關(guān)注四性，與“歸類”尋實(shí)效
——提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的策略研究

（蕭山區(qū)北干初級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311203）

新課改有效地改變了傳統(tǒng)教學(xué)束縛學(xué)生思維發(fā)展的舊模式，致力于打造關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的高效新課堂,為了讓學(xué)生學(xué)得高效，教師需提高自身的專業(yè)素質(zhì),探索有效的教學(xué)方法——“歸類“教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。針對(duì)目前學(xué)生的現(xiàn)狀，筆者從課堂教學(xué)的一道改編題來具體分析：

【習(xí)題呈現(xiàn)】：

拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸BC與x

如左圖所示，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)F,交直線PQ于點(diǎn)G，易證△FCD∽△GDE若DCE=30°，則所以1

△GDE與△FCD的相似比為故因?yàn)椤鰾FD∽△BC Q，所以化簡(jiǎn)得所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為將其代入到拋物線的解析式中可得縱坐標(biāo)為若∠DEC=30°，解法與上述方法一致。再根據(jù)圖形的對(duì)稱性可得到對(duì)稱軸左邊的還有符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)。

【分析】為什么只有個(gè)別學(xué)生會(huì)解這道題？而且學(xué)生的方法并不是解這類題目最簡(jiǎn)便、最有效的。筆者分析主要有三個(gè)原因：一、學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)不熟悉，不能對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)想。二、缺乏知識(shí)綜合運(yùn)用能力和推理演繹能力。三、缺乏數(shù)學(xué)思維能力，平時(shí)不注重總結(jié)歸納。針對(duì)上述學(xué)生存在的問題，作為老師應(yīng)該有意識(shí)地對(duì)知識(shí)點(diǎn)、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加以引導(dǎo)。如：1、讓學(xué)生回憶圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角的數(shù)量關(guān)系；2、觀察本題中四邊形DCQE相對(duì)兩個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系；3、從而得出D、C、Q、E四點(diǎn)共圓。所以，這道題又有新解法：

如右圖所示，因?yàn)樗倪呅蜟QED的內(nèi)角和為360°，已知∠CDE=∠CQE=90°，所以∠CQE+∠CDE=180°.由CE弦所對(duì)兩側(cè)的圓周角之和等于 180°，可得 C、D、E、Q 四點(diǎn)共圓.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，所以∠CQD=∠CED.因?yàn)椤鰿DE是含有30°角的直角三角形，且∠CDE=90°，所以∠CED=30°或∠DCE=30°.①當(dāng)∠CED=30°時(shí)，則∠CQD=30°，在直角△BCQ中，由已知可得BC=5，所以.故P點(diǎn)橫坐標(biāo)為因?yàn)镻點(diǎn)在拋物線上，其坐標(biāo)滿足拋物線解析式，把代入解析式可得縱坐標(biāo)為所以 P點(diǎn)坐標(biāo)為②當(dāng)∠DCE=30°時(shí)，則∠CQD=∠CED=60°，解法與上同，此時(shí)P.由圖形的對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)。綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（

講解完后，學(xué)生恍然大悟，都覺得利用輔助圓解題很方便。事實(shí)上有些題目看似與圓無關(guān)，但用共圓的方法解決能夠避開繁瑣計(jì)算，取得最簡(jiǎn)便、最有效的方法。因此，必須讓學(xué)生掌握這類題目的解法。可是什么時(shí)候要用到共圓呢？最有效的方法就是運(yùn)用“歸類”教學(xué)法，舉一反三，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生觸類旁通做到解一題會(huì)一類，真正地提高課堂效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)。十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴筆者，歸類教學(xué)對(duì)于提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率效果顯著，但因?yàn)闀r(shí)間和精力的原因，很多時(shí)候還是就題論題，所以我希望通過“歸類共圓”的數(shù)學(xué)方法展開，談?wù)勎覍?duì)歸類教學(xué)的看法。設(shè) GE=a，DG=b，則軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q.若一塊含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___。

在給予學(xué)生充分的思考后，全班只有個(gè)別學(xué)生答對(duì)了這道題，而且方法比較復(fù)雜：通過設(shè)兩個(gè)未知數(shù)、用三角形相似、整體代入等，計(jì)算過程還帶有一定的技巧性。學(xué)生思考如下：

一、歸類教學(xué)，關(guān)注選題的針對(duì)性,提高學(xué)生逆向思維的能力

設(shè)計(jì)選題前必須充分考慮預(yù)選習(xí)題能否加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握，或是對(duì)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的糾正，還是對(duì)基本解題技能的進(jìn)一步熟練等。這就要求教師在選題時(shí)要有針對(duì)性、目的性。要非常了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，哪些地方掌握得好，哪些地方還存在問題。比如圓的內(nèi)容，所選的題目最好看似與圓無關(guān)，而是讓學(xué)生提煉出共圓的方法。也就是說，看似無圓，但事實(shí)上隱含著圓，而這個(gè)隱身圓就需要學(xué)生們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。舉例來說：

1.解決有關(guān)直角問題

例1：點(diǎn)A、B是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，且 A（2,4），B（6,2），P 是 x 軸上一點(diǎn)，且△ABP為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有幾個(gè)（ ）

（A）1 （B）2 （C）3（D）4

【解析】：△ABP為直角三角形，根據(jù)直角頂點(diǎn)分類討論.易知滿足∠PAB=90°的點(diǎn)P有1個(gè)；滿足∠PBA=90°的點(diǎn)P有1個(gè)；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，滿足∠APB=90°的點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上.因此，只須判斷圓與x軸的位置關(guān)系.由已知A（2,4）、B(6,2)易得圓的半徑圓心到x軸的距離d=3.由d＜r可知圓與x軸相交.所以滿足∠APB=90°的點(diǎn)P有2個(gè).綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)共有4個(gè)。

【說明】：由上題的啟發(fā)，學(xué)生容易聯(lián)想到圓，而且圓中很重要的結(jié)論“直徑所對(duì)的圓周角是90°”，從而點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上。因此很自然得轉(zhuǎn)化為判斷直線與圓的位置關(guān)系。

2.解決有關(guān)銳角問題

例2：如圖，向正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)M，如果正方形內(nèi)每一點(diǎn)投中的可能性均相同，則使∠AMB為銳角的概率是多少。

【解析】：因?yàn)椤螦MB為銳角，即∠AMB＜90°，易知使∠AMB=90°的點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上.因?yàn)樾∮趫A周角的點(diǎn)在圓外，所以所有滿足條件的點(diǎn)M構(gòu)成的圖形面積為正方形的面積減去半圓的面積。假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則正方形面積為1，半圓面積為

【說明】：由“直徑所對(duì)圓周角等于90°”，結(jié)合圓外角和圓周角的大小關(guān)系，學(xué)生還是可以通過輔助圓來解決問題。

3.解決有關(guān)鈍角問題

例3：如圖，正方形ABCD的中心為O，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若∠OPB=45°,求∠APO的度數(shù)。

【解析】：因?yàn)镺是正方形ABCD的中心，連結(jié)OB后，∠AOB＝90°，且∠OAB＝45°與已知∠OPB＝45°相等，可以利用共圓的方法，構(gòu)造以AB為直徑的圓，易得∠APB＝90°，所以∠APO＝90°+45°＝135°。

【說明】：由“90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑”和“直徑所對(duì)圓周角等于90°”可以很容易的解出此題。

這些例題可以讓學(xué)生歸納總結(jié)出異側(cè)共圓的情形：

除上面這個(gè)常見的“共圓”類型外，還有另外一種類型，筆者稱它為同側(cè)共圓：

二、歸類教學(xué)，關(guān)注選題的層次性，提高學(xué)生邏輯思維能力

習(xí)題的選擇難度要適中，要有梯度。若一開始就太難，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏懼情緒，做而生煩；若都很容易，太過于淺，又會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生松懈怠慢心理，也不利于個(gè)性思維品質(zhì)的培養(yǎng)。因此，設(shè)計(jì)的問題一定要由淺入深、層層遞進(jìn)。比如：剛開始筆者先出示這樣兩個(gè)問題：

1.題設(shè)中有公共端點(diǎn)的等線段

例 4：如圖，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn) P且PA=PB=PC，若∠PBC=50°∠PBA=30°，則∠APC的大小是（ ）

（A）140°（B）160°（C）80° (D)120°

【解析】：因?yàn)镻A=PB=PC，所以點(diǎn)A、B、C在以P為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的圓上.∠ABC=50°+30°=80°，利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的兩倍關(guān)系，∠APC=2∠ABC=160°。

【說明】：已知條件與圓的聯(lián)系很明顯，“到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)在以這個(gè)定點(diǎn)為圓心、定長(zhǎng)為半徑的圓上”幾乎所有的學(xué)生都容易想到，這也是圓的定義。

2.一條線段同側(cè)的兩個(gè)角成倍半關(guān)系

例 5：如圖，若 CA=CB，∠ACB=2∠ADB.BC 與AD 交于點(diǎn) E，且 CB=10，CE=6，則 AE·DE=()

(A)32 (B)48 (C)64 (D)68

【解析】：∠ACB和∠ADB在線段AB同側(cè)，且∠ACB=2∠ADB，CA=CB，根據(jù)同弧所對(duì)圓心角等于圓周角的兩倍可知點(diǎn)A、B、D在以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓上.延長(zhǎng)BC交圓于點(diǎn) F，連結(jié) AF，那么有∠AFB=∠ADB、∠FAD=∠DBF，故△FAE∽△DBE，所以。由已知 CB=10，CE=6易得 BE=4，EF=16，故 AE·DE=BE·EF=4×16=64。

【說明】：由上一例題得到啟發(fā)，學(xué)生容易聯(lián)想到“同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的兩倍”。因此∠ACB為圓心角，∠ADB為圓周角，故可以構(gòu)造以C圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓。

3.一條線段同側(cè)的張角不變

例6：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線x=3,于點(diǎn)P，點(diǎn)A是直線x=3與x軸的交點(diǎn).將直線OP繞著點(diǎn)O、直線AP繞著點(diǎn)A以相同的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直線交點(diǎn)始終為P，當(dāng)直線OP與y軸正半軸重合時(shí)，兩條直線同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為______。

【解析】：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠OPA始終為60°，過點(diǎn)O、A、P三點(diǎn)作圓，因?yàn)椤螼AP=90°,根據(jù)“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”可得OP為該圓的直徑.當(dāng)直線OP與y軸正半軸重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)過的角度為60°，故點(diǎn)P所走過的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為120°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得。

【說明】：本題中∠OPA始終為60°角這個(gè)結(jié)論很多學(xué)生并不能得出，需要作出旋轉(zhuǎn)后的某個(gè)點(diǎn)P，與旋轉(zhuǎn)前的圖形比較得到。因此這是一個(gè)難點(diǎn)，也就要求學(xué)生要學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用，要有較強(qiáng)的分析問題的能力。但可以肯定的是，這樣的問題如果學(xué)生能自己解決，那一定能夠提高他的自信心和學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。

三、歸類教學(xué)，關(guān)注題目的可變性,培養(yǎng)學(xué)生探究猜想的思維能力

題目的變式、引申可以有以下幾類：1、題目背景、結(jié)論不變，變換部分條件；2、題目背景、條件不變，變換結(jié)論；3、改變題目背景以及結(jié)論，但知識(shí)點(diǎn)或方法不變。應(yīng)用到“歸類”教學(xué)，我們可以嘗試解決問題：

1.求兩個(gè)共斜邊直角三角形在公共邊異側(cè)時(shí)的重心距離

例7：我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質(zhì)，如有關(guān)線段比、面積比就有一些“漂亮”的結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題。請(qǐng)解答下列問題：將兩塊三角尺按如圖方式拼好，其中∠B=∠D=90°,∠ACD=30°,∠ACB=45°,AC=12,點(diǎn)E,F分別是和的重心，求EF的長(zhǎng)。

【解析】：因?yàn)椤螧=∠D=90°,所以A,B,C,D四點(diǎn)在AC為直徑的圓上，如右圖所示，記圓心為點(diǎn)O，連接OD,OB,DB,EF,由重心的性質(zhì)可知，，所以即問題轉(zhuǎn)化為求DB的長(zhǎng)度。作ANDB，有同弧所對(duì)的圓周角相等可知，在RtΔADN中由勾股可得，由已知易得∠NAB=60°，在Rt ΔABN中由30度角三邊關(guān)系可得,所以，從而。

以例7為原型，筆者對(duì)題目做適當(dāng)變形，使例題八符合背景不變，條件改變，求結(jié)論。重置條件后，可以讓學(xué)生動(dòng)動(dòng)腦子，稍稍轉(zhuǎn)下彎，看學(xué)生有沒有真正掌握。這樣學(xué)生才不會(huì)松懈怠慢，也能時(shí)時(shí)體驗(yàn)成功的快樂。變式如下：

2.求兩個(gè)共斜邊直角三角形在公共邊同側(cè)時(shí)的重心距離

例8：將兩塊三角尺按如圖方式拼好，其中 ∠B=∠D=90° ,∠ACD=30° ，∠ACB=45°，AC=12,點(diǎn) E,F 分別是 ΔACD和ΔABC的重心，求EF的長(zhǎng)。

解析：因?yàn)椤螧=∠D=90°,所以A,B,C,D四點(diǎn)在AC為直徑的圓上，如圖所示，記圓心為點(diǎn)O，連接OD,OB,DB,EF,由重心的性質(zhì)可知，所以，即問題轉(zhuǎn)化為求DB的長(zhǎng)度。作AN ⊥DB，因 為 ∠ACB+∠ADB=180° ,∠ADN+∠ADB=180°,所以∠ADN=∠ACB=45°,有同弧所對(duì)的圓周角相等可∠NBD=∠ACD=30°,又因?yàn)?，在Rt ΔADN 中由勾股可得,在Rt ΔABN中由勾股可得,所以，從而。

例8是在例七基礎(chǔ)上的變式，他們既有聯(lián)系，又有區(qū)別，形別而神同，主要是為了讓學(xué)生體會(huì)輔助圓解題的便捷，讓學(xué)生在以后的解題中能想到這種方法——添加輔助圓。

四、歸類教學(xué)，關(guān)注題型的發(fā)散性，培養(yǎng)綜合分析能力

上述例題圖形簡(jiǎn)單，涉及的條件、結(jié)論也比較單一，學(xué)生比較容易掌握。當(dāng)孩子自己歸納出輔助圓的方法后，就可以應(yīng)用在比較復(fù)雜的題目中。所以接下來的練習(xí)會(huì)選擇的圖形比較復(fù)雜多樣，問題也都各不相同，而且也基本涵蓋了用輔助圓解決的題目特點(diǎn)。

1.解決有關(guān)等腰三角形問題

例9：如圖，矩形ABCD中，，點(diǎn)E是折線段A—D—C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn).在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，使PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有（ ）。

（A）5個(gè)（B）4個(gè)（C）3個(gè)（D）2個(gè)

【解析】：一個(gè)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)E點(diǎn)，一個(gè)E點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)P點(diǎn)，所以只須找出有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P.根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BP=BA，所以點(diǎn)P一定在以B為圓心、BA長(zhǎng)為半徑的⊙B上.又因?yàn)辄c(diǎn)E折線段A—D—C上，故點(diǎn)P在如圖所示的半圓上.因?yàn)锽P=2、要使PCB為等腰三角形只可能PB=PC、CB=CP兩種情況.PB=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段BC的中垂線上，該線與⊙B有2個(gè)交點(diǎn)，所以存在2個(gè)P點(diǎn)使PB=PC；當(dāng)CB=CP時(shí)，點(diǎn)P一定在以C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑的⊙C上，⊙C與⊙B有2個(gè)交點(diǎn)，故存在2個(gè)P點(diǎn)使CB=CP.綜上所述，共有4個(gè)滿足題意的點(diǎn)P，所以點(diǎn)E的位置有4個(gè)。

【說明】：在找等腰三角形時(shí)往往需要對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行分類，當(dāng)已知的兩點(diǎn)構(gòu)成的線段為腰時(shí)都可以通過圓的方法找第三個(gè)點(diǎn)。

2.解決有關(guān)折疊問題

例10：如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AD=CD=2，AB=4，點(diǎn) E、F 分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P. 當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于____。

【解析】：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知EP=EA，所以點(diǎn)P一定在以E為圓心、EA長(zhǎng)為半徑的圓上.因?yàn)辄c(diǎn)P要在直角梯形ABCD內(nèi)部，故點(diǎn)P落在梯形內(nèi)的圓弧上.當(dāng)點(diǎn)E越靠近B點(diǎn)時(shí)，圓的半徑越大，所以圓弧上的點(diǎn)離點(diǎn)D越近，當(dāng)E點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)半徑最大，圓弧離點(diǎn)D最近.而在圓弧上的所有點(diǎn)中又有一個(gè)點(diǎn)離點(diǎn)D最近，易知該點(diǎn)就是直線BD與圓的交點(diǎn),如圖所示即為P’.因?yàn)锳D=2、AB=4，所以由勾股定理得.故PD的最小值為。

【說明】：折疊時(shí)對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度始終相等，且到折痕的某個(gè)端點(diǎn)的距離相等。故可以構(gòu)造折疊前后的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)共圓。

3.解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題

例11：如圖，在銳角ABC中，AB=8，BC=10，∠ACB=45°，將ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到.點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段長(zhǎng)度EP1的最大值與最小值。

【解析】：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)P1在以B為圓心、BP長(zhǎng)為半徑的圓上.圓上與點(diǎn)E最近、最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)便是直線BE與圓的兩個(gè)交點(diǎn).易知當(dāng)時(shí).如圖所示，在以B為圓心、BP長(zhǎng)為半徑的圓上，與點(diǎn)E最近的是M點(diǎn)，所以EP1的最小值即為EM的長(zhǎng).因?yàn)橐阎狝B=8,BC=10，∠ACB=45°，易知；當(dāng)EP1的長(zhǎng)度最大時(shí)，半徑BP要最大，即點(diǎn)P在以C點(diǎn)為圓心，以BC為半徑的圓上，如圖所示，與點(diǎn)E最遠(yuǎn)的是N點(diǎn)，易知EN=EB+BN=4+10=14，綜上所述，EP1長(zhǎng)度的最大值是14，最小值是。

【說明】：任何圖形的旋轉(zhuǎn)最終都是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。因?yàn)橐粋€(gè)點(diǎn)繞著另一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持著距離不變，所以旋轉(zhuǎn)得到的所有點(diǎn)共圓，該圓的圓心就是旋轉(zhuǎn)中心、半徑就是這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。所以許多旋轉(zhuǎn)的問題可以通過添加輔助圓來解決。

4.解決有關(guān)特殊角問題

例12：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（-6，0），點(diǎn) C 是 y 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

【解析】：如圖所示，取AB中點(diǎn)E，作EP⊥BA，且，易知△PBA為等腰直角三角形，。以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，因?yàn)椤螧CA為⊙P的圓周角，所以∠BCA=，則點(diǎn)C即為所求。過點(diǎn) P作 PF⊥y軸于點(diǎn) F，則OF=PE=5，PF=1，在，由勾股定理得 CF=7，所以O(shè)C=OF+CF=5+7=12。所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）。根據(jù)圓的對(duì)稱性質(zhì)，可得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-12）。綜上所述，點(diǎn) C坐標(biāo)為（0，12）或（0，-12）。

【說明】：本題的突破口應(yīng)該是∠BCA=45°這個(gè)條件，45°是一個(gè)特殊角，從這個(gè)角度入手我們可以構(gòu)造直角三角形，而直角三角形又可以到圓中去找，這樣就想到了構(gòu)造輔助圓的方法。在數(shù)軸上一個(gè)數(shù)據(jù)就能確定一個(gè)點(diǎn)的位置，在平面直角坐標(biāo)系中要兩個(gè)數(shù)據(jù)才能確定一個(gè)點(diǎn)的位置，在本題中圓和弦的交點(diǎn)恰好就是所求的點(diǎn)C,轉(zhuǎn)化到運(yùn)用幾何的知識(shí)解決，自然而然，事半功倍。

我們都知道數(shù)學(xué)能力有兩個(gè)方面，一是運(yùn)算能力，一是思維能力。運(yùn)算能力是一種基礎(chǔ)能力，強(qiáng)調(diào)記憶、熟練度（復(fù)雜運(yùn)算需要一些技巧），思維能力才是一種高級(jí)能力，強(qiáng)調(diào)借助抽象的數(shù)字符號(hào)、概念進(jìn)行思考與推理。由本文例題可以看出，原題圖中都沒有圓，當(dāng)解題時(shí)添上輔助圓后，問題就迎刃而解，讓學(xué)生們體會(huì)輔助圓的妙用，做到題中無圓，心中有圓。作為一線數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)的課堂中應(yīng)用“歸類”教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系有更深一步的理解，側(cè)重思維訓(xùn)練，讓學(xué)生真正做到解一題會(huì)一類，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。既培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,又提高課堂效率，于“歸類教學(xué)”中尋實(shí)效，是走向輕負(fù)高效的一條可行之路，一條快捷之路，也是一條必由之路。

[1]孔慧英，梅智超編著，現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想概論。北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1993

[2]錢學(xué)森主編，關(guān)于思維科學(xué)。上海：上海人發(fā)出版社，1986

[3]郭思樂、喻偉著，數(shù)學(xué)思維教育論。上海：上海教育出版社，1997

[4]朱智賢、林崇德，思維發(fā)展心理。北京師范大學(xué)出版社，1990

[5]席振偉著，數(shù)學(xué)的思維方式。南京：江蘇教育出版社，1995