離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革淺談

王也洲，　楊　春，　黃廷祝，　李艷馥

(1. 電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都611731； 2. 高等教育出版社理工事業(yè)部，北京100120)

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離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革淺談

王也洲1，楊春1，黃廷祝1，李艷馥2

(1. 電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都611731； 2. 高等教育出版社理工事業(yè)部，北京100120)

[摘要]針對(duì)如何提高《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)水平問(wèn)題，提出了“賦予邏輯符號(hào)生動(dòng)語(yǔ)言，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣”、“多角度講解關(guān)系運(yùn)算，啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思維”、“數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)，拓寬學(xué)生知識(shí)層面”的教學(xué)改革措施.

[關(guān)鍵詞]離散數(shù)學(xué)； 教學(xué)改革； 數(shù)學(xué)文化

1引言

《離散數(shù)學(xué)》是高等院校計(jì)算機(jī)及通信專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，主要研究有限個(gè)或無(wú)限個(gè)離散變量之間的關(guān)系及結(jié)構(gòu)特征.該課程基礎(chǔ)性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生知識(shí)與能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.此外，該課程具有概念多、結(jié)構(gòu)散、內(nèi)容抽象、理論性強(qiáng)的特點(diǎn)，給教師的日常教學(xué)和學(xué)生的平時(shí)學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的困難.因此，如何改進(jìn)教學(xué)方法、提高教學(xué)水平逐漸成為一個(gè)非常有價(jià)值的研究問(wèn)題.國(guó)內(nèi)一些學(xué)者經(jīng)過(guò)大膽嘗試、努力鉆研，已在這方面取得了一些不錯(cuò)的成績(jī)，譬如，肖利芳、段梅[1]提出“以學(xué)生為主導(dǎo)，以教師為輔，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題考核”的教學(xué)模式；劉海英[2]得出“以教師、學(xué)生、媒體、教學(xué)內(nèi)容為教學(xué)四要素，建設(shè)離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課程”的教學(xué)方法.

近幾年來(lái)為加強(qiáng)創(chuàng)新人才培養(yǎng)，我們?cè)凇峨x散數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)實(shí)踐中也做了大量的探索與改革，獲得了一定的方法，總結(jié)了一定的經(jīng)驗(yàn)，也取得了一定的成效.下面就該課程教學(xué)改革中所實(shí)施的一些具體方法談一些體會(huì).

2賦予邏輯符號(hào)生動(dòng)語(yǔ)言，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

數(shù)理邏輯是一門研究演繹推理的學(xué)科，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論不可缺少的一個(gè)組成部分.它采用數(shù)學(xué)符號(hào)化的方法， 給出推理規(guī)則來(lái)建立推理體系，進(jìn)而討論推理體系的一致性、可靠性和完備性等.

數(shù)理邏輯部分，公式繁多，不宜記憶，學(xué)生難以接受，但它是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的重要內(nèi)容.因此在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)理邏輯部分是教學(xué)的重點(diǎn)之一.針對(duì)數(shù)理邏輯部分的教學(xué)，蹇柯[3]提出了“設(shè)置懸疑、深入生活、注重類比”的教學(xué)理念，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)理邏輯的理解，教學(xué)效果得到明顯提高.

經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)林林總總的符號(hào)、形式多樣化的公式并非枯燥無(wú)味，難以琢磨，相反可以用形象的語(yǔ)言來(lái)表達(dá).下面，我們從若干方面來(lái)加以說(shuō)明.

2.1　“說(shuō)了算”與“算說(shuō)了”

在析取式中，只要有一個(gè)公式為真，則整體為真，而永假式的出現(xiàn)并不影響析取式的真值.因此，公式“G∨1=1”可以描述為：永真式在析取式中“說(shuō)了算”；公式“G∨0=G”可以描述為：永假式在析取式中“算說(shuō)了”.

只有各個(gè)公式的真值均為真時(shí)，合取式的真值才為真；只要有一個(gè)公式真值為假，則整個(gè)合取式真值為假.因此，公式“G∧1=G”可以描述為：永真式在合取式中“算說(shuō)了”；公式“G∧0=0”可以描述為：永假式在合取式中“說(shuō)了算”.

“說(shuō)了算”，表示起決定性作用；“算說(shuō)了”，表示不影響最終結(jié)果.“說(shuō)了算”與“算說(shuō)了”這樣一種教學(xué)技巧，不僅可以幫助學(xué)生記憶這四個(gè)基本等價(jià)公式，而且有助于學(xué)生理解公式的判定和主范式的求解.

在公式的判定問(wèn)題中，我們實(shí)際只需要關(guān)心“說(shuō)了算”的子公式，而“算說(shuō)了”的子公式完全可以置之不理.

在主析取范式與主合取范式的求解過(guò)程中，我們需要去掉析取范式中所有永假公式的短語(yǔ)和合取范式中所有永真公式的子句，實(shí)則我們需要去掉的是“算說(shuō)了”的子公式.

2.2　基本蘊(yùn)含關(guān)系的自然語(yǔ)言解釋

在命題邏輯的推理理論中，15個(gè)基本蘊(yùn)含關(guān)系發(fā)揮著極其重要的作用.在通常的教材中，只是簡(jiǎn)單地羅列出這些基本蘊(yùn)含關(guān)系，并沒(méi)有給出詳細(xì)的證明.雖然，利用真值表技術(shù)不難給出每個(gè)蘊(yùn)含關(guān)系的詳細(xì)證明，但不適合于在課堂上開(kāi)展這項(xiàng)工作.如何利用較短的時(shí)間向?qū)W生們解釋清楚這些蘊(yùn)含關(guān)系的內(nèi)涵，同時(shí)希望學(xué)生能夠正確理解和熟練掌握是值得教學(xué)工作者思考的一個(gè)問(wèn)題.

既然邏輯學(xué)是研究人的思維形式和規(guī)律的科學(xué)，那么現(xiàn)有的這些符號(hào)體系一定可以用人類的自然語(yǔ)言來(lái)解釋.通過(guò)仔細(xì)研究，我們合理地給出了15個(gè)基本蘊(yùn)含關(guān)系的語(yǔ)言解釋，由于篇幅限制，我們這里只列舉一些不太容易理解的蘊(yùn)含關(guān)系.

表1　基本蘊(yùn)含關(guān)系與語(yǔ)言解釋

謂詞邏輯與命題邏輯相比，由于謂詞邏輯引入了全稱量詞與存在量詞，使得謂詞邏輯的推理規(guī)律要比命題邏輯的推理規(guī)律復(fù)雜的多.但即便如此，只要善于思考，也不難找到謂詞邏輯推理規(guī)律的自然解釋.下面以兩條推理規(guī)律為例，做一個(gè)簡(jiǎn)單介紹.

假設(shè)G(x)，H(x)是只含自由變?cè)獂的公式，則在全總個(gè)體域中，

(?x)G(x)∨(?x)H(x)?(?x)(G(x)∨H(x))

可以解釋為：要么G(x)對(duì)所有x成立，要么H(x)對(duì)所有x成立，那么對(duì)每一個(gè)x，G(x)與H(x)至少有一個(gè)成立.

類似地，(?x)(G(x)→H(x))?(?x)G(x)→(?x)H(x)可以形象地解釋為：在每個(gè)x處，只要G(x)成立，便可得到H(x)也成立，因此當(dāng)G(x)對(duì)所有x成立時(shí)，自然可以推出H(x)對(duì)所有x也成立.

在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)及公式賦予生動(dòng)的語(yǔ)言，可以使得學(xué)生對(duì)理論問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)理論與客觀世界之間的內(nèi)在聯(lián)系.

3多角度講解關(guān)系運(yùn)算，啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思維

關(guān)系理論最早出現(xiàn)在德國(guó)數(shù)學(xué)家Felix Hausdorff于1914年編寫的著作《集論基礎(chǔ)》的序型理論中，它與集合論、數(shù)理邏輯以及組合數(shù)學(xué)、圖論、布爾代數(shù)等都有密切聯(lián)系.

關(guān)系運(yùn)算是關(guān)系理論的一個(gè)重要組成部分，如何讓學(xué)生正確理解和熟練掌握各種關(guān)系運(yùn)算是離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重點(diǎn).在這方面，總結(jié)出“從定義嚴(yán)格證明”、“從關(guān)系矩陣簡(jiǎn)潔證明”、“從關(guān)系圖直觀理解”的教學(xué)方法.下面，以“關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算滿足結(jié)合律”為例來(lái)加以說(shuō)明.

例設(shè)A，B，C和D是任意四個(gè)非空集合，R?A×B，S?B×C，T?C×D，則

(R°S)°T=R°(S°T).

從定義嚴(yán)格證明關(guān)系是以序偶為元素的特殊集合，關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算之后的結(jié)果仍然是集合，所以該結(jié)論實(shí)際上是要證明兩個(gè)集合相等，從而只需證明等式兩端的集合相互包含即可.

對(duì)?〈a，d〉∈(R°S)°T，由“°”的定義知，存在c∈C，使得〈a，c〉∈R°S且〈c，d〉∈T.

又因?yàn)椤碼，c〉∈R°S，所以存在b∈B，使得〈a，b〉∈R且〈b，c〉∈S.因?yàn)椤碽，c〉∈S且〈c，d〉∈T，由“°”的定義知，〈b，d〉∈S°T；又由〈a，b〉∈R，進(jìn)而〈a，d〉∈R°(S°T).所以(R°S)°T?R°(S°T).

同理可證：R°(S°T)?(R°S)°T.

從關(guān)系矩陣簡(jiǎn)潔證明如果兩個(gè)關(guān)系所對(duì)應(yīng)的關(guān)系矩陣完全相等，則說(shuō)明這兩個(gè)關(guān)系也完全相等.因此，我們只需證明左右兩端對(duì)應(yīng)的關(guān)系矩陣相等即可.

利用布爾積滿足結(jié)合律這條性質(zhì)，很容易得到

M(R°S)°T=MR°S⊙MT=(MR⊙MS)⊙M

=MR⊙(MS⊙MT)=MR⊙MS°T=MR°(S°T).

從關(guān)系圖直觀理解兩個(gè)關(guān)系進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算體現(xiàn)在關(guān)系圖上就好比是在對(duì)應(yīng)的集合之間尋找通路.R°S等效于借助集合B中的元素尋找A與C之間的通路，S°T等效于通過(guò)集合C中的元素尋找B與D之間的通路.最終目標(biāo)是通過(guò)中間集合B與C中的元素尋找集合A與D之間的通路，可以由以下兩種方式來(lái)實(shí)現(xiàn)：

(i) 從A出發(fā)，借助B中元素間接達(dá)到C中某個(gè)元素；然后通過(guò)C與D之間的邊直接到達(dá)D中某個(gè)元素，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述即為：(R°S)°T;

(ii) 從A出發(fā)，通過(guò)A與B之間的邊直接到達(dá)B中某個(gè)元素；然后借助C中元素間接到達(dá)D中某個(gè)元素，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述即為：R°(S°T).

圖1　尋找通路的兩種方式

在圖1中，用兩種不同的虛線表示兩種尋找通路的方式.從圖中可以看出，兩種方式經(jīng)過(guò)的邊完全相同，均為e1，e2和e3.兩條通路只是表現(xiàn)形式不同，第一條通路把邊e1和e2當(dāng)成一個(gè)整體，第二條通路把邊e2和e3看成一個(gè)整體，二者實(shí)則完全等同.

比較以上三種證明方法，不難看出：“按照定義證明”方法初等，過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)，但頗為繁瑣，學(xué)生容易在證明過(guò)程中迷失方向；“按照關(guān)系矩陣證明”過(guò)程簡(jiǎn)潔，但要求學(xué)生首先掌握布爾積運(yùn)算的一些性質(zhì)；“按照關(guān)系圖證明”形象直觀，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.

三種方法各有利弊，若將三種方法結(jié)合起來(lái)講解，譬如，先按照定義證明，使得學(xué)生有一個(gè)大致認(rèn)識(shí)；再按照關(guān)系矩陣證明，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解；最后從關(guān)系圖證明，使得學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解一目了然.這樣一種循序漸進(jìn)的講解過(guò)程不僅有助于加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

以上方法也適用于關(guān)系的其他運(yùn)算，如逆運(yùn)算、冪運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算與逆運(yùn)算的復(fù)合等，同時(shí)也適用于關(guān)系性質(zhì)的講解，由于篇幅限制，在此就不一一詳細(xì)說(shuō)明.

4數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)，拓寬學(xué)生知識(shí)層面

正如當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家、史學(xué)家、教育家Morris Kline[5]所說(shuō)，“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)、一種語(yǔ)言，數(shù)學(xué)還是一門有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)自然科學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說(shuō)；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對(duì)美妙音樂(lè)的冥想；有時(shí)甚至可能以難以察覺(jué)到的方式但無(wú)可置疑地影響著現(xiàn)代歷史的進(jìn)程.”

數(shù)學(xué)文化具有培養(yǎng)科學(xué)精神的價(jià)值，具有完善自我的人生價(jià)值，具有健全自我人格的價(jià)值，具有提升人類審美水平的價(jià)值.從這個(gè)意義上說(shuō)，將數(shù)學(xué)文化融入到離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓更多的大學(xué)生，特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生多了解點(diǎn)數(shù)學(xué)文化知識(shí)是很有必要的，也是非常重要的.

4.1　從哥尼斯堡七橋問(wèn)題到中國(guó)郵遞員問(wèn)題

圖論是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖論的興趣，在講解到圖論部分時(shí)，不可或缺地要介紹著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題.這一事件不僅標(biāo)志著圖論學(xué)科的誕生，而且促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的萌芽.偉大數(shù)學(xué)家歐拉是這一事件的一位至關(guān)重要的當(dāng)事人，他不僅成功地給出了該問(wèn)題的一個(gè)否定回答，而且引領(lǐng)人類踏上歐拉圖研究的征程.

基于歐拉圖這一模型，1960年時(shí)任山東師范大學(xué)講師的管梅谷先生提出了著名的中國(guó)郵遞員問(wèn)題.這一問(wèn)題為我國(guó)在近代世界數(shù)學(xué)史上贏得了一席之地(在世界數(shù)學(xué)史上，冠以中國(guó)兩字的數(shù)學(xué)概念及定理屈指可數(shù)，據(jù)我們所知，除了中國(guó)郵遞員問(wèn)題外，中國(guó)剩余定理代表了古代數(shù)學(xué)理論的一個(gè)高度).

以哥尼斯堡七橋問(wèn)題為起點(diǎn)，游歷中國(guó)郵遞員問(wèn)題，追溯中國(guó)剩余定理，從西方到東方，從近代到古代，這樣一種教學(xué)方式不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖論的興趣，而且可以更好地讓學(xué)生了解中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展，乃至世界數(shù)學(xué)的演繹.

4.2　谷歌Logo中的數(shù)學(xué)文化

枯燥的數(shù)學(xué)概念，難免會(huì)讓學(xué)生感到煩躁，在講解知識(shí)的同時(shí)，介紹數(shù)學(xué)家的生平，不失為引發(fā)學(xué)習(xí)興趣的一種方法.在離散數(shù)學(xué)課程中，隨處可見(jiàn)數(shù)學(xué)大師歐拉的杰作，比如握手定理、平面圖的歐拉公式等.在講解到這些結(jié)論時(shí)，重點(diǎn)介紹歐拉是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生發(fā)表論文850余篇，在20世紀(jì)之前，歐拉是發(fā)表論文最多的數(shù)學(xué)家，緊隨其后的是數(shù)學(xué)家柯西(發(fā)表論文789篇).這一記錄被20世紀(jì)匈牙利數(shù)學(xué)家Erdos打破，其一生發(fā)表論文1525篇，他不僅是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，也是人類歷史上發(fā)表數(shù)學(xué)論文最多的數(shù)學(xué)家.

為了紀(jì)念歐拉這一偉大的數(shù)學(xué)家，著名互聯(lián)網(wǎng)谷歌通常在歐拉誕辰之日，即4月15日這一天，會(huì)在其Logo中融入歐拉的許多數(shù)學(xué)成就，如圖2所示.

圖2　谷歌Logo中的數(shù)學(xué)文化

離散數(shù)學(xué)中，有很多知識(shí)點(diǎn)可以引出數(shù)學(xué)文化的講解，比如集合論公理化體系建立過(guò)程中的“羅素悖論”、組合數(shù)學(xué)中的“斐波那契兔子問(wèn)題”，數(shù)理邏輯中的“邏輯學(xué)家與生死門”的趣味故事等.

將數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)，有助于拓寬學(xué)生的知識(shí)層面，培養(yǎng)學(xué)生的人文精神.通過(guò)融入數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，可以讓學(xué)生更好地了解和體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，體會(huì)數(shù)學(xué)在人類文明進(jìn)程中的影響和作用，可以帶給學(xué)生一種新觀念、新思維、新思想.

5結(jié)語(yǔ)

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，離散數(shù)學(xué)作為一門專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，其教學(xué)方式需要不斷地研究、總結(jié)和創(chuàng)新.只有在教學(xué)過(guò)程中不斷探索、深入實(shí)踐、改進(jìn)方法，才能更好地提高離散數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.

[參考文獻(xiàn)]

[1]肖利芳， 段梅. 離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式的改進(jìn)與創(chuàng)新[J]. 中國(guó)電力教育， 2014(11): 129—131.

[2]劉海英. 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革初探[J]. 赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)， 2014， 30(6)：3—4.

[3]蹇柯. 離散數(shù)學(xué)中數(shù)理邏輯部分的教學(xué)方法芻議[J]. 課程教育研究， 2014(3): 254—255.

[4]傅彥， 顧小豐， 王慶先， 劉啟和. 離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M]. 北京: 高等教育出版社， 2013.

[5]克萊因.西方文化中的數(shù)學(xué)[M].上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社， 2005.

Introduction to Teaching Reform on Discrete Mathematics

WANGYe-zhou1，YANGChun1，HUANGTing-zhu1，LIYan-fu2

(1.School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China;

2. Division of Science and Engineering， Higher Education Press， Beijing 100120， China)

Abstract:For the problem of raising the teaching level of Discrete Mathematics， we propose several concrete reform methods. They are respectively endowing the logic symbols with vivid description to attract students’ interests; explaining relation operations in many ways to enlighten students’ thoughts; infusing mathematical culture into teaching to broaden students’ knowledge.

Key words:discrete mathematics; teaching reform; mathematical culture

[基金項(xiàng)目]電子科技大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2013XJYEL032)

[收稿日期]2014-10-10

[中圖分類號(hào)]G642.0

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0048-05