概率統(tǒng)計(jì)課程的遞進(jìn)式多層次實(shí)踐教學(xué)模式分析

段曉君，楊文強(qiáng)

(國防科技大學(xué)理學(xué)院， 湖南長沙410073)

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概率統(tǒng)計(jì)課程的遞進(jìn)式多層次實(shí)踐教學(xué)模式分析

段曉君，楊文強(qiáng)

(國防科技大學(xué)理學(xué)院， 湖南長沙410073)

[摘要]提供了概率統(tǒng)計(jì)課程的一種遞進(jìn)式多層次實(shí)踐教學(xué)機(jī)制設(shè)計(jì)方法，核心是在課堂教學(xué)過程中貫穿理論講授與實(shí)踐訓(xùn)練相融合的思想，提升學(xué)生的理解深度和應(yīng)用能力，激勵學(xué)生的創(chuàng)造力.遞進(jìn)式實(shí)踐教學(xué)分三個(gè)層次：基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)、專題應(yīng)用、基于建模的拓展研究，分別考慮課程內(nèi)容覆蓋性、難點(diǎn)應(yīng)用、綜合平衡能力提升，進(jìn)行遞進(jìn)式訓(xùn)練，以達(dá)到提升學(xué)生實(shí)踐認(rèn)知，加強(qiáng)其應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)解決問題的創(chuàng)新性與綜合性能力.

[關(guān)鍵詞]概率統(tǒng)計(jì); 實(shí)踐教學(xué)模式; 多層次遞進(jìn)方法

1引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，從內(nèi)容到方法與其它數(shù)學(xué)課程有顯著不同，其教學(xué)思想也與學(xué)生在以前接觸過的絕大多數(shù)數(shù)學(xué)課程存在較大差異[1].課程目的是通過理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐教學(xué)，使學(xué)員掌握概率論的思想、隨機(jī)變量、各類概率分布、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集描述與解釋、分析及推斷等基本理論與方法，學(xué)會運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)進(jìn)行思考，并解決實(shí)際工作中的概率統(tǒng)計(jì)問題.

概率統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)中與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系最緊密、應(yīng)用最廣泛的學(xué)科之一.教學(xué)過程中可以引入許多非常有趣和實(shí)用的建模例子，一旦學(xué)生從實(shí)例中認(rèn)識到這一概念在實(shí)際生活中的重要性，緩解了對于新概念的恐懼，就會產(chǎn)生求知欲從而積極地學(xué)習(xí)[2-3].概率統(tǒng)計(jì)實(shí)踐教學(xué)對于提升學(xué)生對概率的理解深度、對統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用能力，進(jìn)一步激勵學(xué)生的創(chuàng)造力非常重要.我們的主要做法是：設(shè)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)課程的遞進(jìn)式多層次實(shí)踐教學(xué)機(jī)制，核心是在課堂教學(xué)過程中貫穿理論講授與實(shí)踐訓(xùn)練相融合的思想，創(chuàng)造一個(gè)多層次的實(shí)踐環(huán)境去夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識，并誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果，更重要的是激發(fā)學(xué)生探求解決問題的興趣.

本文介紹了遞進(jìn)式實(shí)踐教學(xué)的三個(gè)層次及特點(diǎn)，并提供了相應(yīng)的案例分析，展示解決問題的過程中如何夯實(shí)學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生的興趣，提升數(shù)學(xué)認(rèn)知，加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決問題時(shí)對創(chuàng)新性與綜合性等的全局把握感和平衡感.

2遞進(jìn)式案例教學(xué)的三個(gè)層次

遞進(jìn)式實(shí)踐教學(xué)分為三個(gè)層次：

(i) 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn);

(ii) 專題應(yīng)用及提升;

(iii) 基于建模的拓展研究.

可通過不同層次的內(nèi)容逐步培養(yǎng)學(xué)生通過概率統(tǒng)計(jì)建模解決實(shí)際問題的能力.

第一個(gè)層次的實(shí)踐設(shè)計(jì)內(nèi)容主要考慮課程基本內(nèi)容的覆蓋性；第二個(gè)層次的實(shí)踐設(shè)計(jì)內(nèi)容主要針對難點(diǎn)進(jìn)行專題應(yīng)用和深入理解；第三個(gè)層次的實(shí)踐教學(xué)屬于綜合和平衡性環(huán)節(jié)，需結(jié)合科研及建模問題進(jìn)行問題征集、案例篩選、應(yīng)用及反饋，基于實(shí)際問題的提出，結(jié)合探尋解決手段、批判思考、方案選擇、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析及歸納總結(jié)的過程，可提升學(xué)生對實(shí)際問題進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)建模、進(jìn)行適應(yīng)性解決的能力.

遞進(jìn)式實(shí)踐教學(xué)的三個(gè)層次及功能相關(guān)關(guān)系如下圖所示：

圖1　遞進(jìn)式實(shí)踐教學(xué)的三個(gè)層次

三個(gè)層次的實(shí)踐教學(xué)互為補(bǔ)充，層層遞進(jìn)，逐步提升難度，可為學(xué)生提供多維度的實(shí)踐訓(xùn)練。最高層次的基于建模的拓展研究屬于彈性教學(xué)內(nèi)容，可根據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)在選材和教學(xué)方法上進(jìn)行優(yōu)化選擇.

3基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐教學(xué)

傳統(tǒng)課程教學(xué)往往較多地注重?cái)?shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與演算能力的培養(yǎng)，而實(shí)際上，僅僅通過學(xué)生交流、板書授課、黑板做題以及多媒體演示是不夠的.學(xué)生也希望有更多機(jī)會了解和體驗(yàn)與理論概念知識相關(guān)的實(shí)際背景.基本概念體驗(yàn)實(shí)踐教學(xué)就是通過上機(jī)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生直觀了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本思想和方法，深化學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)理論的理解.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要是以計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺，結(jié)合數(shù)學(xué)模型，模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境進(jìn)行的教學(xué)模式.基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐教學(xué)強(qiáng)調(diào)對基本教學(xué)內(nèi)容的覆蓋性，即隨機(jī)變量、分布函數(shù)、數(shù)字特征、極限理論、基本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的收集與描述、抽樣與抽樣分布、方差分析和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法、常用的參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)方法、線性回歸方法等都有涉及.在教學(xué)中我們設(shè)計(jì)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[4]：拋硬幣實(shí)驗(yàn)、“蒲豐投針”試驗(yàn)、正態(tài)分布密度函數(shù)的實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布的正態(tài)逼近、Monte-Carlo仿真、直方圖的實(shí)驗(yàn)、t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較、無理數(shù)e的隨機(jī)特征、無理數(shù)π的隨機(jī)特征與Pearson擬合檢驗(yàn)、假設(shè)檢驗(yàn)、一元線性回歸等，讓學(xué)生自己動手，運(yùn)用Mathematica、Matlab、SPSS等工具，觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果，促使學(xué)生加深了對概率統(tǒng)計(jì)課程理論知識的理解和感性認(rèn)識，使學(xué)生直觀地感受到概念發(fā)生的過程，理解其本質(zhì)，同時(shí)通過將理論教學(xué)與實(shí)際案例有機(jī)地結(jié)合起來，收到了良好的教學(xué)效果.

以蒲豐投針實(shí)驗(yàn)為例，蒲豐投針實(shí)驗(yàn)是著名的利用幾何概率求圓周率的實(shí)驗(yàn).這個(gè)實(shí)驗(yàn)給出了一個(gè)全新的利用概率思想計(jì)算π的近似值的方法，后來這種方法發(fā)展成為利用計(jì)算機(jī)模擬解決數(shù)學(xué)和物理問題的重要方法之一:蒙特卡羅方法.

蒲豐投針實(shí)驗(yàn)的操作方法：在一張白紙上畫上一組間距為a的平行線，然后多次地將一根長為b的針隨機(jī)投擲在紙上(b

p=2b/aπ.

(1)

當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，由貝努利大數(shù)定律知，頻率m/n就接近概率p，由此就可算出π的近似值.學(xué)生從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中可以體會概率的基本概念和大數(shù)定律的特點(diǎn).

4專題應(yīng)用及提升實(shí)踐教學(xué)

在概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中可以吸收和融入與實(shí)際問題有關(guān)的應(yīng)用性專題，向?qū)W生展示本課程在工農(nóng)業(yè)、軍事、經(jīng)濟(jì)管理、醫(yī)藥、教育等領(lǐng)域中的應(yīng)用，穿插數(shù)據(jù)模擬、統(tǒng)計(jì)推斷、數(shù)據(jù)擬合等方面的專題題目，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過實(shí)際動手，學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，如何利用概率統(tǒng)計(jì)工具解決實(shí)際問題，增強(qiáng)實(shí)踐動手能力，學(xué)以致用.

第二個(gè)層次的實(shí)踐設(shè)計(jì)內(nèi)容主要針對難點(diǎn)進(jìn)行專題應(yīng)用和深入理解.如下面以我們采用的三個(gè)典型教學(xué)案例進(jìn)行闡述.

(i) “哈里斯投標(biāo)”問題：哈里斯是一位經(jīng)驗(yàn)豐富的工程承包商，在一次工程招標(biāo)中，哈里斯根據(jù)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)可將其他競爭對手的競價(jià)假定為服從均勻分布，問哈里斯出價(jià)多少才能最大化他的收益.

投標(biāo)競標(biāo)本身是一個(gè)常見的經(jīng)濟(jì)活動，來源于真實(shí)的生活實(shí)踐，便于激起學(xué)生的好奇心與興趣；收益最大化也是每個(gè)經(jīng)濟(jì)活動中每個(gè)企業(yè)或個(gè)人都關(guān)注的典型問題；在此問題中，考察的數(shù)學(xué)期望、均勻分布等連續(xù)型分布等概念和定義理解，同時(shí)在解題過程中需要用到隨機(jī)變量二階中心矩為方差與均值平方之和以及二次函數(shù)極值求解等技巧，多知識點(diǎn)綜合很好體現(xiàn)了案例的濃縮性.在“哈里斯投標(biāo)”案例的教學(xué)過程中，學(xué)生均表現(xiàn)出濃厚的學(xué)習(xí)興趣，迫切想知道哈里斯出價(jià)多少才能最大化收益.

(ii) “奧運(yùn)會金牌預(yù)測”問題：題目給出了1900年至2004年24屆奧運(yùn)會各東道國獲得金牌數(shù)以及該國家四年前非東道國參賽時(shí)獲得的金牌數(shù)，預(yù)測2008年北京奧運(yùn)會中國代表團(tuán)獲得金牌數(shù).

利用最小二乘方法預(yù)測得出2008北京奧運(yùn)會中國代表團(tuán)獲得金牌數(shù)為49枚，同時(shí)可計(jì)算出95%置信區(qū)間為[41.4,57.5]之后本屆奧運(yùn)會真實(shí)獲得為金牌數(shù)51枚，與預(yù)測結(jié)果非常接近.

(iii) “雷達(dá)測量數(shù)據(jù)分析”問題：為鑒定2臺新購測速雷達(dá)的測量精度，設(shè)計(jì)如下的鑒定試驗(yàn).利用兩臺測速雷達(dá)對某一運(yùn)動目標(biāo)進(jìn)行速度測量，然后將測量結(jié)果與目標(biāo)的真實(shí)速度做差，差值稱為測量殘差.通過分析測量殘差的統(tǒng)計(jì)特性，可獲得以下知識：

① 該測量設(shè)備是否有系統(tǒng)性的測量誤差？若已知該型號的測速雷達(dá)，其系統(tǒng)誤差只可能是常值或線性的，那么如何利用線性回歸方法得到其測量系統(tǒng)誤差的表達(dá)式；

② 該測量設(shè)備測量隨機(jī)誤差的概率分布如何？可通過直方圖擬合的方式判斷測量隨機(jī)誤差是否服從正態(tài)、對數(shù)正態(tài)等隨機(jī)分布，也可進(jìn)一步用正態(tài)性檢驗(yàn)方法判斷.

③ 若該測量設(shè)備的測量隨機(jī)誤差是服從正態(tài)分布的，其分布的方差是多少？測量誤差的方差反映了該測量設(shè)備的測量精度.

該問題綜合了概率分布與統(tǒng)計(jì)回歸的專題知識.這樣的題目非常吸引學(xué)生，激發(fā)學(xué)生思考與求知的興趣.

5實(shí)際建模中的概率統(tǒng)計(jì)拓展實(shí)踐及分析

素質(zhì)教育的主旋律之一是創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的培養(yǎng).創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的強(qiáng)弱已經(jīng)成為人們評價(jià)人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要依據(jù).實(shí)際建模問題沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，解決方法的不唯一性使得學(xué)生的創(chuàng)造性有很大的發(fā)揮空間.要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、用不同的方法去解決同一個(gè)問題，形成良好的發(fā)散思維習(xí)慣，就必須提供相應(yīng)的訓(xùn)練環(huán)境.

我們在實(shí)際科研中收集相應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)問題，對學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)拓展實(shí)踐訓(xùn)練.此外，還可從大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目選擇涉及概率統(tǒng)計(jì)知識較多的問題，比如：超市排隊(duì)等候問題、彩票問題、電力市場的輸電阻塞管理問題、眼科病床的合理安排等，都不同程度地涉及常用分布與統(tǒng)計(jì)推斷的知識[5]，將這些問題也融入概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)踐教學(xué)中.

以下以導(dǎo)航定位的完好性機(jī)制為例，介紹相應(yīng)的實(shí)際研究建模的概率統(tǒng)計(jì)拓展實(shí)踐.

完好性是指導(dǎo)航系統(tǒng)在不能使用時(shí)及時(shí)向用戶發(fā)出告警的能力，是衡量衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)可靠性的重要指標(biāo)[6,7].

(i)完好性告警機(jī)制的理解與風(fēng)險(xiǎn)的分配

設(shè)問：如何設(shè)計(jì)完好性告警機(jī)制？

可先介紹背景.完好性異常分為三類：系統(tǒng)相關(guān)，環(huán)境相關(guān)，用戶端相關(guān).為簡化問題，考慮系統(tǒng)導(dǎo)致的完好性異常.系統(tǒng)導(dǎo)致的完好性異常指的是導(dǎo)航系統(tǒng)中的操作控制系統(tǒng)出現(xiàn)的異常.具體來講，諸如時(shí)鐘錯誤，不適用模型，主控站異常，衛(wèi)星不穩(wěn)定性的影響都屬于系統(tǒng)導(dǎo)致的完好性異常.定位域上的完好性風(fēng)險(xiǎn)分為四類：無故障或單一故障失效模式，非局部完好性分發(fā)失效模式，多重故障失效模式，接收機(jī)失效模式等.

問題：如何將不同類型的故障失效模式都綜合為用戶能識別的定位錯誤風(fēng)險(xiǎn)？

解決此問題涉及故障誤差的概率分布及轉(zhuǎn)化.

(ii)系統(tǒng)級完好性監(jiān)測的設(shè)計(jì)

設(shè)問：如何理解現(xiàn)有不同類型的完好性監(jiān)測機(jī)制？

背景介紹：

目前不同導(dǎo)航系統(tǒng)的系統(tǒng)級完好性監(jiān)測有不同的設(shè)計(jì)機(jī)制.美國的GPS系統(tǒng)將完好性風(fēng)險(xiǎn)限值在水平和垂直方向分解分別計(jì)算保護(hù)水平，完好性風(fēng)險(xiǎn)是完好性方程的輸入變量，水平和垂直保護(hù)水平是輸出變量；歐洲的Galileo系統(tǒng)計(jì)算基于給定告警限值的完好性風(fēng)險(xiǎn)，水平和垂直方向告警限值是完好性方程的輸入變量，完好性風(fēng)險(xiǎn)是輸出變量.

問題1： 不同機(jī)制的優(yōu)缺點(diǎn)如何比較？

問題2： 由于空間信號誤差分布不是嚴(yán)格的高斯分布，只能用高斯分布去近似逼近約束.這里分布約束(overbound)的概念和近似逼近的特點(diǎn)是什么？

定義1一個(gè)隨機(jī)變量A的分布被隨機(jī)變量B的分布約束是指對任何的 L≥0都有

P(|A|≥L)≤P(|B|≥L).

(iii)多導(dǎo)航系統(tǒng)的融合機(jī)制的設(shè)計(jì)

問題：由于系統(tǒng)的完好性運(yùn)行機(jī)制不同，在用戶能夠同時(shí)接收到來自不同系統(tǒng)的導(dǎo)航數(shù)據(jù)和完好性數(shù)據(jù)時(shí)，如何實(shí)現(xiàn)多個(gè)系統(tǒng)的完好性數(shù)據(jù)處理的兼容性？

這個(gè)問題比較難，需要的背景知識比較深.提問之后可以給學(xué)生介紹一下目前的實(shí)際解決思路.

從實(shí)際科研建模問題出發(fā)，可以促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)所用知識的準(zhǔn)確理解與掌握，也突出對實(shí)際問題本質(zhì)的透徹理解與把握.通過針對性實(shí)踐訓(xùn)練，可加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決問題時(shí)對創(chuàng)新性與綜合性等的全局把握感和平衡感.

6小結(jié)

概率統(tǒng)計(jì)是高校教學(xué)中一門非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，如何設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)是國內(nèi)高校共同面對的問題.本文在教學(xué)的課堂實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)分析的基礎(chǔ)上，提出了遞進(jìn)式多層次實(shí)踐教學(xué)的設(shè)計(jì)理念，在教學(xué)過程中將課堂理論教學(xué)與實(shí)踐訓(xùn)練有機(jī)融合，為提升學(xué)生的應(yīng)用能力創(chuàng)造一個(gè)多層次的教學(xué)環(huán)境，并誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，可達(dá)到較好的教學(xué)效果.我們運(yùn)用這些教學(xué)方法，在實(shí)踐中已經(jīng)取得一些成效.當(dāng)然，概率統(tǒng)計(jì)課程的實(shí)踐教學(xué)模式仍是一個(gè)需要繼續(xù)努力的研究課題，需要在實(shí)踐中不斷積累經(jīng)驗(yàn)和提升.

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[4]國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)國家精品課程申報(bào)網(wǎng)站，http:∥jpkc.nudt. edu. cn/gltj/index.asp.

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Progressive Multi-Level Practice Teaching Pattern Analysis

on Probability and Statistics Course

DUANXiao-jun，YANGWen-qiang

(College of Science， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract:One kind of progressive multi-level practice teaching pattern on probability and statistics course is designed in this paper. The key is combining different-level practice with theoretical teaching to improve the comprehension and stimulate the creativity of students. The progressive practice teaching is classified three levels， basic experiment， special subject， extensible research on modeling. The three levels aim to consider the integrity of basis contents， the difficulty topic training， the synthesis flexible application， in order to enhance the practice cognitive ability and strengthen the innovation and balance ability of students.

Key words:probability and statistics; practice teaching pattern; multi-level progressive method

[基金項(xiàng)目]國防科技大學(xué)研究生數(shù)學(xué)公共課及專業(yè)課一流課程體系建設(shè)項(xiàng)目

[收稿日期]2014-10-12

[中圖分類號]O29

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0039-05