空間曲線繞任意軸的旋轉(zhuǎn)面面積

陳珍培

(浙江樹人大學(xué)基礎(chǔ)部,浙江杭州310015)

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空間曲線繞任意軸的旋轉(zhuǎn)面面積

陳珍培

(浙江樹人大學(xué)基礎(chǔ)部,浙江杭州310015)

[摘要]利用向量和定積分的知識,解決了空間曲線繞任意軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的面積計算問題,給出了旋轉(zhuǎn)面面積的簡明計算公式,并借助實例進行說明.

[關(guān)鍵詞]旋轉(zhuǎn)面； 行列式； 向量； 定積分

有關(guān)旋轉(zhuǎn)面面積的計算問題,一般教科書只討論坐標平面內(nèi)的母線繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的情形, 至于坐標平面內(nèi)的母線繞坐標面內(nèi)斜軸旋轉(zhuǎn)的情形，也大量地出現(xiàn)在有關(guān)的文獻中,見文[1]，[2]等.至于空間曲線繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)面面積，由于計算相當復(fù)雜，至今尚未有完善的計算公式.文[3]所討論的旋轉(zhuǎn)面雖然以空間直線為旋轉(zhuǎn)軸，但要求母線與旋轉(zhuǎn)軸共面，至于母線與旋轉(zhuǎn)軸不共面的情形,則未曾提及；文[4]雖然給出了空間母線繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)面面積公式，但由于是通過坐標旋轉(zhuǎn)進行推算，造成積分公式篇幅過于巨大，不利于具體的計算.本文對空間曲線繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)面面積進行分析，并得到簡潔而完美的旋轉(zhuǎn)面面積公式.

1任意旋轉(zhuǎn)面面積公式的推導(dǎo)

公式設(shè)Γ：x=x(t),y=y(t),z=z(t) (α≤t≤β)為光滑的空間曲線段，直線l經(jīng)過原點且以s=(a,b,c)為單位方向向量(|s|=1).若Γ上任意兩部分產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面都不重合，則Γ繞l旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面面積為

(1)

其中

圖1　公式證明示意圖

若記

其中

M1=cy-bz,M2=cx-az,M3=bx-ay，

(2)

則截面圓半徑

(3)

其中

=K1(dx)2+K2(dy)2+K3(dz)2+K4dxdy+K5dydz+K6dzdx，

(4)

其中

(以上K2,…,K6的化簡過程與K1類似).將K1,…,K6代入(4)，可得

+2M1M2dxdy+2M2M3dydz-2M1M3dzdx

推論1若旋轉(zhuǎn)軸l的方向向量s=(a,b,c)不是單位向量，則旋轉(zhuǎn)面面積為

(4)

2應(yīng)用舉例

解顯然旋轉(zhuǎn)軸的方向向量為s=(a,b,c)=(1,1,1)，

|w|2=2(1+t2)-2t(sint+cost)-sin2t，

x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)=2，

將上述結(jié)果代入(4)可得旋轉(zhuǎn)面的面積為

≈6.9704.

面積的計算結(jié)果是借助數(shù)學(xué)軟件Matlab得到的.

[參考文獻]

[1]儲理才.一個計算旋轉(zhuǎn)曲面面積的積分公式[J].高等數(shù)學(xué)研究,2001,4(1):13-14.

[2]吳旭亭.平面圖形繞斜軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積[J].師茅師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2005, 21(3):57-58.

[3]李艷麗,王騁.旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算方法[J].紡織高?；A(chǔ)學(xué)科學(xué)報,2008,21(3):280-283.

[4]聶智.旋轉(zhuǎn)面面積與旋轉(zhuǎn)體體積的積分公式[J].渝西學(xué)院學(xué)報,2003,2(3)：5-9.

The Area of Surface of Revolution formed by Revolving

the Space Curve around the Arbitrary Axis

CHENZhen-pei

(Basic Courses Dept of Zhejiang Shuren University,Hangzhou, Zhejiang 310015,China)

Abstract:Based on the knowledge of vector and definite integration, the problem of area of the surface of revolution formed by revolving the space curve around the arbitrary axis be solutioned. A figure about area of revolution is obtained. An example be provided to demonstrate application of the figures.

Key words:surface of revolution; determinant; vector; definite integration

[收稿日期]2014-06-01

[中圖分類號]O172.2

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0121-03