定上域內(nèi)的任意x都有f(x+a)=f(x-a)

所以f[(x+a)+a]=f[(x+a)-a]=f(x)即f(x+2a)=f(x)

所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2a

③由條件3及已知，對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(a+x)=f(a-x)，且f(x)是偶數(shù)

所以f[a+(x+a)]=f[a-(x+a)]=f(-x)=f(x)

即f(x+2a)=f(x)所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2a

④由4可知，對(duì)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有

所以

即f(x+2a)=f(x)所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2a

定理2.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在一個(gè)非零常數(shù)a，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一值時(shí)都有下列條件之一成立時(shí)，函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，并且周期為4a。即：

條件 5：f(x+a)=-f(x-a)

條件 6：f(a+x)=-f(a-x)且 f(x)為偶函數(shù)

證明：⑤由條件5及已知

因?yàn)閒(x+a)=-f(x-a)

所以f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f[(x+a)-a]=-f(x)

所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-f[(x+2a)=f(x)

所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4a

⑥由條件6及已知

因?yàn)閒(a+x)=-f(a-x)且f(x)為偶函數(shù)

所以f(2a+x)=f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f(-x)=-f(x)

所以f(4a+x)=f[2a+(2a+x)]=-f(2a+x)=f(x)

所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4a

推論1.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在兩個(gè)非零常數(shù)a，b(a≠b)使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有下列條件之一成立時(shí)，那么函數(shù)f(x)是以2(a-b)為周期的函數(shù)，即：

條件 7：f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x)

條件 8：f(a+x)=-f(a-x)且 f(b+x)=-f(b-x)

簡(jiǎn)證：⑦由條件7及已知

f[x+(a-b)]=f[a+(x-b)]=f[a-(x-b)]=f[b+(a-x)]=f[b-(a-x)]=f[x-(a-b)]

由定理1的條件2知，f(x)是以2(a-b)為周期的函數(shù)

⑧由條件8及已知

f[x+(a-b)=f[a+(x-b)]=-f[a-(x-b)]=-f[b+(a-x)=f[b-(a-x)]=f[x-(a-b)]

由定理1條件2知，f(x)是以2(a-b)為周期的函數(shù)

推論2對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在兩個(gè)非零常數(shù)a，b(b≠a)使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一值時(shí)，都有下列條件之一成立時(shí)，則f(x)是以4(a-b)為周期的函數(shù)，即：

條件 9.f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=-f(b-x)

條件 10.f(x+a)=f(x-a)且 f(x+b)=-f(x-b)

間證：⑨由條件9及已知

f[x+(a-b)]=f[a+(x-b)=f[a-(x-b)]=f[b-(x-a)] f[b+(x-a)]=-f[x-(a-b)]

由定理2條件5知，f(x)是以4(a-b)為周期的函數(shù)

⑩由條件10及已知

f[x+(a-b)]=f[(x+a)-b]=-f[(x+a)+b]=-f[(x+b)-a]=-f[(x+b)-a]=-f[x-(a-b)]

由定理2條件5知，f(x)是以4(a-b)為周期的函數(shù)。

例1.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x+3)=-f(x)求f(2016)

解：由定理1的條件1知函數(shù)f(x)的周期

為T=2×3=6所以有f(6k+x)=f(x)(k為非零整數(shù))

又f(x)為R上的奇函數(shù) 所以f(0)=0

所以f(2016)=f(6×336)=f(0)=0

例2.設(shè)f(x)是實(shí)數(shù)集R為定義域的函數(shù)且滿足：

f(x+10)=f(10-x) f(20-x)=－f(20+x)

則f(x)是（） （1992年全國(guó)高考中聯(lián)賽題）

A.偶函數(shù)又是周期函數(shù) B.偶函數(shù)不是周期函數(shù)

C.奇函數(shù)又是周期函數(shù) D.奇函數(shù)不是周期函數(shù)

解：由推論2條件9可知，函數(shù)f(x)的周期為

T=4×(20-10)=40

又f(20-x)=-f(20+x)

所以f(-x)=f[20-(x+20)]=-f[20+(x+20)]=-f(40+x)=-f(x)

即：f(-x)=-f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 故選（C）

例3：設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意

都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且 f(1)=a＞0

(1)、求

(2)、證明f(x)是周期函數(shù)（2001年全國(guó)高考題）解（1）（略）

（2）依題設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱

由定義的條件3可知：f(1+x)=f(1-x)

用x-1代x得：f(x)=f[1-(x-1)]

故 f(x)=f(1+1-x)即f(x)=f(2-x)， x∈R

由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x) x∈R

∴f(-x)=f(2-x) x∈R

將上式中的-x以x代替得 f(x)=f(x+2)x∈R

這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期。